شرح حل المعادلات التربيعية بالتحليل

Solving Quadratics by Factorising

يأتي في امتحانات Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Why Factorising Solves It

الفكرة كلها بسيطة: إذا كان حاصل ضرب عددين يساوي صفرًا، فلا بد أن يكون أحدهما صفرًا. لذلك عندما نحلل المعادلة إلى قوسين حاصل ضربهما صفر، نساوي كل قوس بالصفر، فيعطينا كل قوس حلًّا. أغلب الأسئلة من جزأين: التحليل وعليه درجتان، ثم «ومن ثم حُلّ» وعليه درجة. اكتب دائمًا سطر القوسين، فأغلب الدرجات عليه، والجواب بلا قوسين، بالتخمين أو بالآلة الحاسبة، قد لا يأخذ أي درجة.

If two numbers multiply to make 0, one of them must be 0. That is the whole idea.

Rule

If $(x + 6) (x - 4) = 0$ then $x + 6 = 0$ or $x - 4 = 0$ . So each bracket gives one answer.

Key idea

Most questions come in two parts: factorise (2 marks), then “hence solve” (1 mark). Always write the brackets line. Most of the marks are for it, so answers with no brackets, found by guessing or on a calculator, can score 0.

2. Factorise, Then Solve

لتحليل المعادلة التربيعية ابحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي الحد الأخير، ومجموعهما يساوي معامل الحد الأوسط. انتبه لإشارات العددين. بعد أن تجدهما اكتب القوسين، كل قوس فيه المجهول مع أحد العددين بإشارته. ثم ساوِ كل قوس بالصفر لتجد الحلّين. الخطأ الشائع أن تكتب الحلّين بإشارة العددين نفسها؛ الحل دائمًا بعكس إشارة العدد داخل القوس.

Find two numbers that multiply to the last number and add to the middle number.

Worked example

1
$x^{2} + 2 x - 24 = 0$ — the equation
2
$6 \times - 4 = - 24, 6 + (- 4) = 2$ — multiply to −24, add to 2
3
$(x + 6) (x - 4) = 0$ — the two brackets
4
$x = - 6 or x = 4$ — each bracket equal to 0

Common mistake

Giving x = 6 and x = −4. The answers have the opposite sign to the numbers in the brackets.

3. Finding the Pair

إذا لم يكن العددان واضحين، اكتب كل أزواج العوامل التي حاصل ضربها الحد الأخير، وجرّب أيها مجموعه يساوي الحد الأوسط. ثم اكتب القوسين وساوِ كل قوس بالصفر، والحل بعكس الإشارة. ونصيحة تختصر البحث: إذا كان الحد الأخير سالبًا فأحد العددين موجب والآخر سالب. وإذا كان الحد الأخير موجبًا والأوسط سالبًا فالعددان كلاهما سالبان.

If the pair is not obvious, list the factor pairs of the last number and check which adds to the middle.

Worked example

1
$x^{2} - 5 x - 36 = 0$ — multiply to −36, add to −5
2
$(3, - 12), (4, - 9), (6, - 6)$ — try pairs: only 4 and −9 add to −5
3
$(x + 4) (x - 9) = 0$ — the brackets
4
$x = - 4 or x = 9$ — opposite signs

Key idea

If the last number is negative, the pair has one plus and one minus. If the last number is positive and the middle is negative, both numbers are negative: $x^{2} - 18 x + 45 = (x - 3) (x - 15)$ .

4. Make It Equal Zero First

إذا لم تكن المعادلة تساوي صفرًا، انقل كل الحدود إلى طرف واحد قبل التحليل. في المثال الأول نطرح العدد من الطرفين لتصبح المعادلة مساوية للصفر، ثم نحلل ونحل كالمعتاد. وأحيانًا يضع الامتحان مربع المجهول وحدود المجهول في الطرف الأيمن أيضًا؛ عندها ننقلها كلها إلى اليسار خطوة خطوة: مربع المجهول، ثم حد المجهول، ثم العدد، حتى يساوي الطرف الأيمن صفرًا، ثم نحلل. الخطأ الأول: تحليل الطرف الأيسر والطرف الأيمن ليس صفرًا؛ قاعدة الصفر لا تعمل إلا إذا كان الطرف الآخر صفرًا. الخطأ الثاني: القسمة على المجهول، فتضيع الحل الذي يساوي صفرًا؛ الصحيح أن تنقل الحدود وتُخرج المجهول عاملًا مشتركًا.

If the equation is not “= 0”, move everything to one side before you factorise.

Worked example

1
$x^{2} + 3 x = 18$ — not equal to 0 yet
2
$x^{2} + 3 x - 18 = 0$ — take 18 from both sides
3
$(x + 6) (x - 3) = 0$ — 6 × −3 = −18, 6 − 3 = 3
4
$x = - 6 or x = 3$ — two answers

Exams also put x² and x terms on the right. Move every term, not just the number.

Worked example

1
$2 x^{2} + x = x^{2} + 5 x + 21$ — Now $x^{2}$ and x terms are on both sides. Bring them all to the left, one move at a time.
2
$x^{2} + x = 5 x + 21$ — Take x² from both sides.
3
$x^{2} - 4 x = 21$ — Take 5x from both sides: x − 5x = −4x.
4
$x^{2} - 4 x - 21 = 0$ — Take 21 from both sides. Now it equals 0.
5
$(x - 7) (x + 3) = 0$ — −7 × 3 = −21 and −7 + 3 = −4.
6
$x = 7 or x = - 3$ — Each bracket equal to 0.

Common mistake

Factorising x(x + 3) = 18 and saying x = 18. That only works when the right side is 0.

Common mistake

Dividing $x^{2} = 3 x$ by x to get x = 3. You lose x = 0. Instead make it $x^{2} - 3 x = 0$ , take out x: $x (x - 3) = 0$ , so x = 0 or x = 3.

5. Reject the Impossible Answer

كثير من أسئلة الامتحان عن شكل أو سعر أو زمن. الحل يعطي جوابين، لكن واحدًا فقط يمكن أن يكون حقيقيًا. في المثال: المساحة تساوي العرض في الطول، فنكتب المعادلة، ونفك القوس، ونطرح المساحة لتصبح المعادلة مساوية للصفر، ثم نحلل ونساوي كل قوس بالصفر. نرفض الحل السالب لأن العرض لا يمكن أن يكون سالبًا، ثم نتحقق بضرب العرض في الطول. الخطأ الشائع ترك الجوابين معًا؛ اكتب الجواب المنطقي وقل لماذا رفضت الآخر، فالجزء التالي من السؤال غالبًا يستخدمه.

Many exam questions are about a shape, a price or a time. Solving gives two answers, but only one can be real.

A rectangle is x cm wide and (x + 3) cm long. Its area is 40 cm². Find x.

Worked example

1
$x (x + 3) = 40$ — Area = width × length.
2
$x^{2} + 3 x = 40$ — Expand the bracket: x × x and x × 3.
3
$x^{2} + 3 x - 40 = 0$ — Take 40 from both sides so it equals 0.
4
$(x + 8) (x - 5) = 0$ — 8 × (−5) = −40 and 8 + (−5) = 3.
5
$x = - 8 or x = 5$ — Each bracket equal to 0.
6
$x = 5$ — Reject −8: a width cannot be negative.
7
$5 \times 8 = 40$ — Check: width 5, length 8, area 40. It works.

Common mistake

Leaving both answers. Write the one that makes sense and say why the other is rejected. The next part of the question often uses it.

Key idea

Story questions and equations with fractions that turn into quadratics are in the lesson “Equations That Become Quadratics”.

6. A Number in Front of x²

في الأسئلة الأصعب يكون هناك عدد أمام مربع المجهول، فيبدأ أحد القوسين بضعف المجهول أو بمضاعف آخر له، ويخرج أحد الحلين كسرًا. نحلل كما تعلمنا في درس تحليل المقادير التربيعية، ونتحقق بضرب الحدين الخارجيين والداخليين وجمعهما لنحصل على الحد الأوسط. ثم نساوي كل قوس بالصفر. في القوس الذي فيه عدد أمام المجهول ننقل العدد أولًا ثم نقسم على معامل المجهول، فيخرج الحل كسرًا ولا مشكلة في ذلك. الخطأ الشائع نسيان القسمة على معامل المجهول.

Harder questions put a number in front of x². The brackets then look like (2x − 3), and one answer is a fraction.

Worked example

1
$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$ — The question. A 2 in front of x², so one bracket starts with 2x.
2
$(2 x - 3) (x + 5) = 0$ — Factorise as in “Factorising Quadratic Expressions”. Check: 2x × 5 − 3 × x = 10x − 3x = 7x.
3
$2 x - 3 = 0 or x + 5 = 0$ — Each bracket equal to 0.
4
$2 x = 3$ — Add 3 to both sides.
5
$x = \frac{3}{2}$ — Divide by 2. The answer is a fraction, and that is fine.
6
$x = \frac{3}{2} or x = - 5$ — The second bracket gives −5 as usual.

Common mistake

Giving x = 3 from (2x − 3). You must also divide by the 2, so x = 3/2.

7. Which Method? Read the Question

تأكد أولًا أن الطرف الأيمن صفر، ثم انظر إلى الأعداد. «حلّل ثم ومن ثم حُلّ»: اكتب القوسين ثم ساوِ كل قوس بالصفر. المعادلة لا تساوي صفرًا: انقل الحدود حتى تساوي صفرًا. الزوج صعب الإيجاد: اكتب أزواج العوامل. لا تتحلل: انتقل إلى درس القانون العام. طول أو سعر أو زمن: ارفض الحل المستحيل. عدد أمام مربع المجهول: قوس يبدأ بمضاعف للمجهول ثم اقسم. وتحقق من جوابك دائمًا بالتعويض في المعادلة؛ إذا خرج الناتج صفرًا فالجواب صحيح.

Check the right side is 0, then look at the numbers.

You see	You do
“Factorise … hence solve”	Brackets, then each = 0
Not equal to 0	Move terms to make = 0
Hard-to-find pair	List factor pairs
It will not factorise	See Quadratic Formula
A length, price or time	Reject the impossible answer
A number in front of x²	Brackets like (2x − 3), then divide

Key idea

Check an answer: x = 4 in x² + 2x − 24 gives 16 + 8 − 24 = 0.

تدرّب على حل المعادلات التربيعية بالتحليل

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح حل المعادلات التربيعية بالتحليل

1. Why Factorising Solves It

2. Factorise, Then Solve

3. Finding the Pair

4. Make It Equal Zero First

5. Reject the Impossible Answer

6. A Number in Front of x²

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على حل المعادلات التربيعية بالتحليل

أسئلة امتحانات سابقة على حل المعادلات التربيعية بالتحليل، محلولة ومشروحة بالعربي