شرح متجهات الوحدة والمركبتان i, j

Unit Vectors and i, j Components

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Meet i and j

طائرة توصيل تُؤمر: طِر عددًا من الكيلومترات شرقًا ثم عددًا شمالًا؛ هذان العددان يكفيانها. في المتجهات نعطي الاتجاهين اسمين: متجه الوحدة الأفقي، وهو وحدة واحدة في اتجاه محور السينات، ومتجه الوحدة الرأسي، وهو وحدة واحدة في اتجاه محور الصادات. أي متجه هو عدد من الأول زائد عدد من الثاني، وهذان العددان مركّبتاه، والسالب يعني نحو اليسار أو الأسفل. في المثال نضرب كل مركّبة في العدد خارج القوس، ثم نجمع المركّبات الأفقية معًا والرأسية معًا. وتذكّر أن المتجه من نقطة إلى أخرى هو متجه موضع النهاية ناقص متجه موضع البداية. اكتب المتجه العمودي دون خط بين العددين، فهو ليس كسرًا.

A delivery drone is told: fly 3 km east, then 4 km north. Those two numbers are all it needs. In vectors, we give the two directions their own names: i and j.

Formula

i = (10), j = (01)

$i$ — one unit in the x-direction (often east).
$j$ — one unit in the y-direction (often north).

Any vector is some i's plus some j's. The numbers in front are its components.

Formula

a i + b j = (a b)

$a$ — the x-component: how far across.
$b$ — the y-component: how far up. A negative number means down.

Worked example

1
Write $2 i + 3 j + 2 (4 i - j)$ as one vector.
2
$2 (4 i - j) = 8 i - 2 j$ — Multiply each component by 2.
3
$(2 + 8) i + (3 - 2) j$ — Add the i parts together and the j parts together.
4
$= 10 i + j$ — As a column vector this is 10 over 1.

From the position vectors lesson: if A and B have position vectors $a$ and $b$ , then $A B = b - a$ .

Rule

Use correct notation. By hand, underline a vector letter (a) or put an arrow over two points, as in $A B$ . Write a column vector with no line between the numbers — it is not a fraction.

Key idea

i and j are just column vectors in disguise. Add, subtract and multiply them part by part.

2. Magnitude

مقدار المتجه هو طوله. المركّبتان هما الضلعان القصيران في مثلث قائم، فنظرية فيثاغورس تعطي الطول: الجذر التربيعي لمجموع مربعي المركّبتين. احفظ هذا القانون، فهو غير مطبوع في الورقة. في المثال الأول نجد المتجه بين نقطتين بطرح البداية من النهاية، ثم نطبّق فيثاغورس. وفي سؤال شائع تكون إحدى المركّبتين فيها مجهول والطول معطى: ربّع الطرفين فتظهر معادلة، وعند أخذ الجذر انتبه للإشارتين، فهناك قيمتان للمجهول. الخطأ الشائع: طرح مربع المركّبة السالبة؛ تربيع العدد السالب يعطي موجبًا دائمًا. وفي الورقة بلا آلة حاسبة اترك الجذور في أبسط صورة.

The magnitude of a vector is its length. The components are the two shorter sides of a right-angled triangle, so Pythagoras gives the length.

Formula

∣ a i + b j ∣ = a^{2} + b^{2}

$a$ — the x-component.
$b$ — the y-component. Squaring makes a negative component positive.

Rule

Learn this formula. 0606, 4037 and 4PM1 do not give it on the paper.

Worked example

1
A is $(1, 2)$ and B is $(7, 10)$ . Find $∣ A B ∣$ .
2
$A B = (7 - 1) i + (10 - 2) j = 6 i + 8 j$ — End minus start: b − a.
3
$∣ A B ∣ = 6^{2} + 8^{2} = 100$ — Pythagoras on the components.
4
$= 10$ — The length of AB.

A common exam question puts a letter in a component and gives the length. Squaring both sides turns it into a quadratic.

Worked example

1
$P Q = (p - 1) i + 4 j$ and $∣ P Q ∣ = 5$ . Find the possible values of p.
2
$(p - 1)^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ — Magnitude squared equals the length squared.
3
$(p - 1)^{2} = 9$ — Subtract 16.
4
$p - 1 = \pm 3$ — Square root: there are two signs.
5
$p = 4 or p = - 2$ — Both values give a vector of length 5.

Common mistake

Writing $∣3 i - 4 j ∣ = 9 - 16$ . Square each component: $(- 4)^{2} = 16$ , so it is $9 + 16 = 5$ .

Rule

No calculator on Paper 1 for 0606 and 4037: leave surds simplified, for example $∣2 i - 4 j ∣ = 20 = 25$ .

Key idea

Magnitude means length. Square both components, add, square root.

3. Unit vectors

متجه الوحدة طوله واحد. يحتفظ بالاتجاه وينسى الحجم، مثل سهم البوصلة. لصنعه اقسم المتجه على طوله نفسه، فيبقى الاتجاه ويصبح الطول واحدًا بالضبط. الطريقة: أوجد طول المتجه أولًا بفيثاغورس، ثم اقسم المتجه كله عليه، أي اقسم كلتا المركّبتين. وتحقق في النهاية: ربّع المركّبتين الجديدتين واجمعهما وخذ الجذر، فيجب أن تحصل على واحد. الخطأ الشائع: قسمة مركّبة واحدة فقط على الطول؛ المتجه كله يُقسم، فتتغير المركّبتان معًا. تذكّر: متجه الوحدة هو المتجه مقسومًا على طوله، بالاتجاه نفسه وطول واحد.

A unit vector has length 1. It keeps a direction but forgets the size, like an arrow on a compass.

To make one, divide a vector by its own length. The direction stays the same and the length becomes exactly 1.

Formula

\hat{a} = \frac{a}{∣ a ∣}

$a$ — the vector that gives the direction.
$∣ a ∣$ — its magnitude. Dividing by it shrinks or stretches $a$ to length 1.
$\hat{a}$ — read “a hat”: the unit vector in the direction of a.

Worked example

1
Find the unit vector in the direction of $3 i - 4 j$ .
2
$∣3 i - 4 j ∣ = 9 + 16 = 5$ — First find the length.
3
$\frac{1}{5} (3 i - 4 j)$ — Divide the whole vector by 5.
4
$= \frac{3}{5} i - \frac{4}{5} j$ — Both components are divided.
5
$(\frac{3}{5})^{2} + (\frac{4}{5})^{2} = \frac{25}{25} = 1$ — Check: its length is 1.

Common mistake

Dividing only one component by the length. The whole vector is divided, so both components change.

Key idea

Unit vector = vector ÷ its own length. Same direction, length 1.

4. A given length and direction

كثيرًا ما يُطلب متجه له طول معين في اتجاه معين. أوجد كم مرة يجب أن يكون أطول من متجه الاتجاه، ثم اضرب. الطريقة: احسب طول متجه الاتجاه المعطى، ثم اقسم الطول المطلوب عليه لتحصل على عدد التكبير، ثم اضرب المركّبتين في هذا العدد. وهذا هو نفسه ضرب متجه الوحدة في الطول المطلوب. في المثال الثاني يكون الطول المطلوب والطول الموجود فيهما الجذر نفسه، فيختصر الجذران ولا نحتاج آلة حاسبة. الخطأ الشائع: الضرب في الطول المطلوب مباشرة دون القسمة على طول متجه الاتجاه، فيخرج متجه أطول بكثير من المطلوب. القاعدة: الطول المطلوب على الطول الموجود يعطي عدد الضرب.

Questions often ask for a vector with a given length, pointing in a given direction. Find how many times longer it must be, then scale.

Formula

v = k \times \frac{d}{∣ d ∣}

$k$ — the length you want.
$d$ — any vector in the right direction. $\frac{d}{∣ d ∣}$ is its unit vector.

Worked example

1
Find the vector of magnitude 26 in the direction of $5 i - 12 j$ .
2
$∣5 i - 12 j ∣ = 25 + 144 = 13$ — The length of the direction vector.
3
$\frac{26}{13} = 2$ — We need a vector twice as long.
4
$2 (5 i - 12 j) = 10 i - 24 j$ — Scale both components by 2.

Worked example

1
$O R$ has magnitude $310$ and the same direction as $i + 3 j$ . Find $O R$ .
2
$∣ i + 3 j ∣ = 1 + 9 = 10$ — The length of the direction vector.
3
$\frac{3 10}{10} = 3$ — The surds cancel. No calculator needed.
4
$O R = 3 i + 9 j$ — Scale both components by 3.

Common mistake

Multiplying by the length you want without dividing first. $26 (5 i - 12 j)$ has length $26 \times 13$ , not 26.

Key idea

Length you want ÷ length you have = the number to multiply by.

5. Components from an angle

أحيانًا يُعطى طول المتجه وزاوية بدل المركّبتين. تجزئة المتجه إلى مركّبة أفقية ورأسية تسمى التحليل. إذا قيست الزاوية من الاتجاه الموجب لمحور السينات عكس عقارب الساعة، فالمركّبة الأفقية هي الطول في جيب تمام الزاوية لأنها الضلع المجاور، والرأسية هي الطول في جيب الزاوية لأنها الضلع المقابل. في المثال نستخدم القيم الدقيقة لزاوية خاصة فلا نحتاج آلة حاسبة. وإذا أُعطي ظل الزاوية بدلها، فالظل هو الرأسي على الأفقي، فيعطيك متجه اتجاه مباشرة؛ أوجد طوله ثم كبّره إلى الطول المطلوب. الخطأ الشائع: تبديل الجيب وجيب التمام؛ مع زاوية من محور السينات، جيب التمام للأفقي والجيب للرأسي.

Sometimes you are given a length and an angle instead of components. Splitting the vector into i and j parts is called resolving it.

Formula

v = r cos θ i + r sin θ j

$r$ — the length (magnitude) of the vector.
$θ$ — the angle measured from the positive x-direction, anticlockwise.

Worked example

1
A vector has magnitude 10 and makes an angle of $3 0^{\circ}$ with the positive x-axis. Write it in i, j form.
2
$10 cos 3 0^{\circ} = 10 \times \frac{3}{2} = 53$ — The i part uses cos, the side next to the angle.
3
$10 sin 3 0^{\circ} = 10 \times \frac{1}{2} = 5$ — The j part uses sin, the side opposite the angle.
4
$v = 53 i + 5 j$ — Exact values, so it works without a calculator.

If the question gives $tan α$ instead of the angle, the tan tells you a direction vector directly: $tan α = \frac{up}{across}$ .

Worked example

1
A vector of magnitude 15 makes an angle $α$ above the positive x-axis, where $tan α = \frac{3}{4}$ . Find it.
2
$4 i + 3 j$ — A direction vector: 4 across and 3 up gives $tan α = \frac{3}{4}$ .
3
$∣4 i + 3 j ∣ = 5$ — Its length.
4
$\frac{15}{5} = 3 \Rightarrow 12 i + 9 j$ — Scale by 3 to get length 15.

Common mistake

Swapping sin and cos. With the angle measured from the x-axis, cos goes with i and sin goes with j.

Key idea

Length and angle in, components out: $r cos θ$ across, $r sin θ$ up.

6. Equating like vectors

متجهان متساويان فقط إذا تطابقا في الاتجاهين معًا، أي تتساوى المركّبتان الأفقيتان وتتساوى المركّبتان الرأسيتان. هذا يعطيك معادلتين عاديتين، ويسمى مساواة المتجهات المتشابهة. في المثال: نجمع المركّبات الأفقية في الطرف الأيسر ونساويها بالمركّبة الأفقية في الطرف الأيمن، ونفعل الشيء نفسه للمركّبات الرأسية، ثم نحلّ المعادلتين معًا بالحذف، ونتحقق بالتعويض. والطريقة نفسها تعمل مع متجهين غير متوازيين بدل متجهي الوحدة: طابق معاملي كل منهما. الخطأ الشائع: مطابقة مركّبة واحدة فقط؛ معادلة واحدة لا تكفي لإيجاد مجهولين، فاكتب المعادلتين.

Two vectors are equal only if they match in both directions. So equal vectors have equal i parts and equal j parts. This gives two equations.

Rule

If $p i + q j = r i + s j$ , then $p = r$ and $q = s$ . This is called equating like vectors.

Worked example

1
Find $λ$ and $μ$ such that $λ (2 i + j) + μ (- i + 3 j) = 7 i + 14 j$ .
2
$i : 2 λ - μ = 7$ — Collect the i parts on the left and match them with 7.
3
$j : λ + 3 μ = 14$ — Collect the j parts and match them with 14.
4
$6 λ - 3 μ = 21 \Rightarrow 7 λ = 35$ — Multiply the first equation by 3 and add the second.
5
$λ = 5, μ = 3$ — Then μ = 2(5) − 7 = 3.
6
$5 (2 i + j) + 3 (- i + 3 j) = 7 i + 14 j$ — Check: 10 − 3 = 7 and 5 + 9 = 14.

4PM1 questions often use two non-parallel vectors a and b instead of i and j. The same rule works: match the a parts and match the b parts.

In longer geometry questions you write one point two ways and then equate like vectors. That is the vector geometry lesson.

Common mistake

Matching only one component. One equation cannot find two unknowns. Write both the i equation and the j equation.

Key idea

One vector equation in two dimensions gives two ordinary equations.

7. Which tool? Read the question

اقرأ السؤال لترى الأداة المطلوبة. «أوجد المقدار»: اكتب المتجه بمركّبتيه ثم فيثاغورس. مجهول في مركّبة مع طول معطى: ربّع الطرفين وحلّ واحتفظ بالقيمتين ما لم يُطلب غير ذلك. «متجه الوحدة في اتجاه»: اقسم على الطول. «مقدار معين في اتجاه»: متجه الوحدة في الطول المطلوب. طول وزاوية أو ظل زاوية: حلّل إلى مركّبتين بجيب التمام للأفقي والجيب للرأسي. مجاهيل في طرفي معادلة متجهات: ساوِ المركّبات الأفقية والرأسية. ولطول المتجه بين نقطتين: اطرح متجه البداية من متجه النهاية ثم فيثاغورس. الخطأ الشائع: متجه وحدة طوله ليس واحدًا؛ تحقق دائمًا.

Read the question to see which tool it wants.

You see	You do
“Find the magnitude” of a vector	Write it as $p i + q j$ , then use Pythagoras (below)
A letter in a component and a given length	Square both sides, solve the quadratic, keep both values unless told otherwise
“Unit vector in the direction of …”	Divide by its own magnitude
“Magnitude k in the direction of …”	Unit vector times k
A length and an angle (or $tan α$ )	Resolve: $r cos θ i$ $+ r sin θ j$
Unknowns on both sides of a vector equation	Equate the i parts and the j parts

For $∣ A B ∣$ : $A B = b - a$ , then $∣ p i + q j ∣$ $= p^{2} + q^{2}$ .

Common mistake

Giving a unit vector that is not length 1. Always check: square the components, add, and you should get 1.

Key idea

Every vector question here is length, direction or matching parts. Name which one you need before you start.

تدرّب على متجهات الوحدة والمركبتان i, j

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح متجهات الوحدة والمركبتان i, j

1. Meet i and j

2. Magnitude

3. Unit vectors

4. A given length and direction

5. Components from an angle

6. Equating like vectors

7. Which tool? Read the question

تدرّب على متجهات الوحدة والمركبتان i, j

أسئلة امتحانات سابقة على متجهات الوحدة والمركبتان i, j، محلولة ومشروحة بالعربي