شرح حل المعادلات بالطرق البيانية

Solving Equations by Graphical Methods

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Where the Graphs Cross

عند نقطة تقاطع منحنيين تكون المعادلتان صحيحتين في الوقت نفسه، لذلك فإن قيم السيني عند نقاط التقاطع هي حلول المعادلة. لكي تحل باستخدام رسم موجود عندك، رتّب المعادلة بحيث يكون أحد طرفيها معادلة المنحنى المرسوم تمامًا، والطرف الآخر هو الخط الذي ترسمه. وإذا كان الطرف الآخر صفرًا فالخط هو محور السينات نفسه، فاقرأ أين يقطعه المنحنى.

At a crossing point, both equations are true at once. So the x values there solve the equation.

Rule

To solve with a graph you already have, make one side the curve's equation. The other side is the line to draw.

Key idea

If the other side is 0, the line is the x-axis. Read where the curve crosses it.

2. The Curve on Its Own

أسهل الأسئلة تكون فيها المعادلة هي معادلة المنحنى نفسه وتساوي صفرًا أو عددًا، فلا تحتاج إلى جبر، فقط اقرأ الرسم. إذا كانت تساوي صفرًا فالخط هو محور السينات، فانزل من نقطتي التقاطع واقرأ قيمتي السيني. وإذا كانت تساوي عددًا فارسم خطًا أفقيًا عند هذا العدد، واقرأ السيني عند نقطتي تقاطعه مع المنحنى، والإجابة هي قيم السيني لا العدد نفسه. وإذا كان الحد الثابت لا يطابق المنحنى، فأضف أو اطرح العدد نفسه من الطرفين أولًا حتى يصبح الطرف الأيسر هو المنحنى.

The simplest questions: the equation is the curve's own equation, set equal to 0 or to a number. No algebra needed — just read the graph.

Worked example

1
$y = x^{2} - 2 x - 4$ — The curve already drawn on the grid. We use it to solve equations by reading, not by algebra.
2
$x^{2} - 2 x - 4 = 0$ — The equation is the curve's equation with y replaced by 0. The line y = 0 is the x-axis.
3
$x \approx - 1.2 or x \approx 3.2$ — Read down from the two places the curve crosses the x-axis. Two crossings, so two answers.

Now the curve equals a number.

Worked example

1
$x^{2} - 2 x - 4 = 2$ — Same curve, but now it equals 2, not 0. So the line to draw is y = 2.
2
$y = 2$ — Rule a flat line across the grid at height 2. Every point on it has y = 2.
3
$x \approx - 1.6 or x \approx 3.6$ — Read down from both crossings to the x-axis. The answers are these x values, not the 2.

Key idea

If the equation is $x^{2} - 2 x = 5$ , take 4 from both sides first: $x^{2} - 2 x - 4 = 1$ . Now it is the curve equal to a number, so draw y = 1.

3. Reciprocal and Other Curves

الطريقة نفسها تصلح لمنحنيات أخرى مثل دالة المقلوب: نقاط التقاطع تعطي الحلول. منحنى المقلوب له فرعان منفصلان لأن القسمة على الصفر غير ممكنة. إذا كان الطرف الأيسر هو المنحنى، فالطرف الأيمن هو الخط الذي ترسمه، وارسمه باستخدام نقطتين. الخط قد يقطع كل فرع مرة، فانزل من كل نقطة تقاطع واقرأ السيني، ثم تحقّق بالتعويض في الطرفين. الخطأ الشائع هو التوقف عند تقاطع واحد، فانظر إلى الفرعين، فالإجابة الثانية غالبًا على الجهة الأخرى من محور الصادات. والأمر نفسه مع المنحنى الأسي: ارسم خطًا أفقيًا واقرأ.

Exams also use curves like $y = \frac{6}{x}$ . The method does not change: the crossing points give the answers.

Worked example

1
$y = \frac{6}{x}$ — The curve on the grid. It has two separate branches, because you cannot divide by 0.
2
$\frac{6}{x} = x + 1$ — The equation to solve. The left side is already the curve, so the right side is the line.
3
$y = x + 1$ — Rule this line using two points: x = 0 gives y = 1, and x = 2 gives y = 3.
4
$x = - 3 or x = 2$ — The line crosses each branch once. Read down from both crossings.
5
$\frac{6}{2} = 3 and 2 + 1 = 3$ — Check x = 2: both sides give 3, so it really solves the equation.

Common mistake

Stopping after one crossing. Look at both branches — the second answer is often on the other side of the y-axis.

Key idea

Any curve works the same way. To solve $2^{x} = 6$ from the graph of $y = 2^{x}$ , draw y = 6 and read x ≈ 2.6.

4. Finding the Line (Extended/Higher)

معظم الدرجات تأتي من أسئلة تقول: حلّ برسم خط مستقيم مناسب. الفكرة أن تغيّر المعادلة المطلوبة حتى يصبح أحد طرفيها معادلة المنحنى المرسوم تمامًا. قارن حدود المعادلة بحدود المنحنى، ثم أضف أو اطرح من الطرفين حدًا فيه المجهول وعددًا ثابتًا حتى يتطابق الطرف الأيسر مع المنحنى. الطرف الأيمن عندئذ هو معادلة الخط: جد له نقطتين وارسمه عبر الشبكة، ثم اقرأ السيني عند نقاط التقاطع. الخطأ الشائع هو إعطاء قيم الصادي بدل السيني. واكتب معادلة الخط في إجابتك، فهي تأخذ درجة حتى لو كانت قراءتك غير دقيقة قليلًا.

Most marks come from questions like “by drawing a suitable straight line, solve …”. You change the equation until one side is exactly the curve.

Worked example

1
$y = x^{2} - 3 x - 2$ — The curve on the grid. Our goal: make $x^{2} - 3 x - 2$ appear on one side of the new equation.
2
$x^{2} - 4 x + 1 = 0$ — The equation to solve. It is not the curve yet: it has −4x and +1, not −3x and −2.
3
$x^{2} - 3 x + 1 = x$ — Add x to both sides. −4x + x = −3x, which matches the curve.
4
$x^{2} - 3 x - 2 = x - 3$ — Take 3 from both sides. +1 − 3 = −2, so the left side is now exactly the curve.
5
$y = x - 3$ — The left side is y, so the right side is the line to draw.
6
$x = 0 \Rightarrow y = - 3, x = 4 \Rightarrow y = 1$ — Find two points on the line, then rule it right across the grid.
7
$x \approx 0.3 or x \approx 3.7$ — Read down from where the line crosses the curve. These x values solve the equation.

Common mistake

Giving the y values. The solutions are the x values of the crossing points.

Key idea

Write the line's equation, y = x − 3, in your answer. It earns a mark for working even if your readings are a little off.

Key idea

Backwards questions: if $y = x^{2} - 3 x - 2$ and $y = x - 3$ cross, their x values solve $x^{2} - 3 x - 2 = x - 3$ , which tidies to $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

5. Multiply or Divide First (Extended/Higher)

أحيانًا يكون معامل المربع أو المكعب في المعادلة مختلفًا عن المنحنى، والجمع والطرح لا يغيّران المعامل، لذلك اضرب أو اقسم أولًا. اضرب كل حدود المعادلة في العدد المناسب حتى يصبح معامل المربع مثل المنحنى، والصفر يبقى صفرًا. بعد ذلك أضف أو اطرح من الطرفين حتى يصبح الطرف الأيسر هو المنحنى تمامًا، والطرف الأيمن هو الخط الذي ترسمه، ثم اقرأ نقاط التقاطع. الخطأ الشائع هو ضرب حد المربع وحده، والصحيح أن تضرب كل الحدود في الطرفين. وإذا كان المعامل في المعادلة ضعف المنحنى فاقسم بدل أن تضرب.

Sometimes the equation has a different number in front of $x^{2}$ or $x^{3}$ . Adding cannot fix that, so multiply or divide first.

Worked example

1
$y = 2 x^{2} + 2 x - 3$ — The curve on the grid. Notice it starts with 2x².
2
$x^{2} - 2 x - 1 = 0$ — The equation starts with just x². Adding or taking away can never turn x² into 2x².
3
$2 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ — Multiply every term by 2 (0 × 2 is still 0). Now it starts with 2x², like the curve.
4
$2 x^{2} + 2 x - 2 = 6 x$ — Add 6x to both sides: −4x + 6x = 2x, which matches the curve.
5
$2 x^{2} + 2 x - 3 = 6 x - 1$ — Take 1 from both sides: −2 − 1 = −3. The left side is now exactly the curve.
6
$y = 6 x - 1$ — So this is the line to draw. Points: x = 0 gives −1, x = 1 gives 5.
7
$x \approx - 0.4 or x \approx 2.4$ — Read down from where the line crosses the curve.

Common mistake

Multiplying only the x² term. Every term on both sides gets multiplied.

Key idea

If the equation has double the curve — say $2 x^{3}$ when the curve has $x^{3}$ — divide every term by 2 instead.

6. A Cubic Curve (Extended/Higher)

النسخة ذات الدرجات الأعلى تستخدم غالبًا دالة تكعيبية، والطريقة نفسها، لكن الخط قد يقطع المنحنى التكعيبي ثلاث مرات. قارن حدود المعادلة بحدود المنحنى، وأضف أو اطرح من الطرفين حتى يصبح الطرف الأيسر هو المنحنى، فيكون الطرف الأيمن هو الخط. ارسم الخط بنقطتين، واكتب قيم السيني الثلاث عند نقاط التقاطع. للتحقق من الخط: عند وضع المجهول صفرًا، يجب أن يساوي الفرق بين قيمة المنحنى وقيمة الخط الحدَّ الثابت في المعادلة الأصلية، وإلا فخطك خاطئ.

The 4-mark version often uses a cubic. The method is the same, but a cubic can cross a line three times.

Worked example

1
$y = x^{3} - 4 x + 1$ — The curve on the grid. Our goal: make $x^{3} - 4 x + 1$ one side of the equation.
2
$x^{3} - 5 x + 3 = 0$ — The equation to solve. It has −5x and +3, but the curve has −4x and +1.
3
$x^{3} - 4 x + 3 = x$ — Add x to both sides. −5x + x = −4x, which matches the curve.
4
$x^{3} - 4 x + 1 = x - 2$ — Take 2 from both sides. +3 − 2 = +1, so the left side is now the curve.
5
$y = x - 2$ — The right side is the line to draw. Points: x = 0 gives −2, x = 3 gives 1.
6
$x \approx - 2.5, 0.7, 1.8$ — The line cuts the cubic three times. Give all three x values.

Key idea

Check your line at x = 0: the curve gives 1 and the line gives −2. Curve minus line is 3, the equation's value at x = 0. If that fails, your line is wrong.

7. How Many Solutions? (Extended/Higher)

بعض الأسئلة تسأل عن عدد حلول المعادلة، أو عن قيم الثابت التي لا حلول عندها. عُدّ كم مرة يقطع الخط الأفقي عند ذلك الثابت المنحنى. اعرف أولًا أدنى نقطة في المنحنى: إذا كان الخط أعلى منها فهناك حلّان، وإذا مرّ بها تمامًا فحل واحد، وإذا كان أسفلها فلا حلول. وفي الدالة التكعيبية، الخط الأفقي بين نقطتي الدوران يقطعها ثلاث مرات، وللحصول على حلّين بالضبط يجب أن يمر الخط بإحدى نقطتي الدوران.

Some questions ask how many solutions an equation has, or for which k it has none. Count how often a flat line y = k meets the curve.

Worked example

1
$y = x^{2} - 2 x - 4$ — The curve from earlier. Its lowest point is (1, −5).
2
$x^{2} - 2 x - 4 = k$ — The curve equals a number k, so its solutions are where the flat line y = k meets the curve.
3
$k > - 5 : two solutions$ — A flat line above the lowest point crosses the curve twice.
4
$k = - 5 : one solution$ — A line through the lowest point only touches the curve, at x = 1.
5
$k < - 5 : no solutions$ — A line below the lowest point misses the curve. So k = −6 is an integer with no solutions.

Key idea

For a cubic like $y = x^{3} - 4 x + 1$ , the turning points are at about y = 4.1 and y = −2.1. A flat line between them crosses 3 times. Exactly 2 solutions means the line goes through a turning point, so k ≈ 4.1 or k ≈ −2.1.

8. Which Method? Read the Question

قارن المعادلة بالمنحنى المرسوم. إذا كان المنحنى يساوي صفرًا فاقرأ التقاطعات مع محور السينات، وإذا كان يساوي عددًا فارسم خطًا أفقيًا عند هذا العدد. إذا كانت المعادلة مختلفة فأعد ترتيبها ليكون المنحنى في أحد الطرفين، وإذا اختلف معامل المربع أو المكعب فاضرب أو اقسم أولًا. ولعدد الحلول عُدّ مرات تقاطع الخط الأفقي مع المنحنى، أما تقاطع خطين مستقيمين فله درس المعادلات الآنية. أعطِ الإجابات لمنزلة عشرية واحدة، واذكر كل التقاطعات، واكتب معادلة الخط الذي رسمته.

Compare the equation with the curve on the grid.

You see	You do
Curve = 0	read the x-axis crossings
Curve equals a number	draw a flat line at that number
A different equation	rearrange: curve on one side
A different number in front of x² or x³	multiply or divide first
How many solutions?	count where a flat line y = k meets the curve
Two lines crossing	Graphical Solution of Simultaneous Equations

Key idea

Give answers to 1 decimal place, give every crossing, and write down the line you drew.

تدرّب على حل المعادلات بالطرق البيانية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح حل المعادلات بالطرق البيانية

1. Where the Graphs Cross

2. The Curve on Its Own

3. Reciprocal and Other Curves

4. Finding the Line (Extended/Higher)

5. Multiply or Divide First (Extended/Higher)

6. A Cubic Curve (Extended/Higher)

7. How Many Solutions? (Extended/Higher)

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على حل المعادلات بالطرق البيانية

أسئلة امتحانات سابقة على حل المعادلات بالطرق البيانية، محلولة ومشروحة بالعربي