شرح التعبير عن المتجهات بدلالة a و b

Expressing Vectors in Terms of a and b

يأتي في امتحانات Cambridge O Level Maths 4024 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Routes Through a Shape

في هذه الأسئلة لا يمكنك استخدام إلا المتجهات المعطاة لك. لإيجاد متجه جديد، امشِ من بدايته إلى نهايته على أضلاع تعرفها. إذا مشيت مع اتجاه السهم فاكتب المتجه بإشارة موجبة، وإذا مشيت عكسه فاكتبه بإشارة سالبة. الضلع الموازي بالطول نفسه هو المتجه نفسه، والضلع الموازي الذي طوله ضعف الطول هو ضعف المتجه. أي طريق يصل بك من البداية إلى النهاية صحيح، فاختر الطريق الذي يمر بأضلاع معروفة.

You can only use the vectors you are given. To find a new vector, walk from its start to its end along sides you know.

You walk	You write
along an arrow	plus that vector
against an arrow	minus that vector
a parallel side, same length	the same vector
a parallel side, twice as long	2 times the vector

Rule

Any route works: $A B = A O + O B$ . Pick the one through sides you know.

2. Parallelograms: Opposite Sides Match

في متوازي الأضلاع، كل ضلعين متقابلين متساويان ومتوازيان، لذلك هما المتجه نفسه. لإيجاد قطر، امشِ على ضلعين معروفين من بداية القطر إلى نهايته واجمعهما. عندما تمشي عكس اتجاه سهم ضلع معطى، تضع إشارة سالب أمام متجهه. في النهاية يُفضَّل أن تكتب الحد الموجب أولًا لأنه أسهل في القراءة. الخطأ الشائع هو كتابة القطر الثاني بإشارات معكوسة؛ لذلك راجع الخطوة الأولى: هل مشيت مع السهم أم عكسه؟

In a parallelogram, opposite sides are equal and parallel, so they are the same vector.

Worked example

1
$O A B C : O A = a, O C = b$ — The parallelogram is OABC. We are given the two sides that start at O.
2
$A B = b$ — AB is opposite OC. Opposite sides of a parallelogram are equal and parallel, so AB is the same vector $b$ .
3
$O B = O A + A B$ — To get from O to B, go along OA, then along AB.
4
$= a + b$ — Put in $O A = a$ and $A B = b$ .
5
$A C = A O + O C$ — For the other diagonal, go from A back to O, then out to C.
6
$A O = - a$ — A to O goes against the arrow for OA, so it has a minus.
7
$A C = - a + b$ — Put in $A O = - a$ and $O C = b$ .
8
$= b - a$ — Write the positive term first. It is the same vector and easier to read.

Common mistake

Writing a − b for AC. Check the first step: from A to O goes against a, so it is −a.

3. Trapeziums: Parallel Sides Are Multiples

في شبه المنحرف يوجد ضلعان متوازيان لكن طولاهما مختلفان، لذلك يكون الأطول مضاعفًا للأقصر، أي عددًا مضروبًا في المتجه نفسه وبالاتجاه نفسه. اقرأ من السؤال كم مرة يكون الضلع أطول. ثم امشِ من بداية المتجه المطلوب إلى نهايته عبر أضلاع معروفة، وضع إشارة سالب لكل ضلع تمشي عكس سهمه. بعد التعويض اجمع الحدود المتشابهة معًا لتبسيط الناتج. الخطأ الشائع هو استخدام المتجه نفسه للضلع الأطول ونسيان أنه ضعفه.

In a trapezium, one pair of sides is parallel but the lengths differ. The longer one is a number times the shorter one.

Worked example

1
$O A B C : O A = a, O C = b$ — The trapezium is OABC. We are given the two sides that start at O.
2
$A B = 2 b$ — Given: AB is parallel to OC and twice as long, so it is 2 lots of $b$ , pointing the same way.
3
$C B = C O + O A + A B$ — From C to B, go back to O, along to A, then along to B. All three sides are known.
4
$C O = - b$ — C to O goes against the arrow for OC, so it has a minus.
5
$= - b + a + 2 b$ — Put in CO, OA and AB.
6
$= a + b$ — Collect the $b$ terms: $- 1 + 2 = 1$ , so one $b$ .

Common mistake

Using b for AB. The side is parallel to OC but twice as long, so it is 2b.

4. Regular Hexagons

سؤال الدرجات الأربع يستخدم السداسي المنتظم، وهو شكل أضلاعه متساوية وزواياه متساوية. حقيقتان تقومان بمعظم العمل: الضلعان المتقابلان متوازيان ومتساويان لكن اتجاههما متعاكس، فيكون أحدهما سالب الآخر؛ والقطر الطويل يوازي ضلعين ويساوي ضعف طول كل منهما. لإيجاد متجه، امشِ على القطر الطويل أولًا ثم على ضلع، واجمع، وتذكّر أن جمع متجه سالب هو نفسه طرحه. يمكنك الدوران حول الأضلاع واحدًا واحدًا، وهذا صحيح، لكن القطر الطويل أسرع وأخطاؤه في الإشارات أقل.

The 4-mark question uses a regular hexagon. Two facts do most of the work.

Fact	Vector
Opposite sides are parallel	DE is the reverse of AB
A long diagonal is parallel to two sides	twice as long as each of them

Worked example

1
$A B C D E F : A B = a, B C = b$ — A regular hexagon has equal sides and equal angles. We are given two sides that follow each other.
2
$A D = 2 b$ — AD is a long diagonal. It is parallel to BC and twice as long.
3
$D E = - a$ — DE is the side opposite AB. It is equal and parallel, but points the other way, so it has a minus.
4
$A E = A D + D E$ — To get from A to E, go along the long diagonal to D, then along DE.
5
$= 2 b + (- a)$ — Put in $A D = 2 b$ and $D E = - a$ .
6
$= 2 b - a$ — Adding $- a$ is the same as taking away $a$ .

Common mistake

Going round the edge one side at a time. It works, but the long diagonal is much quicker and has fewer signs to get wrong.

5. A Point Part of the Way Along a Side

عندما تقسم نقطة ضلعًا بنسبة معينة، حوّل النسبة أولًا إلى كسر من الضلع كله. ابدأ بإيجاد متجه الضلع كاملًا بالمشي عبر نقطة الأصل، مع إشارة سالب لكل جزء تمشيه عكس السهم. ثم اجمع حدّي النسبة لتعرف عدد الأجزاء المتساوية، فيكون الجزء المطلوب كسرًا بسطه حدّ النسبة الأول ومقامه مجموع الحدين. اضرب هذا الكسر في متجه الضلع، ثم امشِ من نقطة الأصل إلى بداية الضلع وأضف هذا الجزء، وفكّ القوس واجمع الحدود المتشابهة. إذا كان أمام الحروف أعداد فاحتفظ بكل عدد مع حرفه. الخطأ الشائع: النسبة واحد إلى ثلاثة تعني ربع الضلع وليس ثلثه، لأن الأجزاء أربعة. ونقطة المنتصف هي نسبة واحد إلى واحد، أي نصف الضلع.

When a point splits a side in a ratio, turn the ratio into a fraction of the whole side first.

Worked example

1
$O A = a, O B = b, A M : M B = 1 : 3$ — What we are given. M splits AB in the ratio 1 : 3.
2
$A B = A O + O B$ — First find the whole side. Go from A back to O, then out to B.
3
$= - a + b$ — A to O goes against OA, so it is $- a$ . O to B is $b$ .
4
$1 + 3 = 4 parts$ — Add the ratio numbers to find how many equal parts AB has.
5
$A M = \frac{1}{4} (b - a)$ — AM is 1 part out of 4, so it is one quarter of AB.
6
$O M = O A + A M$ — To get from O to M, go along OA, then along AM.
7
$= a + \frac{1}{4} (b - a)$ — Put in $O A = a$ and the AM we just found.
8
$= a + \frac{1}{4} b - \frac{1}{4} a$ — Multiply out the bracket.
9
$= \frac{3}{4} a + \frac{1}{4} b$ — Collect the $a$ terms: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .

Now with numbers in front of the letters, and a ratio that does not start with 1.

Worked example

1
$O A = 5 a, O B = 2 b, A X : X B = 3 : 2$ — Keep each number with its letter. X splits AB in the ratio 3 : 2.
2
$A B = - 5 a + 2 b$ — A back to O is $- 5 a$ , then O to B is $2 b$ .
3
$3 + 2 = 5 parts$ — Add the ratio numbers to find the total number of parts.
4
$A X = \frac{3}{5} (- 5 a + 2 b)$ — AX is 3 parts out of 5, so it is three fifths of AB.
5
$= - 3 a + \frac{6}{5} b$ — Multiply out: $\frac{3}{5} \times (- 5) = - 3$ and $\frac{3}{5} \times 2 = \frac{6}{5}$ .
6
$O X = O A + A X$ — To get from O to X, go along OA, then along AX.
7
$= 5 a - 3 a + \frac{6}{5} b$ — Put in $O A = 5 a$ and the AX we just found.
8
$= 2 a + \frac{6}{5} b$ — Collect the $a$ terms: $5 - 3 = 2$ .

Common mistake

Using one third for a ratio of 1 : 3. There are 4 parts in total, so AM is one quarter of AB.

Key idea

A midpoint is the ratio $1 : 1$ . Take half of the side: $A M = \frac{1}{2} (b - a)$ , so $O M = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$ .

6. Which Method? Read the Question

انظر إلى الشكل وإلى ما يخبرك به عن الأضلاع لتختار الطريقة. في متوازي الأضلاع: الضلعان المتقابلان هما المتجه نفسه. في شبه المنحرف حيث ضلع يساوي عددًا من المرات ضلعًا آخر: اضرب المتجه في ذلك العدد. في السداسي المنتظم: استخدم القطر الطويل. نقطة تقسم ضلعًا بنسبة: حوّل النسبة إلى كسر. أما تقاطع خطين وإيجاد نسبة، أو إثبات التوازي أو وقوع النقاط على خط مستقيم، فلها دروس خاصة. واكتب كل إجابة في أبسط صورة: اجمع حدود المتجه الأول معًا ثم حدود المتجه الثاني.

Look at the shape and what it tells you about the sides.

You see	You do
Parallelogram	opposite sides are the same vector
Trapezium, one side k times another	use k times the vector
Regular hexagon	use the long diagonal
A point in a ratio on a side	turn the ratio into a fraction
Two lines cross, find a ratio	Vector Geometry
Prove parallel or a straight line	Vector Proofs

Key idea

Write every answer in its simplest form: collect the a terms, then the b terms.

تدرّب على التعبير عن المتجهات بدلالة a و b

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح التعبير عن المتجهات بدلالة a و b

1. Routes Through a Shape

2. Parallelograms: Opposite Sides Match

3. Trapeziums: Parallel Sides Are Multiples

4. Regular Hexagons

5. A Point Part of the Way Along a Side

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على التعبير عن المتجهات بدلالة a و b

أسئلة امتحانات سابقة على التعبير عن المتجهات بدلالة a و b، محلولة ومشروحة بالعربي