شرح المساحة السطحية للهرم

Surface Area of a Pyramid

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Unfold the Pyramid

المساحة السطحية هي مجموع مساحات كل الأوجه الخارجية للهرم. تخيّل أنك فتحت الهرم وفردته على الورق، فتحصل على شبكته: قاعدة واحدة ومثلث على كل ضلع من أضلاعها. الهرم ذو القاعدة المربعة له مربع وأربعة مثلثات متطابقة، وذو القاعدة المستطيلة له مستطيل وزوجان من المثلثات، وذو القاعدة المثلثة له أربعة مثلثات. احسب مساحة كل قطعة ثم اجمعها، واكتب الناتج بوحدات مربعة مثل السنتيمتر المربع.

Surface area is the total area of every outside face. Open a pyramid out flat and you get its net: one base with a triangle on each side.

Pyramid	Pieces in the net
Square base	1 square, 4 equal triangles
Rectangle base	1 rectangle, 2 pairs of triangles
Triangle base	4 triangles

Formula

SA = base + all the triangles

Rule

Find each piece's area, then add. The answer is in square units, like $cm^{2}$ .

2. Slant Height Given

هذا هو السؤال الأسهل: يعطيك الشبكة أو ارتفاع كل وجه مثلث، ويسمى هذا الارتفاع المقاس على منتصف الوجه «الارتفاع الجانبي». أولًا احسب مساحة القاعدة المربعة. ثم احسب مساحة مثلث واحد: نصف القاعدة في الارتفاع الجانبي، واضربها في عدد المثلثات المتطابقة. أخيرًا أضف مساحة القاعدة. الخطأ الشائع هو نسيان القاعدة؛ فالمساحة السطحية الكلية تشمل كل الأوجه، ولا تُحذف القاعدة إلا في الهرم المفتوح مثل خيمة بلا أرضية.

The 2-mark question: you get the net, or the height of each triangle face. That height, measured up the middle of a face, is the slant height $l$ .

Square base 6 cm. Each triangle face has slant height 7 cm.

Worked example

1
$6 \times 6 = 36$ — the base, a square
2
$\frac{1}{2} \times 6 \times 7 = 21$ — one triangle: half base × slant height
3
$4 \times 21 = 84$ — 4 equal triangles
4
$36 + 84 = 120 cm^{2}$ — add the base

Common mistake

Leaving out the base. Total surface area means every face. Only an open pyramid, like a tent with no floor, has no base.

3. Vertical Height Given: Find the Slant

هنا يعطيك السؤال الارتفاع الرأسي للهرم، من القمة نزولًا مباشرة إلى مركز القاعدة، لكن مساحة الوجه تحتاج الارتفاع الجانبي، فتحسبه أولًا. الارتفاع الرأسي ونصف ضلع القاعدة والارتفاع الجانبي تكوّن مثلثًا قائم الزاوية، والارتفاع الجانبي هو الوتر لأنه أطول ضلع. خذ نصف ضلع القاعدة، ثم طبّق نظرية فيثاغورس لتجد الارتفاع الجانبي، ثم احسب مساحة مثلث واحد، ثم اجمع القاعدة مع المثلثات الأربعة. الخطأ الشائع هو استخدام الارتفاع الرأسي في مساحة المثلثات، فيخرج الناتج أصغر من الصحيح، لأن الوجه مائل وأطول من ارتفاع الهرم. وإذا ظهر الارتفاع الجانبي عددًا عشريًا طويلًا فاتركه في الآلة الحاسبة ولا تقرّب إلا الناتج النهائي.

The 5-mark question: you get the pyramid's vertical height, from the top straight down to the centre of the base. A face needs its slant height, so find it first.

The vertical height, half the base side and the slant height make a right-angled triangle. The slant height is the longest side. Square base 8 cm, vertical height 3 cm.

Worked example

1
$8 \div 2 = 4$ — half the base: centre to the middle of an edge
2
$l^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$ — Pythagoras
3
$l = 5$ — the slant height
4
$\frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20$ — one triangle
5
$64 + 4 \times 20 = 144 cm^{2}$ — base plus 4 triangles

Common mistake

Using the vertical height 3 in the triangles. That gives 112 cm², too small. Each face leans, so it is taller than the pyramid.

Key idea

When the slant height is a long decimal, keep it in your calculator. Round only the final answer.

4. Rectangle Base: Two Slant Heights (Extended/Higher)

عندما تكون القاعدة مستطيلًا لا مربعًا، تميل الأوجه المقابلة للضلعين الطويلين بميل مختلف عن الأوجه المقابلة للضلعين القصيرين، فيكون للهرم ارتفاعان جانبيان. للوجهين على الضلعين الطويلين استخدم الارتفاع الرأسي مع نصف الضلع القصير في نظرية فيثاغورس، ثم احسب مساحة هذين المثلثين معًا. للوجهين على الضلعين القصيرين استخدم الارتفاع الرأسي مع نصف الضلع الطويل، ثم احسب مساحتهما. أخيرًا اجمع مساحة القاعدة المستطيلة مع الأوجه الأربعة. الخطأ الشائع هو استخدام ارتفاع جانبي واحد للأوجه الأربعة؛ فكل زوج من الأوجه له مثلثه القائم الخاص.

The 6-mark question: the base is a rectangle, not a square. The faces on the long sides lean at a different slope from the faces on the short sides.

Rectangle base 18 cm by 10 cm, vertical height 12 cm.

Worked example

1
$1 2^{2} + 5^{2} = 13$ — faces on the 18 cm sides use half of 10
2
$2 \times \frac{1}{2} \times 18 \times 13 = 234$ — the two long triangles
3
$1 2^{2} + 9^{2} = 15$ — faces on the 10 cm sides use half of 18
4
$2 \times \frac{1}{2} \times 10 \times 15 = 150$ — the two short triangles
5
$180 + 234 + 150 = 564 cm^{2}$ — base 18 × 10, plus all four

Common mistake

Using one slant height for all four faces. Each pair of faces gets its own right-angled triangle.

5. From a Sloping Edge (Extended/Higher)

أحيانًا يعطيك السؤال طول الحرف المائل، الممتد من ركن القاعدة إلى القمة، لا الارتفاع الجانبي. الحرف المائل ونصف ضلع القاعدة والارتفاع الجانبي تكوّن مثلثًا قائم الزاوية داخل الوجه نفسه، والحرف المائل هنا هو الوتر. لذلك تطرح مربع نصف القاعدة من مربع الحرف ثم تأخذ الجذر التربيعي لتجد الارتفاع الجانبي، ثم تحسب مساحة مثلث واحد وتجمع القاعدة مع المثلثات الأربعة. الخطأ الشائع هو استخدام الحرف المائل كارتفاع للوجه، فيخرج الناتج أكبر من الصحيح، لأن الحرف يذهب إلى الركن لا إلى منتصف الضلع.

Sometimes you get a sloping edge, from a base corner to the top, not the slant height. The edge, half the base side and the slant height make a right-angled triangle inside one face. Here the edge is the longest side.

Square base 10 cm. Each sloping edge is 13 cm.

Worked example

1
$l^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 144$ — edge is longest, so subtract half the base
2
$l = 12$ — the slant height
3
$\frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60$ — one triangle
4
$100 + 4 \times 60 = 340 cm^{2}$ — base plus 4 triangles

Common mistake

Using the sloping edge 13 as the face height. That gives 360 cm², too big. The edge runs to a corner, not up the middle.

6. Working Back From the Total (Extended/Higher)

قد يعطيك السؤال المساحة السطحية الكلية ويطلب طولًا مجهولًا، فتعكس الخطوات من النهاية. أولًا اطرح مساحة القاعدة من المساحة الكلية، فيبقى مجموع المثلثات. ثم اقسم على عدد المثلثات لتجد مساحة مثلث واحد. بعد ذلك اكتب معادلة: نصف القاعدة في الارتفاع الجانبي يساوي مساحة المثلث، وحلّها لتجد الارتفاع الجانبي. وإذا طُلب الارتفاع الرأسي فاستخدم نظرية فيثاغورس، والارتفاع الجانبي هو الوتر. الخطأ الشائع هو قسمة المساحة الكلية على عدد المثلثات مباشرة، مع أن القاعدة ليست أحد المثلثات ويجب طرحها أولًا.

The question can give the total surface area and ask for a length. Undo the steps in reverse.

Square base 8 cm. Total surface area 144 cm². Find the slant height, then the vertical height.

Worked example

1
$144 - 64 = 80$ — take off the base
2
$80 \div 4 = 20$ — one triangle
3
$\frac{1}{2} \times 8 \times l = 20$ — half base × slant height
4
$4 l = 20, l = 5$ — divide by 4
5
$h = 5^{2} - 4^{2} = 3$ — Pythagoras, slant is longest

Common mistake

Dividing 144 by 4 straight away. Take off the base first: it is not one of the triangles.

7. Which Method? Read the Question

هذه الشاشة تساعدك على اختيار الطريقة من نص السؤال. الفكرة الأساسية: جِد الارتفاع الجانبي أولًا، ثم اجمع القاعدة مع المثلثات. إذا أُعطيت الشبكة أو الارتفاع الجانبي فاحسب مباشرة. إذا أُعطيت الارتفاع الرأسي فاستخدم فيثاغورس مع نصف القاعدة. إذا كانت القاعدة مستطيلًا فلك ارتفاعان جانبيان، واحد لكل زوج من الأوجه. إذا أُعطيت الحرف المائل فاطرح مربع نصف القاعدة من مربع الحرف. وإذا أُعطيت المساحة الكلية فاطرح القاعدة ثم اقسم على المثلثات. أما الحجم، والزاوية مع القاعدة، والقاعدة الدائرية، والهرم المقطوع، والمنشور أو متوازي المستطيلات، فلكلٍّ منها درس مستقل. اكتب مساحة كل وجه في سطر وحده، لأن درجات الطريقة تُعطى على الخطوات الصحيحة حتى لو أخطأت في المجموع.

Find the slant height first. Then it is base plus triangles.

You see	You do
Net, or slant height given	base + triangles
Vertical height given	Pythagoras with half the base
Rectangle base	two slant heights, one per pair
Sloping edge given	edge² − half base², for the slant
Total given, length missing	take off the base, ÷ the triangles
Volume, or height from an edge	Volume of a Pyramid
Angle with the base	Trigonometry in 3D: Pyramids and Cones
Round base	Volume and Surface Area of a Cone
Top cut off	Frustum of a Cone
Prism or cuboid	Surface Area of a Cuboid and Cylinder

Key idea

Write the area of each face on its own line. Method marks are given for correct working, even if the total slips.

تدرّب على المساحة السطحية للهرم

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المساحة السطحية للهرم

1. Unfold the Pyramid

2. Slant Height Given

3. Vertical Height Given: Find the Slant

4. Rectangle Base: Two Slant Heights (Extended/Higher)

5. From a Sloping Edge (Extended/Higher)

6. Working Back From the Total (Extended/Higher)

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على المساحة السطحية للهرم

أسئلة امتحانات سابقة على المساحة السطحية للهرم، محلولة ومشروحة بالعربي