شرح المشتقة الثانية

The Second Derivative

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Differentiate Twice

لجسيم متحرك تكون الإزاحة هي بُعده عن نقطة ثابتة. فاضل الإزاحة مرة لتحصل على السرعة المتجهة، وفاضل مرة ثانية لتحصل على التسارع. التفاضل مرتين يسمى المشتقة الثانية، أي مشتقة المشتقة. السرعة تخبرك بمدى سرعة تغير الإزاحة، والتسارع يخبرك بمدى سرعة تغير السرعة.

For a moving particle, s is how far it is from O. Differentiate once for velocity, and again for acceleration.

Formula

v = \frac{d s}{d t} a = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} s}{d t ^{2}}

Rule

$\frac{d ^{2} s}{d t ^{2}}$ is the second derivative: the derivative of the derivative.

Key idea

Velocity says how fast s changes. Acceleration says how fast v changes.

Key idea

Differentiate one more time and you get jerk: how fast the acceleration changes. Lift engineers keep jerk small so rides feel smooth; most passengers find about $2 m/s^{3}$ fine. The derivatives after jerk even have fun names: snap, crackle and pop!

2. Time for a Given Acceleration (Higher)

السؤال المعتاد: أوجد السرعة، ثم أوجد متى يكون التسارع عددًا معينًا. فاضل الإزاحة مرة لتحصل على السرعة، ثم فاضل السرعة مرة أخرى لتحصل على التسارع. اجعل قانون التسارع يساوي العدد المعطى، وحلّ المعادلة لتحصل على الزمن. الخطأ الشائع هو مساواة السرعة بالعدد بدلًا من التسارع. اكتب كل خطوة تفاضل والمعادلة التي كوّنتها، فمعظم الدرجات على خطوات الحل.

The usual question: find v, then find when the acceleration is a given number.

Worked example

1
$s = 5 t^{3} - 6 t^{2} + 2 t, a = 21$ — The displacement, and the acceleration you are told to match.
2
$v = \frac{d s}{d t} = 15 t^{2} - 12 t + 2$ — Differentiate once for velocity: 5t³ → 15t², −6t² → −12t, 2t → 2.
3
$a = \frac{d v}{d t} = 30 t - 12$ — Differentiate again for acceleration: 15t² → 30t, −12t → −12, and 2 → 0.
4
$30 t - 12 = 21$ — The question says the acceleration is 21, so set the a expression equal to 21.
5
$30 t = 33$ — Add 12 to both sides.
6
$t = 33 \div 30 = 1.1 s$ — Divide both sides by 30. The time is 1.1 seconds.

Common mistake

Setting v = 21. The question asks for acceleration, so differentiate twice and use a.

Key idea

Show each line of differentiating and the equation you set up. Most of the marks are for the working, so a bare answer scores about 1 mark.

3. When Direction Reverses (Higher)

يغيّر الجسيم اتجاهه عندما يتوقف لحظة، أي عندما تكون السرعة صفرًا. فاضل الإزاحة لتحصل على السرعة، واجعلها تساوي صفرًا وحلّ. عند أخذ الجذر التربيعي تظهر قيمة سالبة، فارفضها لأن الزمن لا يكون سالبًا. لإيجاد التسارع في تلك اللحظة فاضل مرة أخرى، ثم عوّض الزمن في قانون التسارع لا في قانون السرعة، لأن السرعة هناك صفر وأنت تعرف ذلك مسبقًا.

A particle turns round when it stops for an instant: $v = 0$ . Solve that first.

Worked example

1
$x = 2 t^{3} - 54 t + 10, t \geq 0$ — The displacement. Time cannot be negative.
2
$v = \frac{d x}{d t} = 6 t^{2} - 54$ — Differentiate once. The particle turns round when it stops for an instant, so v = 0.
3
$6 t^{2} - 54 = 0$ — Set v equal to 0.
4
$6 t^{2} = 54$ — Add 54 to both sides.
5
$t^{2} = 9$ — Divide both sides by 6.
6
$t = 3 or t = - 3$ — A square root has a positive and a negative answer.
7
$t = 3$ — Reject t = −3, because time cannot be negative.
8
$a = \frac{d v}{d t} = 12 t$ — Differentiate again: 6t² → 12t, and −54 → 0.
9
$a = 12 \times 3 = 36 m/s^{2}$ — Put t = 3 into a, not into v. v is 0 there, and you already knew that.

Common mistake

Putting t = 3 into v. It gives 0, which you already know. The acceleration comes from a.

4. Moving the Same Way (Higher)

إشارة السرعة تحدد اتجاه الحركة، ويتحرك جسيمان في الاتجاه نفسه عندما تكون لسرعتيهما الإشارة نفسها. فاضل إزاحة كل جسيم لتحصل على سرعته، ثم أوجد الأزمنة التي تكون عندها كل سرعة صفرًا. هذه الأزمنة تقسم خط الزمن إلى فترات؛ في كل فترة حدّد إشارة السرعتين، واحتفظ بالفترات التي تتفق فيها الإشارتان. استخدم المتباينات التامة، لأن الجسيم الساكن لا يتحرك في أي اتجاه.

The sign of v gives the direction. Two particles move the same way when their velocities have the same sign.

Worked example

1
$s_{P} = t^{3} - 5 t^{2} + 7 t, s_{Q} = t^{2} - 6 t + 2, t > 0$ — The two displacements. A particle moves the same way as another when their velocities have the same sign.
2
$v_{P} = \frac{d s _{P}}{d t} = 3 t^{2} - 10 t + 7$ — Differentiate P: 3t², −10t and 7.
3
$v_{P} = (t - 1) (3 t - 7)$ — Factorise. Two numbers that multiply to 3 × 7 = 21 and add to −10 are −3 and −7.
4
$v_{P} = 0 at t = 1 and t = \frac{7}{3}$ — Each bracket equal to 0 gives a root. P changes direction at these times.
5
$v_{Q} = \frac{d s _{Q}}{d t} = 2 t - 6 = 0 \Rightarrow t = 3$ — Differentiate Q, then find when it is 0. Q changes direction at t = 3.
6
$1 < t < \frac{7}{3} : v_{P} < 0, v_{Q} < 0$ — Between 1 and 7/3, v_P is negative (U-shape below the axis), and v_Q is negative because t < 3. Same way.
7
$\frac{7}{3} < t < 3 : v_{P} > 0, v_{Q} < 0$ — P is moving forwards and Q is moving backwards, so they go opposite ways. Leave this gap out.
8
$t > 3 : v_{P} > 0, v_{Q} > 0$ — After t = 3, both are positive. Same way.
9
$1 < t < \frac{7}{3} or t > 3$ — Use strict signs, because a particle at rest is not moving either way. For 0 < t < 1, v_P > 0 but v_Q < 0, so that gap is out.

Key idea

Find where each velocity is zero: at 1, 7/3 and 3. Then check the sign of both velocities in each gap between them.

5. Least Speed (Higher)

لإيجاد أقل سرعة: منحنى السرعة يكون في أدنى نقطة حيث يكون مستويًا، وميله هو التسارع، لذلك اجعل التسارع يساوي صفرًا. فاضل مرة للسرعة ومرة ثانية للتسارع، ثم اجعل التسارع صفرًا وحلّ لتحصل على الزمن. بعد ذلك عوّض هذا الزمن في قانون السرعة، لا في التسارع، لتحصل على أقل سرعة. الخطأ الشائع هو مساواة السرعة بالصفر، وهي هنا لا تصل إلى الصفر أبدًا.

Some questions ask for the least speed. A velocity graph is lowest where it is flat, and its gradient is the acceleration. So set $a = 0$ .

Worked example

1
$s = t^{3} - 6 t^{2} + 15 t - 4$ — The displacement of the particle.
2
$v = 3 t^{2} - 12 t + 15$ — Differentiate once for velocity.
3
$a = 6 t - 12$ — Differentiate again. This is the gradient of the v graph.
4
$6 t - 12 = 0$ — The bottom of the v curve is flat, so its gradient a is 0. v is a U-shape because 3t² is positive.
5
$6 t = 12$ — Add 12 to both sides.
6
$t = 2$ — Divide both sides by 6.
7
$v = 3 (2)^{2} - 12 (2) + 15$ — Now put t = 2 into v, not into a, to find the least velocity.
8
$v = 12 - 24 + 15 = 3 m/s$ — 3 × 4 = 12 and 12 × 2 = 24. The least speed is 3 m/s.

Common mistake

Setting v = 0. This v never reaches 0, so that gives no answer. The least value is where a = 0.

Key idea

Check: $v = 3 (t - 2)^{2} + 3$ . A square is never negative, so v is never below 3. The least speed is 3 m/s, at t = 2.

6. Which Method? Read the Question

حدّد ما يطلبه السؤال، ثم اعرف كم مرة تفاضل. للسرعة فاضل الإزاحة مرة، وللتسارع فاضل مرتين. إذا توقف الجسيم أو غيّر اتجاهه فالسرعة صفر. للحركة في الاتجاه نفسه قارن إشارتي السرعتين. وأقل سرعة تكون حيث التسارع صفر. واكتب الوحدات دائمًا: متر في الثانية للسرعة، ومتر في الثانية لكل ثانية للتسارع.

Find what the question names, then count how many times to differentiate. A particle that stops or turns round has $v = 0$ . The least speed is where $a = 0$ .

You see	You do
Velocity	differentiate s once
Acceleration	differentiate twice
Reverses or at rest	v = 0
Same direction	compare the signs of v
Maximum or minimum	Stationary Points

Key idea

Always give units: m/s for v and m/s² for a.

تدرّب على المشتقة الثانية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المشتقة الثانية

1. Differentiate Twice

2. Time for a Given Acceleration (Higher)

3. When Direction Reverses (Higher)

4. Moving the Same Way (Higher)

5. Least Speed (Higher)

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على المشتقة الثانية

أسئلة امتحانات سابقة على المشتقة الثانية، محلولة ومشروحة بالعربي