شرح التعرف على أشكال التمثيلات البيانية ورسمها

Recognising and Sketching Graph Shapes

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The Shapes to Know

كثير من الأسئلة القصيرة تعرض عدة رسوم وتسألك أيها يناسب معادلة معينة، لذلك احفظ شكل كل عائلة. الدالة الخطية خط مستقيم، والتربيعية على شكل حرف يو ويكون مقلوبًا إذا كان أمام المربع سالب، والتكعيبية منحنى ينحني مرتين، ودالة المقلوب جزءان لا يلمسان المحورين. الدالة الأسية تكون شبه مسطحة على اليسار ثم ترتفع بسرعة متزايدة وتقطع محور الصادات عند الواحد، ودالة الجيب موجة بين سالب واحد وواحد. ابدأ دائمًا بأعلى قوة للمجهول، فهي التي تحدد العائلة.

Many 1-mark questions show six graphs and ask which one fits an equation. Learn the shape of each family.

Family	Equation	Shape
Linear	$y = 2 x + 1$	A straight line
Quadratic	$y = x^{2}$	A U, upside down with −x²
Cubic	$y = x^{3}$	An S-shape
Reciprocal	$y = \frac{1}{x}$	Two parts that never touch the axes
Exponential	$y = 2^{x}$	Flat on the left, then rising faster and faster. Crosses the y-axis at (0, 1)
Sine	$y = sin x^{\circ}$	A wave from −1 to 1

Key idea

Look at the highest power of x first. It decides the family.

2. Which Way Up?

إشارة الحد الذي فيه أعلى قوة تخبرك باتجاه المنحنى، ثم وضع المجهول صفرًا يخبرك أين يقطع محور الصادات. إذا كان أمام المربع سالب انقلب المنحنى وأصبحت له قيمة عظمى. في الدالة التكعيبية، إذا كان حد المكعب موجبًا فالمنحنى منخفض على اليسار ومرتفع على اليمين، وإذا كان سالبًا فالعكس. ابحث عن أعلى قوة أولًا حتى لو لم تكن مكتوبة في البداية. وعند وضع المجهول صفرًا تختفي كل الحدود التي فيها المجهول ويبقى العدد الثابت وحده.

The sign in front of the highest power tells you which way the graph points. Then x = 0 tells you where it crosses the y-axis.

Worked example

1
$y = 3 - x^{2}$ — The x² has a minus, so the U turns upside down. Its top is at (0, 3), because 3 minus a square can never be more than 3.
2
$y = x^{3} + 1$ — The x³ is positive: a big negative x gives a big negative y. So the curve is low on the left and high on the right.
3
$x = 0 \Rightarrow y = 0 + 1 = 1$ — Put x = 0 to find where it crosses the y-axis: at (0, 1).
4
$y = 2 + x - 4 x^{2} - x^{3}$ — Find the highest power first: −x³. It is negative, so the curve is high on the left and low on the right.
5
$x = 0 \Rightarrow y = 2$ — Every x term becomes 0, leaving the number on its own. So it crosses the y-axis at (0, 2).

3. Reciprocal Graphs

عندما يكون المجهول في مقام الكسر ينقسم المنحنى إلى جزأين، لأن المجهول لا يمكن أن يكون صفرًا فلا قسمة على الصفر. إذا كان البسط موجبًا فالجزءان في الركنين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر، وإشارة السالب في البسط تقلب كل القيم فينتقلان إلى الركنين الآخرين. وإذا كان المقام مربعًا فهو لا يكون سالبًا أبدًا، فيكون الجزءان كلاهما فوق محور السينات، ولا يلمس المنحنى محور السينات لأن الكسر لا يساوي صفرًا. الخطأ الشائع هو وصل الجزأين عبر محور الصادات، فاترك فجوة هناك.

When x is on the bottom of a fraction, the graph splits into two parts. x can never be 0, because you cannot divide by 0.

Worked example

1
$y = \frac{1}{x}$ — Positive x gives positive y, and negative x gives negative y. So the parts sit top right and bottom left.
2
$y = \frac{- 4}{x}$ — The minus flips the sign of every y. So the parts move to top left and bottom right.
3
$y = \frac{6}{x ^{2}}$ — x² is never negative, so y is always positive. Both parts sit above the x-axis.
4
$\frac{6}{x ^{2}} \neq = 0$ — 6 divided by any number is never 0. So the curve never touches the x-axis either.

Common mistake

Joining the two parts across x = 0. There is no point there, so leave a gap.

4. Sketching a Cubic From Its Factors

كثيرًا ما تُعطى الدالة التكعيبية على شكل أقواس ويُطلب رسمها تقريبيًا مع نقاط التقاطع. الدرجات على ثلاثة أشياء: الشكل، والتقاطع مع محور السينات، والتقاطع مع محور الصادات. حدّد الشكل من إشارة حد المكعب الناتج من ضرب المجاهيل. لإيجاد التقاطع مع محور السينات اجعل كل قوس يساوي صفرًا، فحاصل الضرب يساوي صفرًا فقط إذا كان أحد العوامل صفرًا. ثم ضع المجهول صفرًا لتجد التقاطع مع محور الصادات، وانتبه للإشارات. ارسم المنحنى صاعدًا وهابطًا عبر هذه النقاط واكتبها على الرسم. الخطأ الشائع هو أخذ العدد من القوس بإشارته نفسها بدل عكسها، وانتبه للقوس الذي فيه المجهول بإشارة سالبة لأنه يقلب الشكل.

Exams often give a cubic in brackets and ask for a sketch with the crossing points marked. The marks are for three things: the shape, where it crosses the x-axis, and where it crosses the y-axis.

Worked example

1
$y = (x + 2) (x - 1) (x - 4)$ — The question. The three x's multiply to +x³, so the curve is low on the left and high on the right.
2
$(x + 2) (x - 1) (x - 4) = 0$ — The curve meets the x-axis where y = 0. Three brackets multiply to 0 only when one of them is 0.
3
$x = - 2, x = 1, x = 4$ — Set each bracket to 0. x + 2 = 0 gives x = −2, and the other two give 1 and 4.
4
$x = 0 : (0 + 2) (0 - 1) (0 - 4)$ — Now put x = 0 to find where the curve meets the y-axis.
5
$= 2 \times (- 1) \times (- 4) = 8$ — Two negatives multiply to a positive. So it crosses the y-axis at (0, 8).
6
$up through - 2, down through 1, up through 4$ — Join them: start low, rise through −2, turn, fall through 8 on the y-axis and through 1, turn, rise through 4. Write −2, 1, 4 and 8 on the sketch.

Common mistake

Writing x = 2 from the bracket (x + 2). Set the bracket to 0: x + 2 = 0 gives x = −2.

Key idea

Watch for a bracket like $(3 - x)$ . It holds −x, so the x³ turns negative and the curve is high on the left and low on the right.

5. A Repeated Root: Touch, Don't Cross

عندما يكون أحد الأقواس مربعًا، يكون الجذر الناتج منه جذرًا مكررًا، فالمنحنى عنده لا يقطع محور السينات بل يلمسه ويرجع. حدّد الشكل من إشارة حد المكعب، ثم اجعل كل عامل يساوي صفرًا لتجد نقاط التقاطع، وضع المجهول صفرًا لتجد التقاطع مع محور الصادات. بالقرب من الجذر المكرر يكون المربع غير سالب، فيبقى المنحنى في جهة واحدة من المحور: ينزل ويلمسه ثم يصعد. وأحيانًا يصف السؤال المنحنى بإشارة الميل في كل منطقة بدل المعادلة، وهذا الوصف يعطي الشكل نفسه: صعود ثم هبوط ثم صعود.

When a bracket is squared, its x-value is a repeated root. The curve does not cross the x-axis there. It touches it and turns back.

Worked example

1
$y = x (x - 3)^{2}$ — The question. x times x² gives +x³, so the curve is low on the left and high on the right.
2
$x = 0 or (x - 3)^{2} = 0$ — y = 0 when one of the factors is 0.
3
$x = 0, x = 3$ — Two x-values. x = 3 comes from a squared bracket, so it is the repeated root.
4
$x = 0 : y = 0 \times (- 3)^{2} = 0$ — Put x = 0 for the y-axis. The curve goes through the origin, (0, 0).
5
$(x - 3)^{2} \geq 0$ — Near x = 3, x is positive and a square is never negative. So y is never below 0 there: the curve comes down, touches (3, 0) and goes back up.
6
$up through 0, turn, touch at 3$ — The sketch: rise through the origin, turn at a top between 0 and 3, come down to touch the axis at 3, then rise again.

Key idea

Some questions describe the curve instead: “the gradient is positive for x < 1 and x > 3, and negative between”. That is the same up, down, up shape, with turns at x = 1 and x = 3 — exactly this curve.

6. Completing a Table of Values

لإكمال جدول القيم عوّض بكل قيمة للمجهول في المعادلة، وضع القيمة السالبة بين قوسين حتى لا تضيع الإشارة. احسب كل حد وحده: مكعب العدد السالب سالب، وضرب سالب في سالب موجب، ثم اجمع الحدود. قرّب الناتج بعدد المنازل العشرية نفسه في باقي الجدول. الخطأ الشائع في الآلة الحاسبة هو كتابة السالب دون قوسين قبل التربيع، فتحصل على ناتج سالب، والصحيح أن تضع القوسين. وإذا كانت المعادلة تجمع أنواعًا مختلفة من الحدود فاحسب كل حد وحده ثم اجمع.

A 2-mark question gives a table with gaps. Put each x into the equation, with negatives in brackets.

Worked example

1
$y = x^{3} - 4 x + 1$ — The curve. Fill its table one x at a time.
2
$x = - 2 : (- 2)^{3} - 4 (- 2) + 1$ — Put −2 in brackets everywhere x appears, so no minus sign gets lost.
3
$(- 2)^{3} = - 8$ — Three negatives multiplied together give a negative.
4
$- 4 \times (- 2) = + 8$ — Minus times minus is plus.
5
$- 8 + 8 + 1 = 1$ — Add the three terms. So y = 1 when x = −2.
6
$x = 1.5 : 3.375 - 6 + 1 = - 1.625$ — Work out each term: 1.5³ = 3.375 and 4 × 1.5 = 6. Then add.
7
$- 1.625 \approx - 1.6$ — Round to the same number of decimal places as the other values in the table.

Common mistake

Typing −2² into a calculator. It gives −4. Type (−2)² to get 4.

Key idea

Some tables mix terms, like $y = x^{2} + \frac{2}{x}$ . Work out each term on its own, then add. At x = −0.5: $0.25 + (- 4) = - 3.75$ .

7. Draw It, Then Use It

عيّن كل نقطة من الجدول، ثم صِلها باليد بمنحنى أملس واحد يمر بها كلها، ثم اقرأ الإجابات من الرسم. لحل معادلة، لاحظ أن طرفها الأيسر هو الصادي للمنحنى، فارسم خطًا أفقيًا عند قيمة الطرف الأيمن، واقرأ السيني عند كل نقطة تقاطع، فعدد نقاط التقاطع هو عدد الحلول. تحقّق من إحدى الإجابات بالتعويض في المعادلة. وإذا سُئلت عن نقطة دوران فاقرأ إحداثييها من الرسم لأقرب مربع صغير. معظم درجات الرسم على النقاط، والخطأ الشائع هو استخدام المسطرة بدل الرسم الأملس باليد.

Plot every point from the table and join them with one smooth curve. Then read answers off the graph.

Worked example

1
$(- 2, 1), (- 1, 4), (0, 1), (1, - 2), (2, 1)$ — Plot each pair from the table: x across, then y up.
2
$y = x^{3} - 4 x + 1$ — Join the points freehand with one smooth curve. It must pass through every point.
3
$x^{3} - 4 x + 1 = 1$ — To solve this, notice the left side is the curve's y. So draw the line y = 1.
4
$x = - 2, x = 0, x = 2$ — Read the x-value at each place the line meets the curve. Three crossings, so three solutions.
5
$2^{3} - 4 (2) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1$ — Check one answer in the equation. It gives 1, so x = 2 is right.
6
$lowest point \approx (1.2, - 2.1)$ — A question may ask for a turning point. Read its x and y off your graph, to the nearest small square.

Key idea

Most of the drawing marks are for the points. Plot each one within half a small square, and make sure the curve goes through all of them.

Common mistake

Joining the points with a ruler. The graph is a curve, so draw it freehand and smooth.

8. Which Method? Read the Question

إما أن تطابق الشكل، أو تستخدم الجدول. لمعرفة أي رسم يناسب المعادلة انظر إلى أعلى قوة ثم إلى إشارتها، وإذا كان المجهول في المقام فهناك جزآن لا يلمسان المحورين. في الرسم التقريبي من الأقواس اجعل كل قوس صفرًا للتقاطع مع محور السينات، والمجهول صفرًا للتقاطع مع محور الصادات، والقوس المربع يعني أن المنحنى يلمس المحور هناك. إذا نقص عدد وأُعطي التقاطع مع محور الصادات فضع المجهول صفرًا وحل. ولإكمال الجدول والرسم والحل اتبع الخطوات المعتادة: تعويض مع أقواس، منحنى أملس، ثم خط أفقي وقراءة السيني.

Match the shape, or use the table.

You see	You do
“Which graph”	Highest power, then its sign
x on the bottom	Two parts, never touching the axes
“Sketch” with brackets	Each bracket = 0 for the x-axis, x = 0 for the y-axis
A squared bracket	The curve touches the x-axis there
A missing number, y-intercept given	Put x = 0, then solve
A table with gaps	Substitute, negatives in brackets
“Draw the graph”	Plot all points, smooth curve
“Use the graph to solve”	Draw y = k, read the x values

Key idea

Check the y-axis crossing: put x = 0 into the equation.

تدرّب على التعرف على أشكال التمثيلات البيانية ورسمها

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح التعرف على أشكال التمثيلات البيانية ورسمها

1. The Shapes to Know

2. Which Way Up?

3. Reciprocal Graphs

4. Sketching a Cubic From Its Factors

5. A Repeated Root: Touch, Don't Cross

6. Completing a Table of Values

7. Draw It, Then Use It

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على التعرف على أشكال التمثيلات البيانية ورسمها

أسئلة امتحانات سابقة على التعرف على أشكال التمثيلات البيانية ورسمها، محلولة ومشروحة بالعربي