شرح معامل الحجم للأشكال المتشابهة

Volume Factor of Similar Shapes

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Three Scale Factors

المجسمات المتشابهة لها الشكل نفسه، وكل طول فيها يُضرب في العدد نفسه، وهو معامل الأطوال. المساحات تكبر أسرع من الأطوال، والحجوم تكبر أسرع من المساحات. الأطوال مثل الارتفاع ونصف القطر تُضرب في المعامل، والمساحات السطحية تُضرب في مربع المعامل، والحجوم والسعة والكتلة تُضرب في مكعب المعامل. القاعدة: أوجد معامل الأطوال أولًا دائمًا، ثم ربّعه للمساحة أو كعّبه للحجم.

Similar solids have the same shape, and every length is multiplied by the same number, $k$ .

Areas grow faster than lengths, and volumes grow faster again.

What you compare	Multiply by
Lengths (height, radius)	$k$
Areas (surface area)	$k^{2}$
Volumes (capacity, mass)	$k^{3}$

Rule

Always find the length factor $k$ first. Then square it for area, or cube it for volume.

2. Volume From Two Lengths

في هذا السؤال تُعطى طولين متناظرين وحجم المجسم الصغير، والمطلوب حجم الكبير. أولًا اقسم الارتفاع الكبير على الصغير لتحصل على معامل الأطوال. ثانيًا كعّب المعامل، أي اضربه في نفسه ثلاث مرات، لأن الحجم يكبر في ثلاثة اتجاهات؛ فتحصل على معامل الحجم. ثالثًا اضرب حجم المجسم الصغير في معامل الحجم. الخطأ الشائع هو الضرب في معامل الأطوال نفسه، وهذا يصلح للأطوال فقط.

The 2-mark question gives two matching lengths and one volume. Two similar jars are 6 cm and 9 cm tall. The small one holds 160 cm³.

Worked example

1
$k = \frac{9}{6} = 1.5$ — The two heights are lengths, so they give the length factor $k$ : big height over small height. 9 ÷ 6 = 1.5.
2
$k^{3} = 1.5^{3} = 3.375$ — Volume grows by $k$ cubed, because it grows in three directions. 1.5 × 1.5 × 1.5 = 3.375.
3
$160 \times 3.375 = 540 cm^{3}$ — Multiply the small jar's volume by the volume factor to get the big jar's volume.

Common mistake

Multiplying 160 by 1.5. That only works for a length. A volume uses $k^{3}$ .

3. From Areas to Volumes

هنا تُعطى مساحتين سطحيتين وحجمًا واحدًا، فلا بد أن ترجع أولًا إلى معامل الأطوال. أولًا اقسم المساحة الكبيرة على الصغيرة لتحصل على معامل المساحة. ثانيًا خذ الجذر التربيعي لتحصل على معامل الأطوال. ثالثًا كعّب معامل الأطوال لتحصل على معامل الحجم. رابعًا اضرب الحجم الصغير في معامل الحجم. الخطأ الشائع هو ضرب الحجم في معامل المساحة مباشرة؛ المساحة والحجم لا يستخدمان المعامل نفسه أبدًا. وفي الاتجاه المعاكس: من نسبة الحجوم خذ الجذر التكعيبي ثم ربّع لتحصل على معامل المساحة.

The 3-mark question gives two surface areas and one volume. Go back to the length factor first.

Surface areas 75 cm² and 108 cm². The small solid has volume 250 cm³.

Worked example

1
$\frac{108}{75} = 1.44$ — Big surface area over small surface area gives the area factor. 108 ÷ 75 = 1.44.
2
$k = 1.44 = 1.2$ — The area factor is $k^{2}$ , so undo the square with a square root to get the length factor. 1.2 × 1.2 = 1.44.
3
$k^{3} = 1.2^{3} = 1.728$ — Now we need volume, which uses $k^{3}$ . 1.2 × 1.2 × 1.2 = 1.728.
4
$250 \times 1.728 = 432 cm^{3}$ — Multiply the small solid's volume by the volume factor to get the big solid's volume.

Common mistake

Multiplying the volume by the area factor 1.44. Areas and volumes never use the same factor.

Key idea

The other way round: volumes 128 and 250 give $\frac{250}{128} = 1.953125$ . Cube root gives 1.25, then square it: area factor 1.5625.

4. Volumes to a Length

عندما تُعطى حجمين وارتفاعًا والمطلوب الارتفاع الآخر، نسير بالعكس فنستخدم الجذر التكعيبي. أولًا اقسم الحجم الكبير على الصغير لتحصل على معامل الحجم، ويُفضّل تبسيط الكسر ليخرج الجذر دقيقًا. ثانيًا خذ الجذر التكعيبي فتحصل على معامل الأطوال. ثالثًا اضرب الارتفاع الصغير في معامل الأطوال، لا في معامل الحجم. وتحقق بتكعيب نسبة الارتفاعين لترجع إلى معامل الحجم. الكتلة تعامل معاملة الحجم إذا كانت المادة نفسها، فنضربها في مكعب المعامل ثم نحوّل الجرامات إلى كيلوجرامات. والنسب تتبع القاعدة نفسها: ربّع للمساحات وكعّب للحجوم، واعرض كل خطوة لأن لكل منها درجة.

The 3-mark question often gives two volumes and one height, and asks for the other height. The cube works backwards here, so you use a cube root.

Formula

\frac{big length}{small length} = k = 3 \frac{big volume}{small volume}

Here $k$ is the length factor. Work out the volume factor first, then take its cube root, then multiply the small height by $k$ .

Worked example

1
$\frac{250}{54} = \frac{125}{27}$ — Big volume over small volume gives the volume factor. Divide the top and bottom by 2 so the cube roots come out exactly.
2
$k = 3 \frac{125}{27} = \frac{5}{3}$ — The volume factor is $k^{3}$ , so undo the cube with a cube root: $3125 = 5$ and $327 = 3$ .
3
$6 \times \frac{5}{3} = 10 cm$ — A height is a length, so multiply it by $k$ , not by the volume factor. The small jar is 6 cm tall.
4
$(\frac{10}{6})^{3} = \frac{1000}{216} = \frac{125}{27}$ — Check: cube the ratio of the heights and you should get the volume factor back. It does.

Common mistake

Multiplying the height by the volume factor. Only volumes use the cube. A height uses $k$ .

Mass works the same way, because the objects are made of the same material.

Worked example

1
$k = \frac{20}{8} = 2.5$ — A model is 8 cm tall and has mass 400 g. The statue is 20 cm tall. The heights give $k$ .
2
$k^{3} = 2. 5^{3} = 15.625$ — Same material, so mass grows with volume, which uses $k^{3}$ . 2.5 × 2.5 × 2.5 = 15.625.
3
$400 \times 15.625 = 6250 g$ — Multiply the model's mass by the volume factor.
4
$6250 g = 6.25 kg$ — Divide by 1000 to change grams into kilograms.

Key idea

Ratios follow the same rules. Lengths in the ratio 2 : 3 give areas 4 : 9 and volumes 8 : 27. Going back, volumes 8 : 27 give lengths 2 : 3. Show every line: the volume factor and the cube root each earn their own mark.

5. When You Know the Difference

في هذا السؤال يُعطى الفرق بين الحجمين لا أحدهما. أولًا أوجد معامل الأطوال من الارتفاعين ثم كعّبه لتحصل على معامل الحجم. سمِّ الحجم الصغير مجهولًا؛ عندئذٍ الحجم الكبير هو معامل الحجم من «الحصص» من هذا المجهول. اطرح الصغير من الكبير واجعل الناتج يساوي الفرق المعطى، فيبقى عدد حصص أقل بواحد من معامل الحجم. ثم اقسم الفرق على عدد الحصص الباقية لتجد الحجم الصغير، وتحقق بحساب الكبير والطرح. الخطأ الشائع هو القسمة على معامل الحجم نفسه ونسيان طرح حصة الحجم الصغير.

The 4-mark question gives the difference between the two volumes, not either volume. Call the small volume $V$ .

Heights 8 cm and 12 cm. The big volume is 1330 cm³ more than the small one.

Worked example

1
$k = \frac{12}{8} = 1.5$ — The heights give the length factor: big over small. 12 ÷ 8 = 1.5.
2
$k^{3} = 1.5^{3} = 3.375$ — Volume uses $k^{3}$ . 1.5 × 1.5 × 1.5 = 3.375, so the big volume is 3.375 lots of $V$ .
3
$3.375 V - V = 1330$ — The big volume minus the small volume is the difference we were told.
4
$2.375 V = 1330$ — 3.375 lots of $V$ take away 1 lot of $V$ leaves 2.375 lots.
5
$V = 1330 \div 2.375 = 560 cm^{3}$ — Divide both sides by 2.375 to get the small volume.
6
$560 \times 3.375 = 1890 cm^{3}$ — Check: the big volume is the small volume times the volume factor.
7
$1890 - 560 = 1330$ — The difference matches the question, so 560 is right.

Common mistake

Dividing 1330 by 3.375. The difference is 2.375 lots of the small volume, not 3.375.

6. Percentages and Chains

قد يعطيك السؤال الزيادة في الحجم نسبةً مئوية. أولًا أضف الزيادة إلى المئة في المئة الأصلية، ثم اقسم على مئة لتحصل على معامل الحجم. ثانيًا خذ الجذر التكعيبي لتحصل على معامل الأطوال. ثالثًا ربّعه لتحصل على معامل المساحة، ثم اضرب في مئة لتكتبه نسبة مئوية، واطرح المئة في المئة الأصلية لتعرف مقدار الزيادة في المساحة. الخطأ الشائع هو القول إن المساحة زادت بنسبة زيادة الحجم نفسها؛ لكل كمية معاملها الخاص. وإذا كانت هناك ثلاثة مجسمات متتالية فأوجد معامل الأطوال لكل زوج ثم اضرب المعاملين.

The 4-mark question can give a percentage. "72.8% more volume" means the volume factor is 1.728.

Worked example

1
$100% + 72.8% = 172.8% = 1.728$ — “72.8% more” means the original 100% plus 72.8% extra. Divide by 100 to turn the percentage into the volume factor.
2
$k = 3 1.728 = 1.2$ — The volume factor is $k^{3}$ , so undo the cube with a cube root. 1.2 × 1.2 × 1.2 = 1.728.
3
$k^{2} = 1.2^{2} = 1.44$ — Surface area uses $k^{2}$ . 1.2 × 1.2 = 1.44.
4
$1.44 = 144%$ — Multiply by 100 to turn the area factor back into a percentage.
5
$144% - 100% = 44% more$ — Take away the original 100% to see how much extra there is. The surface area is 44% more.

Common mistake

Saying the area is also 72.8% more. Each quantity has its own factor.

Key idea

Three solids in a chain? Find $k$ for each pair, then multiply the two length factors.

7. Which Method? Read the Question

لاختيار الطريقة انظر إلى المعطى: أطوال أم مساحات أم حجوم. إذا أُعطيت طولين وطُلب حجم فكعّب النسبة. إذا أُعطيت مساحتين فخذ الجذر التربيعي ثم كعّب. إذا أُعطيت حجمين وطُلبت مساحة فخذ الجذر التكعيبي ثم ربّع، وإذا طُلب طول فخذ الجذر التكعيبي لمعامل الحجم فقط. إذا أُعطي مجموع أو فرق فسمِّ الحجم الصغير مجهولًا، وإذا أُعطيت نسبة مئوية فحوّلها إلى معامل أولًا. أما المخروط المقطوع أو المساحات وحدها فلها دروس أخرى. وتذكّر أن الكتلة والسعة تعاملان معاملة الحجم فتستخدمان مكعب المعامل.

Look at what you are given: lengths, areas or volumes.

You see	You do
Two lengths	cube the ratio
Two areas	square root, then cube
Two volumes, find an area	cube root, then square
Two volumes, find a length	cube root of the volume factor
A sum or difference	call the small one V
A percentage more or less	turn it into a factor first
A cone cut off the top	Frustum of a Cone
Areas only	Area Factor of Similar Shapes

Key idea

Mass and capacity behave like volume: they also use $k^{3}$ .

تدرّب على معامل الحجم للأشكال المتشابهة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح معامل الحجم للأشكال المتشابهة

1. Three Scale Factors

2. Volume From Two Lengths

3. From Areas to Volumes

4. Volumes to a Length

5. When You Know the Difference

6. Percentages and Chains

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على معامل الحجم للأشكال المتشابهة

أسئلة امتحانات سابقة على معامل الحجم للأشكال المتشابهة، محلولة ومشروحة بالعربي