شرح حجم الهرم

Volume of a Pyramid

يأتي في امتحانات Cambridge O Level Maths 4024 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. A Third of the Prism

الهرم له قاعدة مستوية وأوجه مائلة تلتقي في نقطة واحدة في الأعلى، وحجمه ثلث حجم المنشور الذي له القاعدة نفسها والارتفاع نفسه. لذلك الحجم يساوي ثلث مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع العمودي، وهو المسافة من القمة نزولًا مباشرة إلى القاعدة بزاوية قائمة. في المثال: أولًا احسب مساحة القاعدة، لأن القانون يحتاج المساحة لا طول الضلع، ثم ضع المساحة والارتفاع في القانون، ثم خذ الثلث. الوحدة مكعبة لأن ثلاثة أطوال تُضرب معًا. الخطأ الشائع هو نسيان الثلث، فيخرج حجم الصندوق كاملًا، أي ثلاثة أمثال الجواب الصحيح.

A pyramid has a flat base and sloping sides that meet at a point on top. It holds one third of the prism with the same base and height.

Formula

V = \frac{1}{3} \times base area \times h

$h$ is the perpendicular height: from the top point straight down to the base, at a right angle.

Worked example

1
$square base 6 cm, h = 10 cm$ — The question. h is the straight-up height, so it can go straight into the formula.
2
$base area = 6 \times 6 = 36 cm^{2}$ — Find the base area first, because the formula needs the area of the base, not its side. A square's area is side × side.
3
$V = \frac{1}{3} \times 36 \times 10$ — Put the base area and the height into the formula.
4
$= \frac{360}{3} = 120 cm^{3}$ — 36 × 10 = 360 is the box with the same base. The pyramid is a third of it. Volume is in cm³ because three lengths multiply.

Common mistake

Forgetting the third. $36 \times 10 = 360$ is the whole box, three times too big.

Key idea

The Great Pyramid of Giza was built about 146 m tall on a square base about 230 m wide. So $V \approx \frac{1}{3} \times 23 0^{2} \times 146$ , about 2.6 million m³: enough to fill roughly a thousand Olympic swimming pools.

2. Any Base: Find Its Area First

قاعدة الهرم قد تكون مستطيلًا أو مثلثًا أو أي شكل مستوٍ، والطريقة واحدة: احسب مساحة القاعدة أولًا ثم استخدم قانون الحجم نفسه. في المثال القاعدة مثلث قائم الزاوية، فمساحته نصف حاصل ضرب الضلعين المتعامدين اللذين يلتقيان عند الزاوية القائمة. بعدها ضع مساحة القاعدة والارتفاع في القانون وخذ الثلث. الخطأ الشائع هو الاكتفاء بنصف واحد: مثلث القاعدة له نصفه الخاص، والهرم ما زال يحتاج الثلث أيضًا.

The base can be a rectangle, a triangle or any flat shape. Find the base area, then use the same formula.

The base is a right-angled triangle with sides 6 cm and 8 cm. The height is 9 cm.

Worked example

1
$base area = \frac{1}{2} \times 6 \times 8$ — The base is a right-angled triangle, so its area is half × base × height. The two short sides meet at the right angle, so use them.
2
$= 24 cm^{2}$ — 6 × 8 = 48, and half of 48 is 24.
3
$V = \frac{1}{3} \times 24 \times 9$ — Now the pyramid formula, with base area 24 and height 9.
4
$= \frac{216}{3} = 72 cm^{3}$ — 24 × 9 = 216, then take a third of it.

Common mistake

Using only one half. The base triangle has its own half; the pyramid still needs the third as well.

Key idea

A rectangle base 5 cm by 8 cm with height 12 cm: $\frac{1}{3} \times 40 \times 12 = 160 cm^{3}$ .

3. Working Back: Find the Height

هنا الحجم معطى وطول واحد مجهول، فنعمل بالعكس. أولًا احسب ما تستطيع، وهو مساحة القاعدة المستطيلة. ثم ضع كل المعلومات في قانون الحجم فيصبح الارتفاع هو المجهول الوحيد. اضرب الطرفين في ثلاثة لتتخلص من الثلث، ثم اقسم على مساحة القاعدة ليبقى الارتفاع وحده. الخطأ الشائع هو قسمة الحجم على مساحة القاعدة ونسيان الضرب في ثلاثة، فيخرج ثلث الارتفاع الحقيقي. وإذا كان المجهول ضلع قاعدة مربعة فاتبع الخطوات نفسها لتجد مساحة القاعدة، ثم خذ الجذر التربيعي.

The volume is given and one length is missing. Put in what you know, then undo the third by multiplying by 3.

Volume 200 cm³, base 10 cm by 6 cm. Find the height.

Worked example

1
$base area = 10 \times 6 = 60 cm^{2}$ — Find what you can first: the rectangle base.
2
$\frac{1}{3} \times 60 \times h = 200$ — Put everything you know into the formula. The height h is the only unknown.
3
$60 \times h = 600$ — Multiply both sides by 3. This undoes the third.
4
$h = \frac{600}{60} = 10 cm$ — Divide both sides by 60 to leave h on its own.

Common mistake

Dividing 200 by 60 and forgetting the 3. That gives 3.33 cm, a third of the real height.

Key idea

Missing the side of a square base instead? Same steps, then a square root. V = 150 cm³ and h = 18 cm: base area = 3 × 150 ÷ 18 = 25 cm², so the side is $25 = 5 cm$ .

4. Surface Area of a Pyramid

بعض الأسئلة تطلب المساحة السطحية الكلية للهرم، أي مجموع مساحات كل أوجهه: القاعدة مع المثلثات الجانبية. مساحة كل وجه مثلث تساوي نصف ضلع القاعدة في الارتفاع الجانبي، وهو ارتفاع الوجه نفسه مقاسًا على منتصفه، وليس الارتفاع الرأسي للهرم. في المثال يعطيك السؤال الارتفاع الرأسي، فتكوّن مثلثًا قائمًا من الارتفاع الرأسي ونصف ضلع القاعدة، والارتفاع الجانبي هو الوتر، فتجده بنظرية فيثاغورس وتأخذ الجذر الموجب لأن الطول لا يكون سالبًا. بعدها احسب مساحة وجه واحد، واضربها في عدد الأوجه المتطابقة، ثم أضف مساحة القاعدة، والوحدة مربعة لا مكعبة. الخطأ الشائع هو استخدام الارتفاع الرأسي في المثلثات، فيخرج الناتج أصغر من الصحيح لأن الوجه مائل وأطول من الهرم.

Some questions ask for the total surface area: every face added up. A pyramid's faces are its base plus the triangles up the sides.

Formula

surface area = base area + area of all triangle faces

Each triangle face is $\frac{1}{2} \times base edge \times l$ . Here $l$ is the slant height: the height of the face, measured up its middle. It is not the vertical height of the pyramid.

Worked example

1
$square base 10 cm, h = 12 cm$ — The question gives the vertical height. A triangle face needs its own height, the slant height l.
2
$l^{2} = 1 2^{2} + 5^{2}$ — The vertical height, half the base side and the slant height make a right-angled triangle. The slant height is the longest side.
3
$l^{2} = 144 + 25 = 169$ — Square each number and add.
4
$l = 13 cm$ — Square root. Keep the positive answer: a length cannot be negative.
5
$one face = \frac{1}{2} \times 10 \times 13 = 65 cm^{2}$ — Each face is a triangle: half × its base (10) × its height, the slant height.
6
$4 \times 65 = 260 cm^{2}$ — A square base has 4 equal triangle faces.
7
$100 + 260 = 360 cm^{2}$ — Add the square base, 10 × 10 = 100. Area is in cm², not cm³.

Common mistake

Using the vertical height 12 for the triangles. That gives 340 cm², too small: each face leans, so it is taller than the pyramid.

5. Height From a Sloping Edge (Extended/Higher)

أحيانًا يعطيك السؤال طول الحرف المائل بدل الارتفاع، فتجد الارتفاع أولًا. قمة الهرم تقع فوق مركز القاعدة المربعة. الخطوة الأولى: احسب المسافة من المركز إلى أحد الأركان، وهي نصف قطر المربع، باستخدام فيثاغورس مع نصف الضلع في كل اتجاه. الخطوة الثانية: الارتفاع وهذه المسافة والحرف المائل تكوّن مثلثًا قائمًا، والحرف هو الوتر، فاطرح ثم خذ الجذر الموجب لتجد الارتفاع. بعدها استخدم قانون الحجم المعتاد وقرّب إلى ثلاثة أرقام معنوية. وإذا أُعطيت الارتفاع الجانبي على منتصف الوجه فاستخدم نصف ضلع القاعدة بدل نصف القطر. وإذا كانت القمة فوق أحد الأركان مباشرة فأحد الأحرف يكون رأسيًا وهو الارتفاع نفسه.

Sometimes you get a sloping edge, not the height. The height, the edge and half the diagonal of the base make a right-angled triangle.

Square base 8 cm. Each sloping edge is 9 cm.

Worked example

1
$square base 8 cm, sloping edge 9 cm$ — The question. The top is above the centre of the square, but no height is given.
2
$centre to corner^{2} = 4^{2} + 4^{2} = 32$ — From the centre, go 4 cm across and 4 cm along to reach a corner (half of 8 each way). Pythagoras gives the distance squared.
3
$h^{2} + 32 = 9^{2}$ — The height, the centre-to-corner line and the sloping edge make a right-angled triangle. The edge is the longest side, so it sits alone.
4
$h^{2} = 81 - 32 = 49$ — Take 32 from both sides.
5
$h = 7 cm$ — Square root. Keep only the positive answer: a height cannot be negative.
6
$V = \frac{1}{3} \times 64 \times 7$ — Now the usual formula. The base area is 8 × 8 = 64.
7
$= \frac{448}{3} \approx 149 cm^{3}$ — 64 × 7 = 448, and 448 ÷ 3 = 149.33…, so 149 cm³ to 3 s.f.

Key idea

Given the slant height up the middle of a face instead, use half the base side. Base 6, face slant 5: $h = 5^{2} - 3^{2} = 4$ .

Key idea

If the top is directly above a corner of the base, one edge stands straight up and is the height. Use a sloping edge and the base side it rises from: edge 13, side 5 gives $h = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ .

6. A Base With No Height (Extended/Higher)

أحيانًا تكون القاعدة مثلثًا بلا ارتفاع مرسوم، مثل المثلث متساوي الأضلاع، فلا تنفع طريقة نصف القاعدة في الارتفاع مباشرة. استخدم قانون مساحة المثلث بالجيب: نصف حاصل ضرب ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما. في المثلث متساوي الأضلاع كل الزوايا متساوية، فالزاوية بين أي ضلعين معروفة. احسب مساحة القاعدة واترك كل الأرقام في الآلة الحاسبة، ثم ضعها في قانون حجم الهرم وقرّب في النهاية فقط. الخطأ الشائع هو التقريب المبكر لمساحة القاعدة فيتغير الجواب النهائي، وتأكد أيضًا أن الآلة الحاسبة على وضع الدرجات. وللقاعدة على شكل مضلع منتظم: صِل المركز بكل الأركان لتحصل على مثلثات متطابقة، وزاوية المركز هي الدورة الكاملة مقسومة على عدد الأضلاع، فاحسب مساحة مثلث واحد ثم اضربها في عدد المثلثات.

Sometimes the base is a triangle with no height marked, like an equilateral triangle. Find its area with the sine formula, then use the pyramid formula as usual.

Formula

area of a triangle = \frac{1}{2} ab sin C

$a$ and $b$ are two sides, and $C$ is the angle between them. In an equilateral triangle every angle is 60°.

Worked example

1
$equilateral base, side 10 cm, h = 12 cm$ — The question. The triangle has no height marked, so half × base × height will not work straight away.
2
$base area = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \times sin 6 0^{\circ}$ — Two sides are 10, and the angle between them is 60°, because all three angles of an equilateral triangle are equal.
3
$= 43.30 \dots cm^{2}$ — sin 60° = 0.8660…, and 50 × 0.8660… = 43.30…. Keep all the digits in your calculator.
4
$V = \frac{1}{3} \times 43.30 \dots \times 12$ — Now the usual pyramid formula.
5
$= 173.2 \dots \approx 173 cm^{3}$ — 43.30… × 12 = 519.6…, and a third of it is 173.2…, so 173 cm³ to 3 s.f.

Common mistake

Rounding the base to 43 too early gives 172 cm³, not 173. Also check your calculator is in degrees.

Key idea

A regular polygon base: join the centre to every corner to make n equal triangles. The angle at the centre is 360° ÷ n, so 72° for a pentagon. Find one triangle with $\frac{1}{2} ab sin C$ , then multiply by n.

7. Which Method? Read the Question

هذه الشاشة تساعدك على اختيار الطريقة حسب السؤال. القاعدة العامة: جِد مساحة القاعدة ثم الارتفاع. إذا أُعطيت القاعدة والارتفاع فاضرب مساحة القاعدة في الارتفاع ثم اقسم على ثلاثة. إذا كانت القاعدة مثلثًا فاحسب مساحته أولًا. إذا أُعطيت الحجم وكان الارتفاع مجهولًا فاضرب في ثلاثة ثم اقسم على مساحة القاعدة. إذا أُعطيت حرفًا مائلًا بلا ارتفاع فابدأ بفيثاغورس. إذا كانت القاعدة مثلثًا بلا ارتفاع مرسوم فاستخدم قانون المساحة بالجيب، وهذا للمستوى الممتد. إذا سُئلت عن الكتلة أو الكثافة فاحسب الحجم أولًا ثم الكثافة تساوي الكتلة مقسومة على الحجم. للمساحة السطحية اجمع القاعدة مع كل الأوجه المثلثة باستخدام الارتفاع الجانبي. تأكد دائمًا أنك استخدمت الارتفاع العمودي لا طولًا مائلًا، واكتب خطوة التعويض في القانون قبل الجواب لأن لها درجة حتى لو أخطأت في الناتج.

Find the base, then the height.

You see	You do
Base and height given	base area, × height, ÷ 3
Triangle base	half base × height for the base first
Volume given, height missing	× 3, then ÷ base area
A sloping edge, no height	Pythagoras first
Triangle base, no height marked	½ab sin C for the base (Extended)
Mass or density asked	volume first, then density = mass ÷ volume
Faces and surface area	base + every triangle face, using the slant height
Top cut off	Frustum of a Cone
Same shape all the way up	Volume of a Prism

Key idea

Always check you used the perpendicular height, not a sloping length.

Key idea

Write the sum, like $\frac{1}{3} \times 36 \times 10$ , before the answer. There is a mark for that line even if your final answer slips.

تدرّب على حجم الهرم

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح حجم الهرم

1. A Third of the Prism

2. Any Base: Find Its Area First

3. Working Back: Find the Height

4. Surface Area of a Pyramid

5. Height From a Sloping Edge (Extended/Higher)

6. A Base With No Height (Extended/Higher)

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على حجم الهرم

أسئلة امتحانات سابقة على حجم الهرم، محلولة ومشروحة بالعربي