شرح المعادلات الآنية بالحذف

Simultaneous Equations by Elimination

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Simultaneous Equations Are

المعادلات الآنية هي معادلتان فيهما مجهولان، ونبحث عن زوج واحد من الأعداد يجعل المعادلتين صحيحتين في الوقت نفسه. في المثال، أزواج كثيرة تحقق المعادلة الأولى، لكن زوجًا واحدًا فقط يحقق الثانية أيضًا. الطريقة: نجمع المعادلتين أو نطرح إحداهما من الأخرى فيختفي أحد المجهولين، وتُسمّى هذه الطريقة «الحذف». تذكّر أن الإجابة زوج، فلا ينتهي السؤال حتى تجد قيمة المجهولين كليهما.

Two equations, two letters, and one pair of numbers that makes both true at the same time.

Example

$x + y = 10$ and $x - y = 4$ . Many pairs add to 10, but only $x = 7, y = 3$ also has a difference of 4.

Rule

The method: add or subtract the two equations so one letter disappears. This is called elimination.

Key idea

The answer is a pair. The question is not finished until you have both x and y.

2. Add or Subtract to Remove a Letter

ابحث عن مجهول له المعامل نفسه في المعادلتين. في المثال، معامل «ص» متساوٍ في المعادلتين لكن بإشارتين مختلفتين، فنجمع المعادلتين فيختفي «ص» ويبقى «س» وحده، ثم نقسم لنجد قيمته. بعدها نعوّض بقيمة «س» في المعادلة الأولى لنجد «ص». القاعدة: إشارتان مختلفتان نجمع، وإشارتان متشابهتان نطرح. والخطأ الشائع التوقف بعد إيجاد المجهول الأول؛ عوّض دائمًا لتجد الثاني، ثم تحقّق من القيمتين في المعادلة الأخرى.

Look for a letter with the same number in front in both equations.

Worked example

1
$3 x + 2 y = 16$ — equation (1)
2
$5 x - 2 y = 8$ — equation (2): +2y and −2y have opposite signs
3
$8 x = 24$ — add the equations: +2y and −2y make 0
4
$x = 3$ — divide both sides by 8
5
$9 + 2 y = 16$ — put x = 3 into equation (1)
6
$y = 3.5$ — 2y = 7

Opposite signs

+ 2 y and - 2 y

Add the equations.

Same signs

+ 2 y and + 2 y

Subtract the equations.

Common mistake

Stopping at x = 3. Always put it back in to find y, then check both in the other equation: $15 - 7 = 8$ .

3. Subtracting a Negative Term

عندما يكون للمجهول المعامل نفسه والإشارة نفسها في المعادلتين نطرح، وإذا كان أحد الحدود سالبًا فانتبه جيدًا للإشارات. في المثال: نطرح المعادلة الثانية من الأولى ونضع كل معادلة بين قوسين حتى لا نضيّع أي إشارة. يختفي «س»، ثم نطرح حدّي «ص»، وطرح عدد سالب يساوي جمعه. بعدها نطرح الطرفين الأيمنين، ونقسم لنجد «ص»، ثم نعوّض به في المعادلة الأولى مع وضع القيمة السالبة بين قوسين لنجد «س»، ونتحقق في المعادلة الثانية. الخطأ الشائع نسيان أن الإشارة السالبة أمام القوس تصل إلى الحد السالب داخله فتجعله موجبًا.

Same signs means subtract. When one of the terms is negative, watch the signs closely.

Worked example

1
$3 x + 2 y = 10$ — Equation (1).
2
$3 x - 4 y = 16$ — Equation (2). Both have $3 x$ with the same sign, so subtract.
3
$(3 x + 2 y) - (3 x - 4 y) = 10 - 16$ — Take (2) away from (1). Brackets keep every sign safe.
4
$3 x - 3 x = 0$ — The x terms cancel. That is why we subtracted.
5
$2 y - (- 4 y) = 2 y + 4 y = 6 y$ — Taking away a negative is the same as adding, so −(−4y) becomes +4y.
6
$10 - 16 = - 6$ — Now the right side: 10 − 16 = −6.
7
$6 y = - 6$ — Put the two sides together.
8
$y = - 1$ — Divide both sides by 6.
9
$3 x + 2 (- 1) = 10$ — Put y = −1 into equation (1). Keep −1 in brackets.
10
$3 x - 2 = 10$ — 2 × (−1) = −2.
11
$3 x = 12$ — Add 2 to both sides.
12
$x = 4$ — Divide both sides by 3.
13
$12 - 4 (- 1) = 12 + 4 = 16$ — Check in equation (2). It gives 16, so x = 4, y = −1 is right.

Common mistake

Writing 2y − 4y = −2y. The minus in front of the bracket reaches the −4y too: −(−4y) = +4y.

4. When Nothing Matches: Multiply First

هذا أكثر أسئلة الامتحان شيوعًا: لا يتساوى معامل أي مجهول في المعادلتين، فنضرب المعادلتين حتى يتساوى أحدهما. في المثال: نضرب المعادلة الأولى في عدد والثانية في عدد آخر حتى يصبح معامل «ص» متساويًا في المعادلتين بإشارتين مختلفتين. نضرب كل حد، بما فيه العدد في الطرف الأيمن. ثم نجمع لأن الإشارتين مختلفتان، ونقسم لنجد «س»، ونعوّض في المعادلة الأولى لنجد «ص». الخطأ الشائع أن تضرب حدود المجهولين فقط وتنسى العدد في الطرف الأيمن.

This is the most common exam question. No letter matches, so multiply the equations until one does.

Worked example

1
$3 x + 4 y = 5$ — equation (1)
2
$5 x - 3 y = 18$ — equation (2): 4y and −3y don't match
3
$9 x + 12 y = 15$ — (1) × 3: every term, the right side too
4
$20 x - 12 y = 72$ — (2) × 4: now +12y and −12y match
5
$29 x = 87$ — opposite signs, so add
6
$x = 3$ — divide both sides by 29
7
$9 + 4 y = 5$ — put x = 3 into equation (1)
8
$y = - 1$ — 4y = −4

Common mistake

Multiplying only the x and y terms. The number on the right side must be multiplied too.

5. Line the Equations Up First

أحيانًا تأتي المجاهيل بترتيب مختلف أو في الطرف الخطأ، فرتّب المعادلتين أولًا بحيث يكون «س» فوق «س» و«ص» فوق «ص» والأعداد في الطرف الأيمن. في المثال: نبدّل ترتيب الحدود في المعادلة الأولى، وفي الثانية ننقل حد «ص» إلى اليسار والعدد إلى اليمين. ثم نضرب المعادلة الأولى حتى يتساوى معامل «ص» بإشارتين مختلفتين، فنجمع ونجد «س»، ثم نعوّض لنجد «ص»، ونتحقق في المعادلة الثانية كما أُعطيت. الخطأ الشائع جمع المعادلتين قبل ترتيبهما، فلا يختفي شيء. ولا تقلق إذا ظهرت إجابة كسرية أو عشرية؛ إن نجح التحقق فهي صحيحة.

Sometimes the letters are in a different order, or on the wrong side. Tidy both equations first, so x sits above x and y above y.

Worked example

1
$2 y + x = 3$ — Equation (1). The y comes first.
2
$3 x - 14 = 4 y$ — Equation (2). The y is on the right side.
3
$x + 2 y = 3$ — Swap the order in (1). Adding works in any order, so nothing else changes.
4
$3 x - 4 y - 14 = 0$ — In (2), take 4y from both sides.
5
$3 x - 4 y = 14$ — Add 14 to both sides. Now both equations are lined up.
6
$2 x + 4 y = 6$ — (1) × 2, every term. Now +4y and −4y match.
7
$5 x = 20$ — Opposite signs, so add: 2x + 3x = 5x and 6 + 14 = 20.
8
$x = 4$ — Divide both sides by 5.
9
$4 + 2 y = 3$ — Put x = 4 into x + 2y = 3.
10
$2 y = - 1$ — Take 4 from both sides.
11
$y = - \frac{1}{2}$ — Divide both sides by 2. A fraction is a fine answer.
12
$3 (4) - 14 = - 2, 4 (- \frac{1}{2}) = - 2$ — Check in (2) as it was given: both sides are −2.

Common mistake

Adding the equations before lining them up. Then x terms meet y terms, and nothing cancels.

Key idea

Answers like $y = - \frac{1}{2}$ or $x = 0.4$ are normal. If the check works, keep them. Don't start again.

6. Decimals in the Equations

بعض الأسئلة فيها كسور عشرية، والطريقة لا تتغير: تعامل معها كالأعداد الصحيحة. في المثال: نضرب المعادلة الأولى في عدد حتى يتساوى معامل «س» في المعادلتين، ونضرب العدد العشري في الطرف الأيمن أيضًا. الإشارتان متشابهتان فنطرح، ونقسم لنجد «ص»، ثم نعوّض في المعادلة الثانية لنجد «س»، ونتحقق في المعادلة الأولى. الخطأ الشائع نسيان ضرب العدد العشري في الطرف الأيمن.

Some questions use decimals. The method does not change: treat them just like whole numbers.

Worked example

1
$2 x + 3 y = 2.9$ — Equation (1).
2
$4 x + y = 2.3$ — Equation (2).
3
$4 x + 6 y = 5.8$ — (1) × 2. Double every term, the 2.9 too. Now both have 4x.
4
$5 y = 3.5$ — Same signs, so subtract (2): 6y − y = 5y and 5.8 − 2.3 = 3.5.
5
$y = 0.7$ — Divide both sides by 5.
6
$4 x + 0.7 = 2.3$ — Put y = 0.7 into equation (2).
7
$4 x = 1.6$ — Take 0.7 from both sides.
8
$x = 0.4$ — Divide both sides by 4.
9
$2 (0.4) + 3 (0.7) = 0.8 + 2.1 = 2.9$ — Check in equation (1). It gives 2.9, so it is right.

Common mistake

Forgetting to double the 2.9. When you multiply an equation, the decimal on the right is multiplied too.

7. A Fraction in Front (Extended/Higher)

إذا كان أمام أحد المجاهيل كسر فتخلّص منه أولًا بضرب المعادلة كلها في المقام. في المثال: نضرب المعادلة الأولى في مقام الكسر فيختفي الكسر، ونضرب أيضًا حد «ص» والعدد في الطرف الأيمن. ثم نضرب المعادلة الثانية حتى يتساوى معامل «ص» بإشارتين مختلفتين، فنجمع ونقسم لنجد «س»، ثم نعوّض في المعادلة الثانية لنجد «ص»، ونتحقق في المعادلة الأولى. الخطأ الشائع ضرب الكسر وحده؛ يجب ضرب كل الحدود وإلا لم تعد المعادلة صحيحة.

If a letter has a fraction in front, clear the fraction first. Multiply the whole equation by the bottom number.

Worked example

1
$\frac{2 x}{3} + y = 5$ — Equation (1). The x has a fraction in front.
2
$5 x - y = 29$ — Equation (2).
3
$2 x + 3 y = 15$ — (1) × 3. The 3 on the bottom cancels. The y and the 5 are multiplied by 3 too.
4
$15 x - 3 y = 87$ — (2) × 3. Now +3y and −3y match.
5
$17 x = 102$ — Opposite signs, so add.
6
$x = 6$ — Divide both sides by 17.
7
$30 - y = 29$ — Put x = 6 into equation (2): 5 × 6 = 30.
8
$y = 1$ — 30 − 29 = 1, so y = 1.
9
$\frac{2 ( 6 )}{3} + 1 = 4 + 1 = 5$ — Check in equation (1). It gives 5, so it is right.

Common mistake

Multiplying only the fraction by 3. Every term must be multiplied, or the equation is no longer true.

8. Word Problems: Write Two Equations

في المسائل الكلامية أعطِ كل سعر مجهول رمزًا، وكل جملة تصبح معادلة. في مثال الأقلام والمساطر: نكتب معادلة من كل جملة، ثم نضرب إحداهما حتى يتساوى معامل الأقلام، ونطرح لأن الإشارتين متشابهتان، فنجد سعر المسطرة ثم نعوّض لنجد سعر القلم. اقرأ السطر الأخير من السؤال جيدًا، فقد يطلب مجموعًا وليس السعرين فقط. وفي مثال العملات نحتاج معادلتين: واحدة لعدد العملات وواحدة لقيمتها، ونكتب القيمة بالسنت لنتجنب الكسور العشرية. ثم نضرب معادلة العدد حتى يتساوى معامل أحد المجهولين، ونطرح ونجد الأول، ونعوّض لنجد الثاني، ونتحقق من القيمة الكلية.

Give each unknown price a letter. Each sentence becomes one equation.

4 pens and 3 rulers cost $5.00. 2 pens and 5 rulers cost $4.60.

Worked example

1
$4 p + 3 r = 5.00$ — p is a pen and r a ruler, in dollars
2
$2 p + 5 r = 4.60$ — the second sentence
3
$4 p + 10 r = 9.20$ — second equation × 2: now both have 4p
4
$7 r = 4.20$ — same signs, so subtract
5
$r = 0.60$ — a ruler costs $0.60
6
$4 p = 3.20, p = 0.80$ — put r back in: a pen costs $0.80

Key idea

Read the last line of the question. It may ask for a total, like 3 pens and 2 rulers: $3 (0.80) + 2 (0.60) = 3.60$ .

Not every question is about prices. With coins you need two equations: one for how many coins, one for what they are worth.

A box holds 30 coins. Each is a 5-cent or a 10-cent coin. Together they are worth $2.10.

Worked example

1
$f + t = 30$ — f five-cent coins and t ten-cent coins. This is the count equation.
2
$5 f + 10 t = 210$ — The value equation, in cents so there are no decimals: f coins at 5 cents are 5f, t coins at 10 cents are 10t, and $2.10 = 210 cents.
3
$5 f + 5 t = 150$ — Count equation × 5. Now both have 5f.
4
$5 t = 60$ — Same signs, so subtract: 10t − 5t = 5t and 210 − 150 = 60.
5
$t = 12$ — Divide both sides by 5. There are 12 ten-cent coins.
6
$f + 12 = 30$ — Put t = 12 into the count equation f + t = 30.
7
$f = 18$ — Take 12 from both sides. There are 18 five-cent coins.
8
$18 \times 5 + 12 \times 10 = 90 + 120 = 210$ — Check the value: 210 cents. It works.

9. Which Method? Read the Question

رتّب المعادلتين ثم انظر إلى المعاملات أمام المجاهيل. معامل متساوٍ بإشارتين مختلفتين: اجمع. معامل متساوٍ بإشارة واحدة: اطرح. لا شيء متساوٍ: اضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما أولًا. المسألة الكلامية: رمز لكل مجهول ومعادلة لكل جملة. إذا ظهر مربع المجهول أو حاصل ضرب المجهولين فاستخدم التعويض بدل الحذف. وإذا كانت المجاهيل غير مرتبة أو أمامها كسر فرتّب وتخلّص من الكسور أولًا. اكتب كل خطوة، ورقّم المعادلتين، واكتب ما فعلته مثل الضرب في عدد معيّن، لأن معظم الدرجات على خطوات الحل؛ الإجابة بلا خطوات أو بالتجربة تأخذ درجة واحدة تقريبًا. ثم تحقّق من الإجابتين في المعادلة التي لم تستخدمها.

Line the equations up and look at the numbers in front of the letters.

You see	You do
Same number, opposite signs	Add
Same number, same signs	Subtract
Nothing matches	Multiply one or both equations first
Word problem	One letter per unknown, one equation per sentence
An $x^{2}$ or $x y$	Substitute instead: see Simultaneous Equations with a Curve
Letters out of order, or a fraction in front	Tidy first: x above x, y above y, fractions cleared

Key idea

Show every line. Label the equations (1) and (2), and write what you did, like (1) × 3. Most of the marks are for this working: an answer with no working, or found by trying numbers, scores about 1 mark. Then check both answers in the equation you did not use.

تدرّب على المعادلات الآنية بالحذف

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المعادلات الآنية بالحذف

1. What Simultaneous Equations Are

2. Add or Subtract to Remove a Letter

3. Subtracting a Negative Term

4. When Nothing Matches: Multiply First

5. Line the Equations Up First

6. Decimals in the Equations

7. A Fraction in Front (Extended/Higher)

8. Word Problems: Write Two Equations

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على المعادلات الآنية بالحذف

أسئلة امتحانات سابقة على المعادلات الآنية بالحذف، محلولة ومشروحة بالعربي