شرح النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى

Stationary Points and Turning Points

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Stationary Point Is (Higher)

في قمة التل أو قاع الوادي يكون المنحنى مستويًا للحظة، أي أن ميله صفر. النقطة الحرجة، أو نقطة الانقلاب، هي النقطة التي تكون عندها المشتقة صفرًا. قمة التل تسمى نقطة عظمى، وقاع الوادي يسمى نقطة صغرى. الأسئلة تستخدم الاسمين بالمعنى نفسه.

At the top of a hill or the bottom of a valley the curve is flat for a moment. Its gradient is 0 there.

Rule

A stationary point is where $\frac{d y}{d x} = 0$ . A hill top is a maximum; a valley bottom is a minimum.

Key idea

“Turning point” means the same thing. The questions use both names.

Key idea

Puzzle: you have 40 m of fence for a rectangular garden. Which shape gives the most area? Sides $x$ and $20 - x$ give $A = 20 x - x^{2}$ . Set $\frac{d A}{d x} = 20 - 2 x = 0$ : a 10 m square, area 100 m².

2. Finding the Points

الخطوات: فاضل، ثم اجعل المشتقة تساوي صفرًا لأن المنحنى مستوٍ هناك، ثم حلّ المعادلة، ثم أوجد الصاد. بسّط المعادلة بالقسمة على العامل المشترك، ثم حلّل لتحصل على قيمتي السين. بعد ذلك عوّض كل قيمة في معادلة المنحنى نفسها، لا في المشتقة، مع وضع الأعداد السالبة بين أقواس. الخطأ الشائع هو التوقف عند قيم السين، والسؤال يطلب الإحداثيين معًا. وإذا طُلب إثبات أن محور السينات مماس للمنحنى، فابحث عن نقطة حرجة إحداثيها الصادي صفر.

Differentiate, set it equal to 0, solve, then find y.

Worked example

1
$y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ — The curve.
2
$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 6 x - 9$ — Differentiate each term with the power rule.
3
$3 x^{2} - 6 x - 9 = 0$ — Flat means gradient 0, so set dy/dx equal to 0.
4
$x^{2} - 2 x - 3 = 0$ — Divide every term by 3 to make the numbers smaller.
5
$(x - 3) (x + 1) = 0$ — Factorise. Two numbers that multiply to −3 and add to −2 are −3 and +1.
6
$x = 3 or x = - 1$ — Each bracket equal to 0 gives an x value.
7
$y = (- 1)^{3} - 3 (- 1)^{2} - 9 (- 1) + 5$ — Now find y. Put x = −1 into the curve (not dy/dx), with brackets.
8
$y = - 1 - 3 + 9 + 5 = 10$ — (−1)³ = −1 and (−1)² = 1. Then −9 × (−1) = +9. The point is (−1, 10).
9
$y = 3^{3} - 3 (3)^{2} - 9 (3) + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = - 22$ — Same move for x = 3. The point is (3, −22).

Common mistake

Stopping at the x values. “Find the coordinates” needs y too.

Key idea

“Show that the x-axis is a tangent” means find a stationary point with y = 0. The curve touches the axis there without crossing it.

3. When x Factors Out

أحيانًا لا يكون في المشتقة حد عددي ثابت، فتكون السين عاملًا مشتركًا في كل الحدود. أخرجها عاملًا مشتركًا، ولا تقسم على السين أبدًا، وإلا ضاع منك الحل الذي تكون فيه السين صفرًا. بعد إخراج العامل المشترك قد يبقى فرق بين مربعين، فحلّله إلى قوسين، فتحصل على ثلاث قيم للسين. ثم عوّض كل قيمة في معادلة المنحنى لتحصل على الصاد. لاحظ أن القوة الزوجية لعدد سالب موجبة، فقد تعطي القيمتان المتعاكستان الصاد نفسها.

Some derivatives have no number term, so x factors out. Take it out as a factor. Never divide by x, or you lose the answer x = 0.

Worked example

1
$y = x^{4} - 18 x^{2} + 7$ — The curve.
2
$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 36 x$ — Power rule on each term, and 7 → 0.
3
$4 x^{3} - 36 x = 0$ — Stationary means gradient 0.
4
$4 x (x^{2} - 9) = 0$ — Take out the common factor 4x, which divides both terms.
5
$4 x (x - 3) (x + 3) = 0$ — x² − 9 is a difference of two squares, so it splits into (x − 3)(x + 3).
6
$x = 0, x = 3, x = - 3$ — Each factor equal to 0 gives an x value. There are three.
7
$y = 0^{4} - 18 (0)^{2} + 7 = 7$ — Put x = 0 into the curve. The point is (0, 7).
8
$y = 3^{4} - 18 (3)^{2} + 7 = 81 - 162 + 7 = - 74$ — Put x = 3 into the curve. 3⁴ = 81 and 18 × 9 = 162.
9
$y = (- 3)^{4} - 18 (- 3)^{2} + 7 = - 74$ — An even power of −3 is positive, so x = −3 gives the same y as x = 3.

Common mistake

Dividing both sides of $4 x^{3} - 36 x = 0$ by $x$ . That throws away $x = 0$ , which is a turning point.

4. Maximum or Minimum?

لمعرفة هل النقطة الحرجة عظمى أم صغرى، فاضل مرة ثانية لتحصل على المشتقة الثانية، ثم عوّض قيمة السين لكل نقطة. إذا كانت النتيجة موجبة فالمنحنى على شكل وادٍ والنقطة صغرى، وإذا كانت سالبة فالمنحنى على شكل تل والنقطة عظمى. ضع الأعداد السالبة بين أقواس عند التعويض. للتذكّر: الموجب ابتسامة أي صغرى، والسالب عبوس أي عظمى. ويمكنك أيضًا رسم المنحنى تقريبيًا للتحقق.

Differentiate a second time. The sign of $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ tells you which.

Worked example

1
$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 6 x - 9$ — From the first example, Finding the Points.
2
$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = 6 x - 6$ — Differentiate dy/dx again with the power rule.
3
$x = 3 : 6 (3) - 6$ — Put the first x value into the second derivative.
4
$18 - 6 = 12 > 0$ — Positive: the curve is a valley here, so it is a minimum.
5
$x = - 1 : 6 (- 1) - 6$ — Now the other x value, with brackets round the negative.
6
$- 6 - 6 = - 12 < 0$ — Negative: the curve is a hill here, so it is a maximum.

Memory trick

Positive is a smile (minimum). Negative is a frown (maximum).

Key idea

You can also sketch. A cubic with a positive $x^{3}$ goes up, makes a hill, then a valley, then goes up. So its left turning point is the maximum and its right one is the minimum.

5. The Biggest Value (Higher)

في هذه الأسئلة الطويلة تكوّن قانونًا لحجم أو مساحة ثم تبحث عن قيمته العظمى. اكتب الحجم على أنه الطول في العرض في الارتفاع، وفكّ الأقواس. فاضل، واجعل المشتقة صفرًا، ثم أخرج العامل المشترك وحلّ. ارفض أي قيمة تجعل أحد الأبعاد صفرًا أو سالبًا، لأنها لا تعطي صندوقًا حقيقيًا. تحقق بالمشتقة الثانية أن النقطة عظمى، أي أن الإشارة سالبة. وأخيرًا عوّض القيمة في قانون الحجم نفسه، لا في المشتقة، لتحصل على أكبر حجم.

The 5-mark questions build a formula for a volume or an area, then ask for its maximum. Here a cuboid is x cm by 2x cm by (18 − 3x) cm.

Worked example

1
$V = x \times 2 x \times (18 - 3 x)$ — Volume is length × width × height.
2
$V = 2 x^{2} (18 - 3 x)$ — x × 2x = 2x².
3
$V = 36 x^{2} - 6 x^{3}$ — Multiply 2x² by each term: 2 × 18 = 36, and 2 × (−3) = −6, with x² × x = x³.
4
$\frac{d V}{d x} = 72 x - 18 x^{2}$ — Differentiate each term.
5
$72 x - 18 x^{2} = 0$ — The maximum is a stationary point, so set it to 0.
6
$18 x (4 - x) = 0$ — Take out the common factor 18x.
7
$x = 0 or x = 4$ — Each factor equal to 0 gives an x value.
8
$x = 4$ — x = 0 would make no box, so reject it. At x = 4 the height is 18 − 12 = 6, which is fine.
9
$\frac{d ^{2} V}{d x ^{2}} = 72 - 36 x$ — Differentiate again to check it is a maximum.
10
$72 - 36 (4) = - 72 < 0$ — Negative means a hill, so x = 4 gives a maximum.
11
$V = 2 (4)^{2} (18 - 3 (4))$ — Put x = 4 into V (the volume formula, not dV/dx).
12
$V = 2 (16) (6) = 192$ — The maximum volume is 192 cm³.

Key idea

Always ask: could this x really happen? A length cannot be 0 or negative, so reject any x that makes a side zero or negative.

6. A Missing Number (Higher)

إذا أخبرك السؤال بموقع النقطة الحرجة وفي المنحنى عدد مجهول، فعوّض قيمة السين المعطاة في المشتقة واجعلها تساوي صفرًا. أولًا أعد كتابة الكسر الذي فيه السين في المقام على صورة قوة سالبة، ثم فاضل مع إبقاء المجهول كعدد عادي أمام الحد. حلّ المعادلة لتجد المجهول، ثم عوّضه مع قيمة السين في معادلة المنحنى لتحصل على الصاد. وإذا أعطاك السؤال ميلًا بدلًا من نقطة حرجة، فاجعل المشتقة تساوي ذلك الميل لا الصفر.

If the question tells you where the stationary point is, put that x into $\frac{d y}{d x} = 0$ . Then use the curve to find y.

Worked example

1
$y = k x^{2} + \frac{8}{x}$ — Stationary at x = 1/2. Find k, then the y-coordinate there.
2
$y = k x^{2} + 8 x^{- 1}$ — Write 8/x as a power so the rule works.
3
$\frac{d y}{d x} = 2 k x - 8 x^{- 2}$ — kx² → 2kx, because k is just a number. 8x⁻¹ → −8x⁻².
4
$2 k (\frac{1}{2}) - \frac{8}{( \frac{1}{2} ) ^{2}} = 0$ — Stationary means gradient 0. Put x = 1/2 in.
5
$k - \frac{8}{1/4} = 0$ — 2k × 1/2 = k, and (1/2)² = 1/4.
6
$k - 32 = 0$ — 8 ÷ 1/4 = 8 × 4 = 32.
7
$k = 32$ — Add 32 to both sides.
8
$y = 32 (\frac{1}{2})^{2} + \frac{8}{1/2}$ — Put k = 32 and x = 1/2 into the curve (not dy/dx).
9
$y = 8 + 16 = 24$ — 32 × 1/4 = 8, and 8 ÷ 1/2 = 16. The point is (1/2, 24).

Key idea

If the question gives a gradient instead, such as “the gradient at x = 2 is 6”, put that x into dy/dx and set it equal to that number, not 0.

7. Which Method? Read the Question

كل سؤال في هذا الدرس يبدأ بجعل المشتقة تساوي صفرًا. لنقاط الانقلاب حلّ ثم أوجد الصاد. لتحديد العظمى والصغرى انظر إلى إشارة المشتقة الثانية. لأكبر حجم كوّن القانون أولًا ثم اجعل مشتقته صفرًا. وإذا أعطاك السؤال موقع النقطة الحرجة فعوّض تلك القيمة في المشتقة واجعلها صفرًا. تأكد في النهاية أن الإجابة منطقية: الطول يجب أن يكون موجبًا، والقيمة العظمى أكبر من القيم القريبة منها.

Every question here starts with dy/dx = 0.

You see	You do
“Turning points”	dy/dx = 0, then find y
“Maximum or minimum”	Sign of the second derivative
“Maximum volume”	Build the formula, then dy/dx = 0
“Stationary at x = …”	Put that x into dy/dx = 0
“Find dy/dx” only	See Differentiating Polynomials

Key idea

Check your answer makes sense: a length must be positive, and the maximum must be bigger than nearby values.

تدرّب على النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى

1. What a Stationary Point Is (Higher)

2. Finding the Points

3. When x Factors Out

4. Maximum or Minimum?

5. The Biggest Value (Higher)

6. A Missing Number (Higher)

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى

أسئلة امتحانات سابقة على النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى، محلولة ومشروحة بالعربي