شرح نظرية العامل ونظرية الباقي

The Factor and Remainder Theorems

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Remainder without dividing

كثيرًا ما يطلب السؤال الباقي فقط، وهناك طريق مختصر يعطيه في سطر واحد دون قسمة: نظرية الباقي. ابدأ من حقيقة القسمة: كثيرة الحدود تساوي القوس في خارج القسمة زائد الباقي. عوّض بالعدد الذي يجعل القوس صفرًا، فيصبح جزء خارج القسمة صفرًا ولا يبقى إلا الباقي. إذن الباقي هو قيمة كثيرة الحدود عند العدد الذي يجعل القوس صفرًا. في المثال القوس هو السين ناقص ثلاثة، فنعوّض بثلاثة مكان كل سين ونحسب، فنحصل على الباقي نفسه الذي تعطيه القسمة المطوّلة بسرعة أكبر بكثير. احفظ هذه النظرية لأن ورقة القوانين لا تذكرها.

Long division works, but it is slow. Often a question only wants the remainder. There is a shortcut that finds it in one line, with no division at all.

Start from the division fact you already know, and put $x = a$ . Each line follows from the one before:

$P (x) = (x - a) Q (x) + R$ — divisor × quotient + remainder.

$P (a) = (a - a) Q (a) + R$ — put x = a everywhere.

$P (a) = 0 \times Q (a) + R$ — a − a is 0, so the quotient part vanishes.

$P (a) = R$ — only the remainder is left.

Formula

R = P (a)

$R$ — the remainder when P(x) is divided by $x - a$ .
$a$ — the number that makes the bracket $x - a$ equal to zero.

This is the remainder theorem. Learn it: no formula sheet prints it, on 0606, 4037 or 4PM1.

Worked example

1
Find the remainder when $x^{3} - 4 x^{2} + x + 7$ is divided by $x - 3$ .
2
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ — Find the number that makes the bracket zero.
3
$P (3) = 27 - 36 + 3 + 7$ — Put 3 in place of every x: 3³ = 27 and 4 × 3² = 36.
4
$= 1$ — The remainder is 1. Long division gives the same answer, much more slowly.

Key idea

The remainder is just the value of the polynomial at the number that makes the bracket zero.

2. Brackets with a plus

عندما يكون القوس فيه جمع، مثل السين زائد اثنين، اسأل نفسك: أي عدد يجعله صفرًا؟ الجواب سالب اثنين، فتعوّض بسالب اثنين في كثيرة الحدود. ضع العدد السالب بين قوسين في كل مرة يحل فيها محل السين، ثم احسب القوى بعناية: مكعب العدد السالب سالب، ومربعه موجب. الخطأ الشائع الأول أن تعوّض باثنين الموجب لأنك رأيت «زائد اثنين» في القوس؛ إشارة الجمع تعني أنك تستخدم السالب. الخطأ الثاني أن تكتب مربع سالب اثنين دون قوس فتحصل على سالب أربعة؛ بدون القوس يقع التربيع على الاثنين وحدها. القاعدة: ساوِ القوس بالصفر وحلّ، وتلك القيمة هي التي تعوّض بها.

For a bracket like $x + 2$ , ask: which number makes it zero? The answer is $- 2$ , so you work out $P (- 2)$ .

Worked example

1
Find the remainder when $x^{3} - 4 x^{2} + x + 7$ is divided by $x + 2$ .
2
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2$ — Set the bracket equal to zero.
3
$P (- 2) = (- 2)^{3} - 4 (- 2)^{2} + (- 2) + 7$ — Put −2 in brackets every time it replaces x.
4
$= - 8 - 16 - 2 + 7$ — (−2)³ = −8 and (−2)² = 4, so 4 × 4 = 16.
5
$= - 19$ — The remainder is −19.

Common mistake

Working out $P (2)$ for the bracket $x + 2$ . The plus sign means you use $- 2$ .

Common mistake

Writing $- 2^{2} = - 4$ . Without brackets the square acts on 2 only. Always write $(- 2)^{2} = 4$ .

Key idea

Set the bracket equal to zero and solve. That value is what goes into P.

3. Brackets like ax + b

الفكرة نفسها مع قوس فيه عدد أمام السين، مثل ضعف السين ناقص واحد: ابحث عن قيمة السين التي تجعل القوس صفرًا، وستكون هذه المرة كسرًا. القاعدة العامة: ساوِ القوس بالصفر فتكون القيمة سالب الحد الثابت مقسومًا على معامل السين. في المثال القيمة نصف، فنعوّض بنصف: مكعب النصف ثُمن ومربعه رُبع، ثم نضرب كل حد ونوحّد المقامات ونجمع. الخطأ الشائع أن تعوّض بواحد أو باثنين لأنهما ظاهران في القوس؛ المطلوب القيمة التي تجعل القوس كله صفرًا. في الورقة الأولى من منهج كامبردج لا آلة حاسبة، فأبقِ الكسور كسورًا واستخدم مقامًا موحدًا، واكتب سطر التعويض دائمًا.

Both boards also ask about brackets like $2 x - 1$ or $3 x + 2$ . The idea is the same: find the x that makes the bracket zero. This time it is a fraction.

Formula

R = P (- \frac{b}{a})

$R$ — the remainder when P(x) is divided by $a x + b$ .
$a$ — the number in front of x in the bracket.
$b$ — the number term in the bracket. Solving $a x + b = 0$ gives $x = - \frac{b}{a}$ .

Worked example

1
Find the remainder when $6 x^{3} + 7 x^{2} - 9 x + 5$ is divided by $2 x - 1$ .
2
$2 x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ — Solve to find the value to use.
3
$P (\frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{8}) + 7 (\frac{1}{4}) - 9 (\frac{1}{2}) + 5$ — One half cubed is one eighth; one half squared is one quarter.
4
$= \frac{3}{4} + \frac{7}{4} - \frac{9}{2} + 5$ — Multiply out each term.
5
$= \frac{10}{4} - \frac{18}{4} + \frac{20}{4} = 3$ — Write everything in quarters, then add: 12 quarters is 3.

Common mistake

Using $P (1)$ or $P (2)$ for the bracket $2 x - 1$ . You need the value that makes the whole bracket zero: one half.

Rule

0606 Paper 1 has no calculator. Keep fractions as fractions and use a common denominator. On 4PM1 a calculator is allowed, but show the substituted line.

Key idea

Any bracket, same question: what x makes it zero? Fractions are fine.

4. The factor theorem

العامل يقسم كثيرة الحدود دون باقٍ، فباقيه صفر. ضع الباقي صفرًا في نظرية الباقي فتحصل على نظرية العامل: إذا كانت قيمة كثيرة الحدود صفرًا عند العدد الذي يجعل القوس صفرًا فالقوس عامل، والعكس صحيح. في سؤال «بيّن أن القوس عامل» عوّض بالقيمة واكتب كل حد، وبيّن أن المجموع صفر، ثم اختم بجملة: إذن القوس عامل. وفي سؤال «القوس عامل، أوجد الثابت» عوّض بالقيمة التي تجعل القوس صفرًا، وساوِ الناتج بالصفر، فتحصل على معادلة في الثابت تحلّها. الخطأ الشائع في «بيّن أن» أن تكتب النتيجة صفرًا مباشرة؛ الدرجة على أسطر التعويض نفسها ثم جملة الاستنتاج.

A factor divides exactly, so its remainder is 0. Put $R = 0$ into the remainder theorem and you get the factor theorem.

Formula

P (a) = 0 ⟺ (x - a) is a factor of P (x)

$a$ — the number that makes the bracket zero.
$⟺$ — works both ways: if one side is true, so is the other.

Formula

P (- \frac{b}{a}) = 0 ⟺ (a x + b) is a factor of P (x)

$a$ — the number in front of x in the bracket.
$b$ — the number term in the bracket.

Worked example

1
Show that $x - 2$ is a factor of $x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ .
2
$P (2) = 8 + 4 - 8 - 4$ — Put x = 2 and write every term out.
3
$= 0$ — The value is zero.
4
$So (x - 2) is a factor.$ — Finish with a sentence that names the theorem's conclusion.

Worked example

1
Given that $2 x + 1$ is a factor of $2 x^{3} + k x^{2} - 8 x - 3$ , find k.
2
$2 x + 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}$ — The value that makes the factor zero.
3
$2 (- \frac{1}{8}) + k (\frac{1}{4}) - 8 (- \frac{1}{2}) - 3 = 0$ — A factor, so P(−½) = 0.
4
$- \frac{1}{4} + \frac{k}{4} + 4 - 3 = 0$ — Tidy each term.
5
$\frac{k}{4} = - \frac{3}{4}, k = - 3$ — Collect the numbers, then multiply both sides by 4.

Common mistake

In a show-that question, writing only $P (2) = 0$ . The mark is for the substituted values. Show them, then state the conclusion.

Key idea

Factor means remainder 0. So a factor gives you an equation equal to zero.

5. Two unknowns

أشهر سؤال في الامتحان: كثيرة حدود فيها ثابتان مجهولان، ومعك حقيقتان. كل حقيقة تعطي معادلة واحدة: إذا كان القوس عاملًا فقيمة كثيرة الحدود عند صفر القوس تساوي صفرًا، وإذا أُعطي الباقي فالقيمة تساوي ذلك الباقي. بسّط كل معادلة إلى معادلة خطية قصيرة في المجهولين، ثم حلّهما معًا كأي معادلتين آنيتين، وتحقق من الحقيقتين بالقيمتين. سلّم الدرجات يعطي درجة لكل معادلة صحيحة، ثم درجة للحل، فاكتب سطري التعويض كاملين. الخطأ الشائع أن تساوي معادلة الباقي بالصفر؛ الصفر للعامل فقط، أما الباقي فتساوي القيمة به. القاعدة: حقيقة واحدة تعطي معادلة واحدة، ومجهولان يحتاجان حقيقتين.

The most common exam question has two unknown letters and two facts. Each fact gives one equation. Then you solve them together, like any pair of simultaneous equations.

Steps

1
1. Turn each fact into $P (value) =$ something: 0 for a factor, the remainder otherwise.
2. Simplify each one into a short linear equation in the two letters.
3. Solve the pair simultaneously.
4. Check both facts with your values.

Worked example

1
$P (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x - 6$ . $(x - 2)$ is a factor, and dividing by $(x + 1)$ leaves remainder $- 12$ . Find a and b.
2
$P (2) = 16 + 4 a + 2 b - 6 = 0$ — Factor fact: put x = 2 and set it equal to 0.
3
$2 a + b = - 5$ — Tidy: 4a + 2b = −10, then halve every term.
4
$P (- 1) = - 2 + a - b - 6 = - 12$ — Remainder fact: put x = −1 and set it equal to −12.
5
$a - b = - 4$ — Tidy: a − b − 8 = −12.
6
$3 a = - 9, a = - 3$ — Add the two equations, so b cancels.
7
$b = 1$ — Put a = −3 into 2a + b = −5: −6 + b = −5.
8
$P (2) = 16 - 12 + 2 - 6 = 0$ — Check the factor fact with a = −3 and b = 1. It works.

Mark schemes give one mark for each correct equation, a method mark for solving them, and an accuracy mark for the values. So write the $P (2)$ and $P (- 1)$ lines in full.

Common mistake

Setting the remainder fact equal to 0. Only a factor gives 0. A remainder of $- 12$ means $P (- 1) = - 12$ .

Key idea

One fact, one equation. Two unknowns need two facts.

6. Equal remainders

بعض الأسئلة تربط بين باقيين، كأن يقول إن الباقي واحد عند القسمة على قوسين مختلفين. اكتب كل باقٍ بنظرية الباقي: عوّض بالقيمة التي تجعل القوس الأول صفرًا، ثم بالقيمة التي تجعل الثاني صفرًا، فتحصل على عبارتين في الثابت المجهول. ساوِ العبارتين لأن الباقيين متساويان، وحلّ المعادلة، ثم تحقق بأن الباقيين خرجا متساويين فعلًا. الخطأ الشائع أخطاء الإشارة مع القيم السالبة، فضع كل عدد سالب بين قوسين قبل أن تربّعه أو تكعّبه. وتذكّر القاعدة العامة: كل معلومة عن عامل أو باقٍ تتحول إلى معادلة، فعُدّ المجاهيل ثم عُدّ المعلومات.

Some questions link two remainders, for example: the remainder is the same for two different brackets. Write each remainder using the theorem, then set them equal.

Worked example

1
$x^{3} + k x^{2} - 2 x + 1$ leaves the same remainder when divided by $x - 1$ and by $x + 2$ . Find k.
2
$P (1) = 1 + k - 2 + 1 = k$ — First remainder: put x = 1.
3
$P (- 2) = - 8 + 4 k + 4 + 1 = 4 k - 3$ — Second remainder: put x = −2. Note k(−2)² = 4k and −2(−2) = +4.
4
$k = 4 k - 3$ — The remainders are equal.
5
$k = 1$ — Take k from both sides: 3k = 3.
6
$P (1) = 1, P (- 2) = - 8 + 4 + 4 + 1 = 1$ — Check: both remainders are 1.

Common mistake

Sign slips with negative values. Put every negative number in brackets before you square or cube it.

Key idea

Every fact about a factor or a remainder becomes one equation. Count the unknowns, then count the facts.

7. Which method? Read the question

اقرأ السؤال لتعرف بأي قيمة تعوّض وبماذا تساوي الناتج. الباقي عند القسمة على قوس فيه طرح: عوّض بالعدد نفسه. قوس فيه جمع: عوّض بسالب العدد. قوس فيه معامل أمام السين: عوّض بالكسر الذي يجعله صفرًا. «بيّن أن القوس عامل»: عوّض وبيّن أن القيمة صفر ثم اكتب الاستنتاج. «القوس عامل، أوجد الثابت»: ساوِ القيمة بالصفر وحلّ. مجهولان ومعلومتان: معادلتان آنيتان. «الباقي نفسه»: اكتب الباقيين وساوِ بينهما. الخطأ الشائع أن تنتظر من النظرية أن تعطيك خارج القسمة؛ هي تعطي الباقي فقط، ولإيجاد خارج القسمة لا بد من القسمة.

Read the question first. The wording tells you which value to put in, and what to set it equal to.

You see	You do
Remainder when divided by $x - a$	Work out $P (a)$
Divided by $x + a$	Work out $P (- a)$
Divided by $a x + b$	Work out $P (- b / a)$ , a fraction
“Show that … is a factor”	Substitute, show the value is 0, then write the conclusion
“… is a factor”, find k	Set $P (value) = 0$ and solve for k
Two unknowns, two facts	Two equations, solve simultaneously
“the same remainder”	Write both remainders, set them equal

Common mistake

Expecting the theorem to give the quotient. It gives only the remainder. To find the quotient, you still divide.

Key idea

Bracket equal to zero, solve for x, put it into P. That one move answers every question in this lesson.

تدرّب على نظرية العامل ونظرية الباقي

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح نظرية العامل ونظرية الباقي

1. Remainder without dividing

2. Brackets with a plus

3. Brackets like ax + b

4. The factor theorem

5. Two unknowns

6. Equal remainders

7. Which method? Read the question

تدرّب على نظرية العامل ونظرية الباقي

أسئلة امتحانات سابقة على نظرية العامل ونظرية الباقي، محلولة ومشروحة بالعربي