شرح التقدير

Estimation

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What an Estimate Is

التقدير هو إجابة سريعة تحسبها في ذهنك. ليس دقيقًا، لكنه يخبرك بالحجم التقريبي للإجابة. الطريقة: قرّب كل عدد أولًا لرقم معنوي واحد، ثم احسب بالأعداد السهلة، واكتب علامة «يساوي تقريبًا». الرقم المعنوي الواحد هو أول رقم غير صفري، والأصفار التي تحفظ القيمة المكانية تبقى، فالعدد بالمئات يبقى بالمئات ولا يصبح آحادًا.

An estimate is a quick answer you can work out in your head. It is not exact, but it tells you roughly how big the answer is.

Rule

Round every number to 1 significant figure first. Then do the sum with the easy numbers. Write $\approx$ , which means "is about".

Number	To 1 s.f.
6.87	7
213	200
0.487	0.5
0.0189	0.02

Key idea

1 s.f. keeps only the first digit that is not zero. The zeros that hold the place stay: 213 becomes 200, not 2.

2. Estimate a Fraction Calculation

سؤال شائع: «بتقريب كل عدد لرقم معنوي واحد، أوجد تقديرًا». يجب أن تكتب الأعداد بعد التقريب لأنها تأخذ درجة. قرّب كل عدد لرقم معنوي واحد، ثم احسب البسط أولًا، ثم اقسم على المقام. انتبه: القسمة على نصف تضاعف العدد، لأن في كل واحد نصفين. الخطأ الشائع: القسمة على نصف وكأنها أخذ النصف، فيصغر الناتج بدل أن يكبر. ومع الكسر العشري الصغير جدًا اضرب البسط والمقام في مئة لتسهل القسمة.

A common 2- or 3-mark question: "By rounding each number to 1 significant figure, work out an estimate." You must show the rounded numbers.

Worked example

1
$\frac{6.87 \times 213}{0.487}$ — The question. These numbers are too awkward to work with in your head.
2
$\approx \frac{7 \times 200}{0.5}$ — Round each number to 1 s.f.: 6.87 → 7, 213 → 200, 0.487 → 0.5. Write them down, because they earn a mark.
3
$= \frac{1400}{0.5}$ — Work out the top first: 7 × 200 = 1400.
4
$= 2800$ — Dividing by 0.5 doubles, because there are 2 halves in every 1. So 1400 × 2 = 2800.

Common mistake

Writing 700. Dividing by 0.5 makes the answer bigger, because there are 2 halves in every 1.

Key idea

For a tiny decimal, multiply top and bottom by 100. $\frac{2000}{0.02} = \frac{200 000}{2} = 100000$ .

3. Sums and Differences in an Estimate

كثير من أسئلة التقدير فيها جمع أو طرح في البسط أو المقام. قرّب كل عدد أولًا لرقم معنوي واحد واكتب هذا السطر لأنه يأخذ درجة. ثم عامل خط الكسر كأنه أقواس: أكمل البسط وحده، ثم المقام وحده، ثم اقسم. الأخطاء الشائعة: الجمع قبل التقريب، أو القسمة على جزء من المقام فقط. واكتب الأعداد المقرّبة بلا أصفار بعد الفاصلة حتى يظهر أنك قرّبت.

Most estimate questions have a + or − on the top or the bottom of the fraction. Round every number first, then treat the fraction line like brackets.

Worked example

1
$\frac{58.4 + 21.7}{6.83 - 2.1}$ — The question. A plus on top and a minus below.
2
$\approx \frac{60 + 20}{7 - 2}$ — Round all four numbers to 1 s.f.: 58.4 → 60, 21.7 → 20, 6.83 → 7, 2.1 → 2. Write this line down: it earns a mark.
3
$= \frac{80}{7 - 2}$ — Finish the top: 60 + 20 = 80. The fraction line works like brackets, so the top is done on its own.
4
$= \frac{80}{5}$ — Finish the bottom: 7 − 2 = 5.
5
$= 16$ — Now divide: 80 ÷ 5 = 16. This is the estimate.

Common mistake

Working out 58.4 + 21.7 = 80.1 first, then rounding. Round each number before you add or take away, or you lose the marks for the rounded values.

Common mistake

Doing 60 + 20 ÷ 7 − 2. The fraction line means: finish the top, finish the bottom, then divide.

Key idea

Write rounded numbers as 60 and 7, never 60.0 or 7.0. Extra zeros after the point make it look as if you did not round, and that costs a mark.

4. Powers and Roots in an Estimate

بعض التقديرات فيها تربيع أو تكعيب أو جذر تربيعي. قرّب العدد أولًا، بما في ذلك العدد تحت الجذر أو تحت الأس، ثم أوجد الجذر أو القوة. اختر تقريبًا يعطي جذرًا سهلًا. تذكّر أن تربيع عدد أقل من الواحد يجعله أصغر، فمربع النصف هو الربع. والقسمة على ربع تعني الضرب في أربعة. الخطأ الشائع: الظن أن مربع النصف واحد أو أكبر. والجذر التكعيبي يُعامل بالطريقة نفسها.

Some estimates have a square, a cube or a square root in them. Round the number first, then do the power or the root.

Worked example

1
$\frac{2.93 \times 385}{0.51 2 ^{2}}$ — The question. A root on top and a square below.
2
$\approx \frac{3 \times 400}{0.5 ^{2}}$ — Round each number to 1 s.f., including the ones under the √ and under the square: 2.93 → 3, 385 → 400, 0.512 → 0.5.
3
$= \frac{3 \times 20}{0. 5 ^{2}}$ — √400 = 20, because 20 × 20 = 400.
4
$= \frac{3 \times 20}{0.25}$ — 0.5² = 0.5 × 0.5 = 0.25. Squaring a number less than 1 makes it smaller.
5
$= \frac{60}{0.25}$ — Work out the top: 3 × 20 = 60.
6
$= 240$ — 0.25 is a quarter, and there are 4 quarters in every 1. So dividing by 0.25 multiplies by 4: 60 × 4 = 240.

Common mistake

Writing 0.5² = 1 or 0.5² = 2.5. Half of a half is a quarter: 0.5 × 0.5 = 0.25.

Key idea

Cube roots work the same way: $31046 \approx 31000 = 10$ , because 10 × 10 × 10 = 1000.

5. Check a Calculator Answer

في هذا السؤال يعطيك أحدهم ناتجًا من الآلة الحاسبة، وعليك أن تبيّن هل هو معقول أم لا. الطريقة: قدّر الحساب بنفسك بتقريب كل عدد لرقم معنوي واحد، ثم قارن تقديرك بإجابته. إذا كان الفرق كبيرًا جدًا، مثل عشرة أضعاف، فغالبًا انزلقت الفاصلة العشرية. اكتب جملة واضحة: «التقدير كذا، لذلك الإجابة غير معقولة». الخطأ الشائع: الاكتفاء بقول «إنها خاطئة» دون أعداد مقرّبة وتقدير ومقارنة.

The 2-mark question: someone gives a calculator answer, and you must show it is sensible, or not sensible. Estimate, then compare.

Mia works out $\frac{9.78 \times 312}{2.07}$ and gets 147.4.

Worked example

1
$\frac{9.78 \times 312}{2.07}$ — Mia's calculation. She got 147.4. Estimate it yourself to test her answer.
2
$\approx \frac{10 \times 300}{2}$ — Round each number to 1 s.f.: 9.78 → 10, 312 → 300, 2.07 → 2. Note 9.78 rounds up to 10, not 9.
3
$= \frac{3000}{2}$ — Work out the top first: 10 × 300 = 3000.
4
$= 1500$ — 3000 ÷ 2 = 1500. This is the estimate.
5
$147.4 vs 1500$ — Compare. Her answer is about ten times too small, so a decimal point has probably slipped.

Write a sentence: "The estimate is 1500, so 147.4 is not sensible."

Common mistake

Just saying "it is wrong". You get the marks for the rounded numbers, the estimate and a comparison.

6. Estimates in Real Life

بعض الأسئلة تضع الحساب داخل قصة: تكلفة كلية أو مساحة أو صيغة. حدّد أولًا العملية المطلوبة، مثل عدد التذاكر في سعر التذكرة، ثم قرّب كل عدد لرقم معنوي واحد واحسب. وقد يسألك: هل التقدير أكبر أم أصغر من القيمة الحقيقية؟ إذا قُرّب العددان للأعلى فالتقدير أكبر، وإذا قُرّبا للأسفل فهو أصغر، وإذا اختلف الاتجاه فلا يمكنك الحكم دون حساب أكثر. ومع الصيغة قرّب كل قيمة معطاة ثم عوّض.

Some questions put the sum in a story: a total cost, an area, or a formula. Find the sum you need, then round each number as usual.

38 tickets cost $19.60 each. Estimate the total cost.

Worked example

1
$38 \times 19.60$ — Total cost = number of tickets × price of one ticket.
2
$\approx 40 \times 20$ — Round each number to 1 s.f.: 38 → 40, 19.60 → 20.
3
$= 800$ — 40 × 20 = 800. So the total is about $800.
4
$40 > 38, 20 > 19.60$ — Is the estimate too big or too small? Both numbers were rounded up, so $800 is more than the exact cost.

Key idea

If both numbers are rounded down, the estimate is too small. If one goes up and one goes down, you cannot tell without more working.

Key idea

With a formula, round each value you are given, then substitute. For $P = 2 (l + w)$ with l = 18.7 and w = 6.2: $P \approx 2 (20 + 6) = 52$ .

7. Which Method? Read the Question

هذه شاشة مراجعة: كلمات السؤال تخبرك بما يجب أن تكتبه. «أوجد تقديرًا» يعني قرّب كل عدد لرقم معنوي واحد ثم احسب. «بيّن أن الإجابة معقولة» يعني قدّر ثم قل إنها قريبة، و«بيّن أنها غير معقولة» يعني قدّر ثم قل إنها بعيدة. إذا طُلب منك إثبات قيمة معيّنة للتقدير فاكتب كل عدد مقرّب ثم احسب حتى تصل إليها. مع الجمع أو الطرح في الكسر أكمل البسط ثم المقام ثم اقسم، ومع الجذر أو القوة قرّب العدد أولًا. والقسمة على كسر عشري صغير تكبّر الناتج. اكتب الأعداد المقرّبة دائمًا، فالتقدير وحده قد يخسر درجات حتى لو كان صحيحًا.

The words in the question tell you what to show.

You see	You do
Work out an estimate	round each number to 1 s.f., then calculate
Show the answer is sensible	estimate, then say it is close
Show it is not sensible	estimate, then say it is far off
Show that an estimate is 40	write every rounded number, then work down to 40
+ or − on the top or bottom	finish the top, finish the bottom, then divide
A √, ² or ³ in the sum	round the number first, then do the root or power
Is the estimate bigger or smaller?	check which way each number was rounded
Dividing by 0.5 or 0.02	the answer gets bigger
How do I round to 1 s.f.?	Significant Figures
Round to the nearest 10 or 100	Rounding

Key idea

Always write the rounded numbers down. A bare estimate can lose marks, even if it is right.

تدرّب على التقدير

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح التقدير

1. What an Estimate Is

2. Estimate a Fraction Calculation

3. Sums and Differences in an Estimate

4. Powers and Roots in an Estimate

5. Check a Calculator Answer

6. Estimates in Real Life

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على التقدير

أسئلة امتحانات سابقة على التقدير، محلولة ومشروحة بالعربي