شرح الحل بالتعويض

Solving by Substitution

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Put the Numbers In, Then Solve

التعويض يعني أن تضع مكان الرمز ما يساويه. هنا يعطيك القانون كل القيم ما عدا قيمة واحدة: عوّض بالأعداد المعروفة، فيبقى لديك معادلة فيها مجهول واحد تحلّها. في المثال: نضع الأعداد المعروفة مكان رموزها، ونستخدم قوسًا عند التعويض، ثم نحسب حاصل الضرب، وننقل العدد إلى الطرف الآخر، ونقسم على معامل المجهول. الخطأ الشائع التوقف قبل القسمة؛ السؤال يطلب قيمة المجهول نفسه، فأكمل حتى تجده.

Substitution means swapping a letter for what it is equal to. Here a formula gives you every value except one. Put in the numbers you know, and what is left is an equation to solve.

Worked example

1
$P = 3 a + 2 b, P = 5, b = 13$ — The question: find a. You know P and b, so a is the only unknown.
2
$5 = 3 a + 2 (13)$ — Put in the numbers you know. Use a bracket for b.
3
$5 = 3 a + 26$ — Work out 2 × 13 = 26.
4
$3 a = - 21$ — Take 26 from both sides: 5 − 26 = −21.
5
$a = - 7$ — Divide both sides by 3, because the question asks for a.

Common mistake

Stopping at 3a = −21. The question asks for a, so divide by 3.

2. When the Answer Is a Fraction

لا يُشترط أن تكون الإجابة عددًا صحيحًا؛ العدد السالب أو الكسر أو العدد العشري إجابة مقبولة. في المثال: نعوّض بالأعداد المعروفة، ونحسب حاصل الضرب، ثم نطرح هذا الناتج من الطرفين. انتبه لترتيب الطرح: نطرح الناتج من العدد الموجود في الطرف الآخر، لا العكس، فتظهر قيمة سالبة. ثم نقسم على معامل المجهول فنحصل على كسر سالب. الخطأ الشائع عكس ترتيب الطرح، فتخرج الإجابة موجبة وهي خاطئة.

The answer does not have to be a whole number. A negative, a fraction or a decimal is fine.

Worked example

1
$C = 4 n + 2 k, C = 3, n = 4$ — The question: find k.
2
$3 = 4 (4) + 2 k$ — Put in the numbers you know.
3
$3 = 16 + 2 k$ — Work out 4 × 4 = 16.
4
$2 k = 3 - 16$ — Take 16 from both sides. It is 3 − 16, not 16 − 3.
5
$2 k = - 13$ — 3 − 16 = −13. The answer will be negative.
6
$k = - \frac{13}{2} = - 6.5$ — Divide both sides by 2. A fraction or a decimal is fine.

Common mistake

Working out 16 − 3 = 13. Take 16 from both sides: 3 − 16 = −13.

3. Two Equations: Substitute One Into the Other

عندما تكون لديك معادلتان وإحداهما تقول «ص تساوي ...»، ضع هذه العبارة كاملة مكان «ص» في المعادلة الأخرى، داخل قوس. بعدها يبقى مجهول واحد فقط هو «س». اجمع حدود «س»، وانقل العدد إلى الطرف الآخر، ثم اقسم لتجد «س». أخيرًا عوّض بقيمة «س» في المعادلة الأولى لتجد «ص». وتحقّق دائمًا بالتعويض بالقيمتين في المعادلة الأخرى.

With two equations, if one says $y = \dots$ , put that whole expression in place of y in the other.

Worked example

1
$y = 2 x - 1, 3 x + y = 14$ — The pair. The first one tells you exactly what y equals.
2
$3 x + (2 x - 1) = 14$ — Replace y with its whole expression, in a bracket. Now only x is left.
3
$5 x - 1 = 14$ — Collect the x terms: 3x + 2x = 5x.
4
$5 x = 15$ — Add 1 to both sides.
5
$x = 3$ — Divide both sides by 5.
6
$y = 2 (3) - 1 = 5$ — Put x = 3 into y = 2x − 1 to find y.

Key idea

Check in the other equation: $3 (3) + 5 = 14$ . Both are true, so x = 3, y = 5.

4. When y Has a Number in Front

كثيرًا ما يطلب الامتحان «نقطة تقاطع المستقيمين»، وهي نقطة تقع على المستقيمين معًا، فنحلّ المعادلتين معًا. انتبه عندما يكون أمام «ص» معامل. في المثال: نضع عبارة «ص» مكانه داخل قوس، والمعامل الذي أمامه يضرب كل حدود القوس. نفكّ القوس، ونجمع حدود «س»، وننقل العدد، ونقسم لنجد «س». ثم نعوّض في المعادلة الأسهل لنجد «ص»، ونتحقق في المعادلة الأخرى. وبما أن السؤال يطلب نقطة، نكتب الإجابة إحداثيين: «س» أولًا ثم «ص». الخطأ الشائع ضرب المعامل في الحد الأول من القوس فقط.

Exams often say “find the point where the lines meet” (the point of intersection). That point is on both lines, so solve the two equations together. Watch out when y has a number in front.

Worked example

1
$y = 3 x - 2, x + 2 y = 17$ — The question: find where these two lines meet.
2
$x + 2 (3 x - 2) = 17$ — Replace y with 3x − 2 in a bracket. The 2 must multiply all of it.
3
$x + 6 x - 4 = 17$ — Expand: 2 × 3x = 6x and 2 × (−2) = −4.
4
$7 x - 4 = 17$ — Collect the x terms: x + 6x = 7x.
5
$7 x = 21$ — Add 4 to both sides.
6
$x = 3$ — Divide both sides by 7.
7
$y = 3 (3) - 2 = 7$ — Put x = 3 into y = 3x − 2, the easier equation.
8
$3 + 2 (7) = 17$ — Check in the other equation: 3 + 14 = 17. It works.
9
$(3, 7)$ — The question asks for a point, so write the answer as coordinates (x, y).

Common mistake

Writing 2(3x) − 2. The 2 multiplies both terms in the bracket, so it is 6x − 4.

5. Rearrange First, Then Substitute

إذا لم تبدأ أيّ من المعادلتين بـ«ص تساوي»، فابحث عن مجهول بلا معامل أمامه، واجعله موضوع القانون أولًا، ثم عوّض كما سبق. في المثال: «س» في المعادلة الأولى بلا معامل، فننقل حد «ص» إلى الطرف الآخر لنحصل على «س» بدلالة «ص». نضع هذه العبارة داخل قوس مكان «س» في المعادلة الثانية، ونفكّ القوس، ونجمع حدود «ص»، وننقل العدد، ثم نقسم على عدد سالب فيصبح الناتج موجبًا. بعدها نعوّض لنجد «س». الخطأ الشائع التحقق في المعادلة التي أعدت ترتيبها، فهي تتحقق دائمًا ولا تثبت شيئًا؛ تحقّق في المعادلة الأخرى.

Neither equation starts y = …? If one has a lone x or y (no number in front), make that letter the subject first. Then substitute as before.

Worked example

1
$x + 3 y = 11, 2 x - y = 1$ — The pair. The first one has a lone x, so it is the easy one to rearrange.
2
$x = 11 - 3 y$ — Take 3y from both sides. Now it says x = …
3
$2 (11 - 3 y) - y = 1$ — Replace x in the other equation with 11 − 3y, in a bracket.
4
$22 - 6 y - y = 1$ — Expand: 2 × 11 = 22 and 2 × (−3y) = −6y.
5
$22 - 7 y = 1$ — Collect the y terms: −6y − y = −7y.
6
$- 7 y = - 21$ — Take 22 from both sides: 1 − 22 = −21.
7
$y = 3$ — Divide both sides by −7. Minus ÷ minus is plus, so y = 3.
8
$x = 11 - 3 (3) = 2$ — Put y = 3 into x = 11 − 3y.
9
$2 (2) - 3 = 1$ — Check in the other equation: 4 − 3 = 1. It works, so x = 2, y = 3.

Common mistake

Checking in the equation you rearranged. It always fits, so it proves nothing. Check in the other one.

6. Which Method? Read the Question

اقرأ السؤال ثم اختر الخطوة المناسبة. قانون فيه مجهول واحد: عوّض بالأعداد ثم حلّ ما تبقى. معادلتان وإحداهما تبدأ بـ«ص تساوي» أو «س تساوي»: ضع هذه العبارة داخل قوس في المعادلة الأخرى. معادلتان وفي إحداهما مجهول بلا معامل: اجعله موضوع القانون ثم عوّض. معادلتان بلا مجهول منفرد: اجمعهما أو اطرحهما لحذف مجهول، وهذه طريقة الحذف. إحدى المعادلتين فيها حد مربّع: عوّض بالخط في المنحنى. تحقّق دائمًا بالتعويض في المعادلة التي لم تستخدمها، واكتب كل خطوة خاصة خطوة القوس، لأن معظم الدرجات على خطوات الحل.

Read the question, then pick the move.

You see	You do
A formula with one letter unknown	Put the numbers in, then solve what is left
Two equations, one starts y = … or x = …	Put that expression, in a bracket, into the other
Two equations, one has a lone x or y	Make that letter the subject, then substitute
Two equations, no lone letter	Add or subtract them to remove a letter (lesson: Simultaneous Equations by Elimination)
One equation has a squared term	Substitute the line into the curve (lesson: Simultaneous Equations with a Curve)

Key idea

Always check: put your answer back into the equation you did not use.

Key idea

Show every line, especially the one with the bracket. Most of the marks are for the working, so an answer with no working scores very little.

تدرّب على الحل بالتعويض

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الحل بالتعويض

1. Put the Numbers In, Then Solve

2. When the Answer Is a Fraction

3. Two Equations: Substitute One Into the Other

4. When y Has a Number in Front

5. Rearrange First, Then Substitute

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على الحل بالتعويض

أسئلة امتحانات سابقة على الحل بالتعويض، محلولة ومشروحة بالعربي