شرح الأرقام المعنوية

Significant Figures

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Significant Figures Are

الأرقام المعنوية هي الأرقام التي تحمل حجم العدد، ونبدأ عدّها من أول رقم غير صفري. القاعدة: الأصفار في بداية العدد لا تُحسب أبدًا، لأنها تحدد مكان الفاصلة فقط. وبعد أول رقم غير صفري يُحسب كل رقم، بما في ذلك الصفر الواقع بين رقمين. الخطأ الشائع: عدّ كل الأرقام بما فيها الأصفار الأمامية. وتجد مثالًا من الحياة على الشاشة: ارتفاع جبل إيفرست يُذكر بأرقام معنوية مختلفة حسب الدقة المطلوبة.

Significant figures are the digits that carry the size of a number. You count them from the first digit that is not zero.

Rule

Zeros at the front never count. After the first non-zero digit, every digit counts, zeros too.

Number	Significant figures
482.6	4
3.05	3: the 0 sits between 3 and 5
0.004 07	3: the 4, the 0 and the 7

Worked example

1
$0.00407$ — The question: how many significant figures? Look for the first digit that is not zero.
2
$0.00 407$ — Skip the zeros in front. They only show where the point is, so start counting at the 4.
3
$4, 0, 7$ — After the 4, every digit counts. The 0 sits between the 4 and the 7, so it counts too.
4
$3 significant figures$ — Count them: 4, 0 and 7 make 3.

Common mistake

Counting every digit in 0.004 07 and saying 6. The zeros in front just hold the decimal point in place.

Key idea

In 2020, China and Nepal announced Mount Everest's height as $8848.86$ metres: 6 significant figures. News reports often round it to $8849$ m (4 s.f.) or say about $8850$ m (3 s.f.).

2. Round to 3 Significant Figures

هذا أكثر سؤال شائع: التقريب لثلاثة أرقام معنوية، وغالبًا يكون للناتج الذي ظهر على الآلة الحاسبة في الجزء السابق. ابدأ من أول رقم غير صفري وعُدّ ثلاثة أرقام، فهي التي تحتفظ بها. ثم انظر إلى الرقم الرابع: إن كان خمسة أو أكثر يزيد الرقم الثالث واحدًا. احذف ما بعده واترك الفاصلة في مكانها حتى يبقى حجم العدد كما هو. الخطأ الشائع: التقريب لثلاث منازل عشرية بدلًا من ثلاثة أرقام معنوية. تذكّر أن الفاصلة ليست رقمًا.

The 1-mark question you see most: "Write 36.4827 correct to 3 significant figures." Often it is the display from a calculator part just before.

Worked example

1
$36.4827$ — The question: keep 3 significant figures. Start at the 3, the first digit that is not zero.
2
$36.4 827$ — Count 3 figures from the left: 3, 6, 4. These are the ones you keep.
3
$36.4 827$ — Look at the next figure, the 4th. It decides whether the 4 changes.
4
$8 \geq 5$ — 8 is 5 or more, so round the last kept figure up: the 4 becomes 5.
5
$36.5$ — Drop every figure after the 3rd. The point stays where it was, so the number keeps its size.

Common mistake

Rounding to 3 decimal places instead, and writing 36.483. Significant figures count from the first digit, not from the point.

Key idea

The decimal point is not a figure. Just count digits, then keep the point where it was.

3. Round to 4 Significant Figures

التقريب لأربعة أرقام معنوية بالطريقة نفسها: احتفظ بأربعة أرقام من أول رقم غير صفري، والرقم الخامس هو الذي يقرر. إذا كان آخر رقم محفوظ تسعة وعليه أن يزيد، فإنه يصبح صفرًا ونحمل واحدًا إلى اليسار، وقد يتكرر الحمل. احتفظ بالأصفار الناتجة في النهاية، لأنها من الأرقام المعنوية وتُظهر أنك قرّبت لأربعة أرقام. الخطأ الشائع: حذف هذه الأصفار، فتصبح الإجابة برقمين معنويين فقط ولا تجيب عن السؤال.

Some questions ask for 4 significant figures. The method is the same: keep 4 figures, and the 5th decides.

Worked example

1
$2.39962$ — The question: write it correct to 4 significant figures. Start at the 2, the first figure.
2
$2.399 62$ — Count 4 figures: 2, 3, 9, 9. These are the ones you keep.
3
$2.399 62$ — The 5th figure is 6. That is 5 or more, so the last 9 rounds up.
4
$2.399 + 0.001 = 2.400$ — A 9 that rounds up becomes 10, so it carries left: 2.399 becomes 2.400.
5
$2.400$ — Keep both zeros. They are the 3rd and 4th significant figures, so they show you rounded to 4.

Common mistake

Writing 2.4. That has only 2 significant figures, so it does not answer the question.

4. Round to 2 or 1 Significant Figures

للتقريب لرقمين معنويين احتفظ بأول رقمين من أول رقم غير صفري، والرقم الثالث هو الذي يقرر. إن كان خمسة أو أكثر يزيد الرقم الثاني واحدًا. وإذا كان الرقم الثاني تسعة فإنه يحمل إلى الخانة التي قبله، فينتج صفر. احتفظ بهذا الصفر لأنه الرقم المعنوي الثاني ويُظهر أنك قرّبت لرقمين. الخطأ الشائع: حذف الصفر فتصبح الإجابة برقم معنوي واحد. وللتقريب لرقم معنوي واحد يقرر الرقم الثاني.

The 1-mark question: "Give your answer correct to 2 significant figures." The 3rd figure decides.

Worked example

1
$5.9 62$ — Keep 2 significant figures. Start at the 5, the first digit, so keep 5 and 9.
2
$5.9 62$ — The 3rd figure decides. It is 6, which is 5 or more, so round the 9 up.
3
$5.9 + 0.1 = 6.0$ — 9 tenths plus 1 tenth makes 10 tenths, which carries into the units. So 5.9 becomes 6.0.
4
$6.0$ — Keep the 0. It is the 2nd significant figure, so it shows you rounded to 2.

Common mistake

Writing just 6. That is only 1 significant figure. The 0 after the point shows you rounded to 2.

Key idea

For 1 significant figure, the 2nd figure decides: 7.46 becomes 7.

5. Small Numbers: Skip the Zeros

مع الأعداد الصغيرة التي تبدأ بصفر وفاصلة: تجاوز الأصفار الأمامية أولًا، ثم ابدأ العدّ من أول رقم غير صفري. أي صفر يأتي بعد هذا الرقم يُحسب رقمًا معنويًا. احتفظ بالعدد المطلوب من الأرقام، وانظر إلى الرقم التالي ليقرر، ثم احذف الباقي. الأصفار الأمامية تبقى في الإجابة حتى يحافظ العدد على حجمه. الخطأ الشائع: التقريب لمنازل عشرية بدلًا من أرقام معنوية، فتبقى في الإجابة أرقام معنوية أقل من المطلوب.

The 1-mark question with a small answer, like 0.030 68. Skip the zeros in front, then count.

Worked example

1
$0.0 3068$ — Skip the zeros in front. The first significant figure is the 3.
2
$0.0 3068$ — For 2 figures, keep 3 and 0. This 0 counts, because it comes after the 3.
3
$0.030 68$ — The next figure is 6. That is 5 or more, so the 0 rounds up to 1.
4
$0.031$ — Drop the rest. The front zeros stay, so the number keeps its size. That is 2 significant figures.
5
$0.0 3068$ — For 3 figures instead, keep 3, 0 and 6.
6
$0.0306 8 \to 0.0307$ — The next figure is 8, so the 6 rounds up to 7.

Common mistake

Rounding to 2 decimal places and writing 0.03. That keeps only 1 significant figure.

6. Big Numbers Keep Their Size

مع الأعداد الكبيرة: قرّب للعدد المطلوب من الأرقام المعنوية، ثم ضع أصفارًا مكان الأرقام المحذوفة حتى يبقى العدد بحجمه نفسه. فالعدد الذي بالآلاف يجب أن تبقى إجابته بالآلاف. الرقم الذي يلي آخر رقم محفوظ هو الذي يقرر كالعادة. الخطأ الشائع: كتابة الرقمين المحفوظين فقط دون الأصفار، فيصغر العدد كثيرًا ويصبح خاطئًا. وينطبق الأمر نفسه عند التقريب لرقم معنوي واحد.

The 1-mark question with a big number, like 48 599 to 2 significant figures. Round, then fill with zeros so the number stays the same size.

Worked example

1
$48599$ — Keep 2 significant figures: the 4 and the 8.
2
$48599$ — The 3rd figure decides. It is 5, which is 5 or more, so the 8 rounds up to 9.
3
$49000$ — Put zeros where the dropped figures were. 48 599 is about forty-eight thousand, so the answer must stay in the thousands.
4
$48599$ — For 3 figures instead, keep 4, 8 and 5.
5
$48599$ — The 4th figure is 9, so the 5 rounds up to 6.
6
$48600$ — Fill the last two places with zeros, again to keep the size.

Common mistake

Writing 49. The answer must still be about forty-eight thousand, so write 49 000.

Key idea

Same with 1 figure: 109.07 to 1 significant figure is 100, not 1.

7. Round a Calculator Answer

سؤال المتابعة: تحسب على الآلة الحاسبة ثم تقرّب لعدد من الأرقام المعنوية. أدخل الكسر مع أقواس حول البسط كله وحول المقام كله. اكتب كل ما يظهر على الشاشة أولًا، فهذا السطر قد يأخذ درجة. إذا كان الناتج سالبًا فتجاهل الإشارة أثناء العدّ، قرّب بالطريقة المعتادة، ثم أعد الإشارة السالبة لأن التقريب لا يغيّر الإشارة. حتى لو كان ناتجك خاطئًا قرّبه، فالمصحح يعطي درجة التقريب الصحيح. الخطأ الشائع: التقريب على مراحل، والصحيح أن تقرّب مرة واحدة من العدد الكامل.

The follow-on question: work something out on your calculator, then give the answer to 2 or 3 significant figures. Write the full display first, then round it once.

Worked example

1
$\frac{0.8 - 2. 7 ^{3}}{3. 6 ^{2}}$ — The question: give the answer to 3 significant figures. Type it with brackets round the whole top and the whole bottom.
2
$= - 1.457021605$ — Write down every figure on the display. This line can earn a mark even if your rounding goes wrong.
3
$- 1.45 7021605$ — Ignore the minus for now. Count 3 figures from the 1: 1, 4, 5.
4
$- 1.45 7021605$ — The 4th figure is 7. That is 5 or more, so the 5 rounds up to 6.
5
$- 1.46$ — Put the minus back. Rounding never changes the sign, so the answer stays negative.

Key idea

Show the full display, then the rounded answer. If your display is wrong, round it anyway: examiners give the rounding mark when you round your own answer correctly.

Common mistake

Rounding in stages. 2.3449 to 2 significant figures is 2.3. Going 2.345, then 2.35, then 2.4 is wrong. Round once, from the full number.

8. Which Method? Read the Question

هذه شاشة مراجعة: حدّد عدد الأرقام المعنوية المطلوبة، ثم أوجد أول رقم غير صفري. احتفظ بالعدد المطلوب من الأرقام، والرقم الذي يليه هو الذي يقرر. مع العدد الذي يبدأ بصفر وفاصلة تجاوز الأصفار الأمامية ثم عُدّ، ومع العدد الكبير قرّب ثم املأ الباقي بالأصفار. ومع ناتج الآلة الحاسبة اكتب الشاشة كاملة ثم قرّب مرة واحدة. أما المنازل العشرية والتقريب لأقرب عشرة أو مئة والتقدير فلها دروس خاصة. وتحقّق: إجابتك قريبة من العدد الأصلي وفيها العدد المطلوب تمامًا من الأرقام المعنوية.

Find the number of figures asked for, then find the first figure that is not zero.

You see	You do
3 significant figures	keep 3 figures, the 4th decides
2 or 1 significant figures	keep 2 or 1, the next decides
A number starting 0.0	skip the front zeros, then count
A big whole number	round, then fill with zeros
4 significant figures	keep 4, the 5th decides
Round your calculator answer	write the full display, then round once
Write down all the figures	Using a Calculator
Correct to 2 decimal places	Rounding to Decimal Places
Nearest 10, 100 or 1000	Rounding
Estimate, round to 1 figure first	Estimation

Key idea

Check your answer: it should be close to the number you started with, and have exactly the figures asked for.

تدرّب على الأرقام المعنوية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الأرقام المعنوية

1. What Significant Figures Are

2. Round to 3 Significant Figures

3. Round to 4 Significant Figures

4. Round to 2 or 1 Significant Figures

5. Small Numbers: Skip the Zeros

6. Big Numbers Keep Their Size

7. Round a Calculator Answer

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على الأرقام المعنوية

أسئلة امتحانات سابقة على الأرقام المعنوية، محلولة ومشروحة بالعربي