شرح حل المعادلات التكعيبية

Solving Cubic Equations

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The plan for a cubic

المعادلة التكعيبية أعلى قوة فيها مكعب السين. قد يكون لها حتى ثلاثة جذور حقيقية، ولها دائمًا جذر واحد على الأقل، لأن منحناها يبدأ في جهة من محور السينات وينتهي في الجهة الأخرى، فلا بد أن يقطع المحور. الخطة لا تتغير أبدًا: أوجد جذرًا واحدًا بالتجربة حتى تصبح قيمة الدالة صفرًا، فيكون القوس المقابل عاملًا بنظرية العامل. اقسم على هذا القوس لتحصل على عامل تربيعي، ثم حلّل العامل التربيعي أو استخدم القانون العام، وساوِ كل عامل بالصفر واذكر كل الجذور. هناك قانون عام للمعادلة التكعيبية لكنه طويل ولا يستخدمه أحد في الامتحان.

A cubic equation has an $x^{3}$ term as its highest power, like $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0$ . It can have up to three real roots.

It always has at least one. The graph of a cubic starts on one side of the x-axis and ends on the other, so it must cross the axis at least once.

Rule

The plan never changes: find one root, divide it out, then solve the quadratic that is left.

Steps

1
1. Find a value a with $P (a) = 0$ . By the factor theorem, $x - a$ is a factor.
2. Divide by $x - a$ to get a quadratic factor.
3. Factorise the quadratic, or use the quadratic formula.
4. Set each factor equal to zero and list every root.

Key idea

In 1545 the Italian scholar Gerolamo Cardano published a formula that solves any cubic. It is long and messy, so nobody uses it in an exam. The factor theorem gets you there in a few lines.

2. Finding the first root

من أين نبدأ البحث عن الجذر الأول؟ إذا بدأت المعادلة بمكعب السين وحده وكانت معاملاتها أعدادًا صحيحة، فأي جذر صحيح يجب أن يقسم الحد الثابت. جرّب قواسم الحد الثابت الموجبة والسالبة، وابدأ بالصغيرة مثل الواحد والاثنين. في المثال التعويض بواحد يعطي صفرًا، فالقوس السين ناقص واحد عامل. نقسم عليه لنحصل على عامل تربيعي، ونحلله إلى قوسين، ثم نساوي كل قوس بالصفر. الخطأ الشائع التوقف عند الأقواس؛ كلمة «حلّ» تعني أن تكتب قيم السين نفسها. ويكفيك نجاح واحد في التجربة لتبدأ.

Where do you look for the first root? If the cubic starts with $x^{3}$ and has whole-number coefficients, any whole-number root must divide the number term exactly.

Rule

Try the divisors of the number term, positive and negative: for a number term of 6, try $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . Start with the small ones.

Worked example

1
Solve $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .
2
$P (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ — Try x = 1 first. It gives 0, so x = 1 is a root.
3
$(x - 1) is a factor$ — Factor theorem.
4
$(x - 1) (x^{2} - x - 6) = 0$ — Divide by x − 1, by long division or by comparing coefficients.
5
$(x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$ — Factorise the quadratic: −3 and 2 multiply to −6 and add to −1.
6
$x = 1, x = 3, x = - 2$ — Set each bracket equal to zero.

Common mistake

Stopping at the brackets. Solve means give the values of x, so finish with $x = 1, 3, - 2$ .

Key idea

Small divisors of the number term first. One success is all you need.

3. When x³ has a number in front

إذا كان أمام مكعب السين عدد غير الواحد فالخطة نفسها تعمل. الجذور الصحيحة ما زالت تقسم الحد الثابت، لكن قد يكون الجذر كسرًا، فإن لم ينجح أي عدد صحيح فجرّب كسورًا مثل النصف. في المثال التعويض بواحد لا يعطي صفرًا فنجرّب غيره حتى ينجح الاثنان، ثم نقسم، ويحتفظ العامل التربيعي بالعدد الذي أمامه، ونحلله ونساوي كل قوس بالصفر فيظهر جذر كسري. الخطأ الشائع نسيان الجذر الأول الذي وجدته بالتجربة؛ الإجابة ثلاث قيم. وإذا قال السؤال «استخدم الجبر» فالإجابات الصحيحة بلا خطوات قد لا تأخذ أي درجة، فاكتب كل سطر تجربة لأنه يأخذ درجة طريقة أيضًا.

When the cubic starts with a number other than 1, such as $2 x^{3}$ , the same plan works. Whole-number roots still divide the number term. A root may also be a fraction, so if no whole number works, try fractions like $\pm \frac{1}{2}$ or $\pm \frac{3}{2}$ .

Worked example

1
Solve $2 x^{3} + x^{2} - 13 x + 6 = 0$ .
2
$P (1) = 2 + 1 - 13 + 6 = - 4$ — Not zero, so x = 1 is not a root. Try again.
3
$P (2) = 16 + 4 - 26 + 6 = 0$ — x = 2 works, so (x − 2) is a factor.
4
$(x - 2) (2 x^{2} + 5 x - 3) = 0$ — Divide by x − 2. The quadratic keeps the 2 in front.
5
$(x - 2) (2 x - 1) (x + 3) = 0$ — Factorise the quadratic: (2x − 1)(x + 3) = 2x² + 5x − 3.
6
$x = 2, x = \frac{1}{2}, x = - 3$ — Each bracket equal to zero. 2x − 1 = 0 gives one half.

Mark schemes give marks for finding a factor, for the quadratic factor, for solving, and for the roots. When a question says “use algebra”, correct roots with no working can score nothing, even on the 4PM1 calculator papers.

Common mistake

Losing the first root. The answer has three values: the one you found by trial, and the two from the quadratic.

Rule

0606 Paper 1 has no calculator, so test values by hand. Write each test line out: it also earns method marks.

Key idea

A cubic with a whole-number root is a quadratic you have not met yet. One division introduces you.

4. Surd roots

أحيانًا لا يتحلل العامل التربيعي، فاستخدم القانون العام لحل المعادلة التربيعية واكتب الجذور بالصورة الدقيقة بالجذور الصمّاء. القانون مطبوع في أوراق كامبردج، أما إدكسل فيجب أن تحفظه. في المثال نجد جذرًا صحيحًا بالتجربة ونقسم، فيبقى عامل تربيعي لا يتحلل، فنقرأ معاملاته الثلاثة بإشاراتها ونعوّض في القانون، ثم نبسّط الجذر بإخراج المربع الكامل منه، ونقسم البسط كله على المقام. الخطأ الشائع أن تقسم الحد الأول فقط من البسط وتنسى الحد الذي فيه الجذر؛ كلا الحدين يُقسم. «بالقيمة الدقيقة» تعني جذورًا صمّاء لا أعدادًا عشرية.

Sometimes the quadratic factor will not factorise. Then use the quadratic formula on it, and give the roots as exact surds.

Formula

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

$a$ — the number in front of x² in the quadratic factor.
$b$ — the number in front of x.
$c$ — the number term.

Rule

0606 and 4037 print this formula on the paper. 4PM1 does not: learn it.

Worked example

1
Solve $x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 4 = 0$ , giving exact answers.
2
$P (1) = 1 - 3 - 2 + 4 = 0$ — x = 1 is a root, so (x − 1) is a factor.
3
$(x - 1) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$ — Divide by x − 1.
4
$x = \frac{2 \pm 4 + 16}{2}$ — x² − 2x − 4 does not factorise, so use the formula: a = 1, b = −2, c = −4.
5
$= \frac{2 \pm 2 5}{2} = 1 \pm 5$ — √20 = √4 × √5 = 2√5. Then divide both terms by 2.
6
$x = 1, x = 1 + 5, x = 1 - 5$ — All three exact roots.

Common mistake

Dividing only the 2 by 2. Both parts of the top are divided: $\frac{2 \pm 2 5}{2} = 1 \pm 5$ .

Key idea

Exact means surds, not decimals. On a non-calculator paper this is the only way to finish.

5. Only one real root

سؤال مفضّل آخر: «بيّن أن للمعادلة التكعيبية جذرًا حقيقيًا واحدًا فقط». أوجد الجذر الذي تستطيع إيجاده بالتجربة، واقسم عليه، ثم بيّن أن العامل التربيعي ليس له جذور حقيقية. الذي يحسم ذلك هو المميّز، أي مربع المعامل الأوسط ناقص أربعة أضعاف حاصل ضرب المعامل الأول في الحد الثابت. إذا كان سالبًا فلا جذر تربيعي حقيقي له، فلا جذور حقيقية للعامل التربيعي. الخطأ الشائع أن تحسب المميّز وتتوقف؛ الدرجة تحتاج القيمة، ثم مقارنتها بالصفر، ثم جملة الاستنتاج بأن الجذر الوحيد هو الذي وجدته.

Another favourite: show that a cubic equation has only one real root. Find the root you can, divide, then show the quadratic factor has no real roots.

The part under the square root, $b^{2} - 4 a c$ , decides this. If it is negative, there is no real square root, so the quadratic has no real roots.

Worked example

1
Show that $x^{3} + x^{2} + x - 3 = 0$ has only one real root.
2
$P (1) = 1 + 1 + 1 - 3 = 0$ — x = 1 is a root.
3
$(x - 1) (x^{2} + 2 x + 3) = 0$ — Divide by x − 1.
4
$b^{2} - 4 a c = 2^{2} - 4 (1) (3) = - 8$ — Work out b² − 4ac for the quadratic factor: a = 1, b = 2, c = 3.
5
$- 8 < 0$ — Negative, so x² + 2x + 3 = 0 has no real roots.
6
$Only real root: x = 1$ — Write the conclusion in words.

Common mistake

Working out $b^{2} - 4 a c$ and stopping. The mark needs the value, the comparison with 0, and the conclusion.

Key idea

One root from the bracket, none from the quadratic: one real root in total.

6. Hence: cubics in disguise

قد يحل السؤال معادلة تكعيبية ثم يقول «ومن ثمّ حلّ» معادلة أطول. انظر جيدًا: كثيرًا ما تكون هي المعادلة نفسها لكن مربع متغير جديد مكتوب مكان السين، لأن القوة السادسة هي مكعب المربع والقوة الرابعة مربع المربع. ضع المربع مكان السين في كل عامل، ثم ساوِ كل عامل بالصفر. كل مربع يساوي عددًا موجبًا يعطي جذرين: موجبًا وسالبًا، وقد تحتاج إلى إنطاق المقام. الخطأ الشائع نسيان الجذر السالب. وارفض أي قيمة مستحيلة: المربع لا يكون سالبًا، وكذلك الدالة الأسية لا تكون سالبة. «ومن ثمّ» تعني: استخدم ما وجدته للتو.

A question may solve a cubic, then say “hence solve” a longer equation. Look closely: the longer one is often the same cubic with $u^{2}$ written in place of x.

For example, $2 u^{6} + u^{4} - 13 u^{2} + 6 = 0$ is $2 x^{3} + x^{2} - 13 x + 6 = 0$ with $x = u^{2}$ , because $u^{6} = (u^{2})^{3}$ and $u^{4} = (u^{2})^{2}$ .

Worked example

1
You know $2 x^{3} + x^{2} - 13 x + 6 = (x - 2) (2 x - 1) (x + 3)$ . Hence solve $2 u^{6} + u^{4} - 13 u^{2} + 6 = 0$ .
2
$(u^{2} - 2) (2 u^{2} - 1) (u^{2} + 3) = 0$ — Put u² in place of x in each factor.
3
$u^{2} = 2 \Rightarrow u = \pm 2$ — A square has two square roots: positive and negative.
4
$u^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow u = \pm \frac{1}{2} = \pm \frac{2}{2}$ — Rationalise: multiply top and bottom by √2.
5
$u^{2} = - 3$ — No real solution: a square is never negative.
6
$u = \pm 2, \pm \frac{2}{2}$ — Four real solutions.

Common mistake

Forgetting the minus sign. $u^{2} = 2$ has two solutions, $2$ and $- 2$ .

Rule

Reject any value the new letter cannot take. A square cannot be negative, and if the cubic uses $e^{2 y}$ in place of x, a negative value is rejected too, because $e^{2 y}$ is always positive.

Key idea

Hence means: use what you just found. Swap the letter back, and check each value can really happen.

7. Which method? Read the question

اقرأ السؤال لتعرف إلى أين تذهب. «حلّ» بلا عامل معطى: جرّب قواسم الحد الثابت حتى تصبح القيمة صفرًا. عامل معطى: اقسم عليه مباشرة. عدد أمام مكعب السين: الخطة نفسها، وجرّب كسورًا إن فشلت الأعداد الصحيحة. عامل تربيعي لا يتحلل: القانون العام والجذور الصمّاء. «جذر حقيقي واحد فقط»: بيّن أن مميّز العامل التربيعي سالب ثم استنتج. «ومن ثمّ حلّ» بقوى سادسة ورابعة: ضع المربع مكان السين، وخذ الجذرين، وارفض السالب. «استخدم الجبر»: اكتب كل مرحلة. الخطأ الشائع أن تعطي الصورة المحللة والمطلوب الجذور، أو العكس؛ أجب عمّا طُلب بالضبط.

Read the question first. The wording tells you how far to go.

You see	You do
“Solve” a cubic, no factor given	Try divisors of the number term until $P (a) = 0$
A factor is given	Divide by it straight away
Number in front of $x^{3}$ is not 1	Same plan; try fractions if no whole number works
Quadratic factor will not factorise	Quadratic formula; give exact surds
“Only one real root”	Show $b^{2} - 4 a c < 0$ for the quadratic factor, then conclude
“Hence solve” with $u^{6}, u^{4}, u^{2}$	Put $u^{2}$ in place of x; take ± square roots; reject negatives
“Use algebra”	Show every stage; solver answers alone score nothing

Common mistake

Giving the factorised form when the question asks for the roots, or the roots when it asks for the factorised form. Answer exactly what is asked.

Key idea

Find one, divide once, solve the quadratic. Every cubic in this course yields to those three moves.

تدرّب على حل المعادلات التكعيبية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح حل المعادلات التكعيبية

1. The plan for a cubic

2. Finding the first root

3. When x³ has a number in front

4. Surd roots

5. Only one real root

6. Hence: cubics in disguise

7. Which method? Read the question

تدرّب على حل المعادلات التكعيبية

أسئلة امتحانات سابقة على حل المعادلات التكعيبية، محلولة ومشروحة بالعربي