شرح الحالة الملتبسة لقانون الجيب

The Ambiguous Case of the Sine Rule

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Two Triangles From the Same Facts

للزاوية ومكمّلتها، أي مئة وثمانون درجة مطروحًا منها الزاوية، الجيب نفسه. لذلك عندما نستعمل قاعدة الجيب لإيجاد زاوية قد يكون هناك جوابان. هذا يحدث فقط إذا عرفنا ضلعين وزاوية ليست بينهما. القاعدة: إذا كانت الزاوية المعلومة حادة وتقابل الضلع الأقصر من الضلعين، فافحص الجوابين كليهما: الزاوية التي تعطيها الآلة الحاسبة ومكمّلتها.

Sine has the same value for an angle and for 180° minus that angle: $sin 5 2^{\circ} = sin 12 8^{\circ}$ . So when the sine rule finds an angle, there may be two answers.

This can happen only when you know two sides and an angle that is not between them.

Rule

If the known angle is acute and faces the shorter of the two sides, check both answers: $x$ and $18 0^{\circ} - x$ .

2. Finding Both Angles

هنا الزاوية المعلومة تقابل الضلع الأقصر، فنتوقع جوابين. أولًا نكتب قاعدة الجيب ونضع الزاوية المطلوبة في البسط، ثم نضرب الطرفين لنعزل جيب الزاوية ونحسبه بالآلة الحاسبة. ثانيًا نستعمل معكوس الجيب، والآلة تعطي الزاوية الحادة فقط. ثالثًا الجواب الثاني هو مئة وثمانون درجة مطروحًا منها الزاوية الحادة. للتحقق نجمع الجواب الثاني مع الزاوية المعلومة: إذا بقي المجموع أقل من مئة وثمانين درجة فالمثلثان موجودان. الخطأ الشائع التوقف عند جواب الآلة الحاسبة.

$A = 3 5^{\circ}$ , $a = 8$ cm and $b = 11$ cm. Find angle $B$ . The 35° faces the shorter side, so expect two answers.

Worked example

1
$\frac{s i n B}{11} = \frac{s i n 3 5 ^{\circ}}{8}$ — The sine rule, with the angle you want on top. Side 11 faces B and side 8 faces the 35°.
2
$sin B = \frac{11 \times s i n 3 5 ^{\circ}}{8}$ — Multiply both sides by 11 to get sin B on its own.
3
$sin B = 0.7887$ — Work out the right-hand side on the calculator.
4
$B = 52. 1^{\circ}$ — Press inverse sine. The calculator only ever gives the acute angle.
5
$B = 18 0^{\circ} - 52. 1^{\circ} = 127. 9^{\circ}$ — An angle and 180° minus it have the same sine, so 127.9° is the second possible answer.
6
$3 5^{\circ} + 127. 9^{\circ} = 162. 9^{\circ}$ — Test the second answer by adding the angle you know. A triangle has 180° in total, so this must stay under 180°.
7
$162. 9^{\circ} < 18 0^{\circ}$ — That leaves 17.1° for the third angle, so both triangles exist.

Common mistake

Stopping at the calculator answer. It only ever gives the acute angle.

3. When the Question Picks One

في هذا السؤال يحدد لك نص السؤال أي الزاويتين تستعمل، مثل قوله إن الزاوية منفرجة، ثم تكمل لحساب المساحة أو ضلع. نستعمل قاعدة الجيب لإيجاد جيب الزاوية، ومعكوس الجيب يعطي الزاوية الحادة، وهي تخص المثلث الآخر. بما أن الزاوية منفرجة نطرح الزاوية الحادة من مئة وثمانين درجة. ثم نجد الزاوية الثالثة لأن مجموع زوايا المثلث مئة وثمانون درجة. أخيرًا نحسب المساحة بقانون نصف حاصل ضرب ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما، ونقرّب لثلاثة أرقام معنوية. الخطأ الشائع استعمال الزاوية الحادة فتحصل على مساحة المثلث الآخر.

The 6-mark question tells you which one to use, such as "angle Q is obtuse". Then carry on to the area or a side.

Triangle $P QR$ : $P Q = 2$ cm, $P R = 5$ cm, $R = 2 0^{\circ}$ and $Q$ is obtuse. Find the area.

Worked example

1
$\frac{s i n Q}{5} = \frac{s i n 2 0 ^{\circ}}{2}$ — The sine rule. Side PR (5) faces Q, and side PQ (2) faces the 20° at R.
2
$sin Q = \frac{5 \times s i n 2 0 ^{\circ}}{2} = 0.8551$ — Multiply both sides by 5, then work it out.
3
$sin^{- 1} (0.8551) = 58. 8^{\circ}$ — The calculator gives the acute angle. This is the answer for the other triangle, not this one.
4
$Q = 18 0^{\circ} - 58. 8^{\circ} = 121. 2^{\circ}$ — The question says Q is obtuse, so use 180° minus the calculator angle.
5
$P = 18 0^{\circ} - 2 0^{\circ} - 121. 2^{\circ} = 38. 8^{\circ}$ — The angles in a triangle add to 180°. P is the one we do not know yet.
6
$Area = \frac{1}{2} (2) (5) sin 38. 8^{\circ}$ — The area formula needs two sides and the angle between them. P is between PQ and PR.
7
$Area = 3.13 cm^{2}$ — Work it out and give 3 significant figures.

Common mistake

Using the acute 58.8°. That is the other triangle, and gives 4.90 cm².

4. Same Area, Two Angles

أحيانًا يقول السؤال إن لمثلث ثانٍ المساحة نفسها للمثلث الأول. أولًا نحسب مساحة المثلث الأول بقانون نصف حاصل ضرب ضلعين في جيب الزاوية المحصورة. ثانيًا نكتب القانون نفسه للمثلث الثاني بالزاوية المجهولة المحصورة بين ضلعيه المعلومين ونجعله مساويًا للمساحة الأولى. ثم نقسم لنعزل جيب الزاوية، ونستعمل معكوس الجيب فنحصل على الزاوية الحادة، والجواب الثاني مكمّلتها. هنا الجوابان صحيحان لأنه لا توجد زاوية أخرى معلومة نجمعها معهما، فاحتفظ بالجواب الثاني حتى لو لم يذكره السؤال.

Some questions say that a second triangle has the same area as the first. The two areas are equal, so you can find its angle. It can have two answers.

Triangle $A B C$ has $A B = 12$ cm, $A C = 8$ cm and $A = 3 5^{\circ}$ . Triangle $P QR$ has $P Q = 10$ cm, $QR = 7$ cm and the same area. Find the two possible values of angle $P QR$ .

Worked example

1
$\frac{1}{2} \times 12 \times 8 \times sin 3 5^{\circ} = 27.53$ — First find the area you have to match, using the two sides and the angle between them.
2
$\frac{1}{2} \times 10 \times 7 \times sin Q = 27.53$ — Q is the angle between PQ and QR, so write the same formula for PQR and make it equal to the first area.
3
$35 sin Q = 27.53$ — Half of 10 × 7 is 35.
4
$sin Q = \frac{27.53}{35} = 0.7866$ — Divide both sides by 35.
5
$Q = 51. 9^{\circ}$ — Inverse sine gives the acute angle first.
6
$Q = 18 0^{\circ} - 51. 9^{\circ} = 128. 1^{\circ}$ — The sine of an angle and of 180° minus it are the same, so 128.1° gives the same area. Both answers work, because there is no other angle to add.

Key idea

Keep the second answer even if the question does not mention a triangle with an obtuse angle. 51.9° and 128.1° both give the same area.

5. Which Method? Read the Question

حالة واحدة فقط تعطي مثلثين: ضلعان وزاوية ليست بينهما وتقابل الضلع الأقصر، فافحص الزاويتين. إذا قال السؤال إن الزاوية منفرجة أو حادة فاختر تلك. إذا تساوت مساحتا شكلين فساوِ بين المساحتين ثم جد الزاويتين. إذا كانت الزاوية المعلومة منفرجة أو تقابل الضلع الأطول فهناك مثلث واحد فقط. ضلعان والزاوية بينهما: قاعدة جيب التمام، وأي سؤال آخر: قاعدة الجيب. للتحقق من الزاوية الثانية اجمعها مع الزاوية المعلومة، فإن بلغ المجموع مئة وثمانين درجة أو تجاوزها فاحذفها.

Only one situation gives two triangles.

You see	You do
Two sides, angle not between, facing the shorter side	check both angles
"is obtuse" or "is acute"	pick that one
Two shapes with the same area	set the two areas equal, then find both angles
The known angle is obtuse	only one triangle
The known angle faces the longer side	only one triangle
Two sides and the angle between	The Cosine Rule
Any other sine rule question	The Sine Rule

Key idea

Test the second angle: add it to the angle you know. If the total reaches 180°, throw it away.

تدرّب على الحالة الملتبسة لقانون الجيب

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الحالة الملتبسة لقانون الجيب

1. Two Triangles From the Same Facts

2. Finding Both Angles

3. When the Question Picks One

4. Same Area, Two Angles

5. Which Method? Read the Question

تدرّب على الحالة الملتبسة لقانون الجيب

أسئلة امتحانات سابقة على الحالة الملتبسة لقانون الجيب، محلولة ومشروحة بالعربي