شرح حجم المنشور

Volume of a Prism

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Volume Is Area Times Length

المنشور له الشكل نفسه على طوله كله، مثل رغيف الخبز، وهذا الشكل يسمى المقطع العرضي. حجم المنشور هو مساحة المقطع العرضي في الطول. في المثال: احسب مساحة الوجه الطرفي أولًا، وهو هنا مستطيل، فتحصل على مساحة بوحدات مربعة. ثم تخيّل المنشور شرائح سُمك كل منها سنتيمتر واحد، كل شريحة تحمل هذه المساحة، فاضرب في الطول. السنتيمتر المربع في السنتيمتر يعطي سنتيمترًا مكعبًا. وشبه المكعب منشور أيضًا: الطول في العرض في الارتفاع.

A prism has the same shape all the way through, like a loaf of bread. That shape is the cross-section.

Formula

V = area of cross-section \times length

Worked example

1
$A = 8 \times 5$ — The end face is a rectangle 8 cm by 5 cm. A rectangle's area is length times width.
2
$A = 40 cm^{2}$ — 8 × 5 = 40. Area is in square units, cm².
3
$V = 40 \times 3$ — The prism is 3 cm long. Each 1 cm slice holds 40 cm³, and there are 3 slices, so multiply.
4
$V = 120 cm^{3}$ — 40 × 3 = 120. cm² × cm gives cm³, so volume is in cubic units.

Rule

A cuboid is a prism: $V = l \times w \times h$ . Volume is in cubic units, like $cm^{3}$ .

2. How Many Boxes Fit?

السؤال الأشهر: كم صندوقًا صغيرًا يتسع له صندوق كبير؟ اقسم كل بُعد من أبعاد الصندوق الكبير على حرف الصندوق الصغير، وقرّب كل ناتج إلى الأسفل لأن الصناديق الكاملة فقط تدخل، ثم اضرب الأعداد الثلاثة. وإذا سُئلت عن الفراغ الباقي فاحسب حجم الصندوق الكبير، وحجم الصندوق الصغير، واضربه في عدد الصناديق، ثم اطرح. الخطأ الشائع: قسمة الحجمين مباشرة، فهذا يحسب أجزاء صناديق؛ قسمة الحجوم تنجح فقط إذا انقسم كل بُعد تمامًا.

The most common question: how many small boxes fit in a crate? Divide each edge, round down, then multiply.

A crate is 50 cm by 40 cm by 30 cm. Boxes are cubes of edge 8 cm.

Worked example

1
$50 \div 8 = 6.25 \to 6$ — Count along the length. Only whole boxes fit, so round down. A 7th box would stick out.
2
$40 \div 8 = 5$ — Count across the width. 5 boxes fit exactly.
3
$30 \div 8 = 3.75 \to 3$ — Count up the height. Round down again: a 4th layer would not fit under the lid.
4
$6 \times 5 \times 3 = 90 boxes$ — Boxes along × across × up gives the total, just like length × width × height.
5
$50 \times 40 \times 30 = 60000 cm^{3}$ — Some questions also ask for the empty space. First find the crate's volume.
6
$8^{3} = 512 cm^{3}$ — One box is a cube, so its volume is 8 × 8 × 8 = 512.
7
$90 \times 512 = 46080 cm^{3}$ — All 90 boxes together take up 46 080 cm³.
8
$60000 - 46080 = 13920 cm^{3}$ — Crate minus boxes leaves the empty space.

Common mistake

Dividing the two volumes: $60000 \div 512 = 117.2$ . That counts parts of boxes. Divide each edge and round down instead. Dividing volumes only works when every edge divides exactly.

3. Cylinder: A Round Prism

الأسطوانة منشور مقطعه دائرة، فمساحة المقطع باي في مربع نصف القطر، والحجم هذه المساحة في الارتفاع. أولًا حدّد نصف القطر والارتفاع، وإذا أُعطيت القطر فاقسمه على اثنين. ثانيًا احسب مساحة الدائرة واترك باي حتى لا تقرّب مبكرًا. ثالثًا اضرب في الارتفاع؛ إذا طُلب الجواب بدلالة باي فتوقف، وإلا فاحسب وقرّب. وفي الاتجاه العكسي، إذا أُعطي الحجم وطُلب الارتفاع: عوّض، واحسب مساحة الدائرة، ثم اقسم الحجم عليها. الخطأ الشائع: تربيع القطر بدل نصف القطر.

The 2 and 3-mark questions: the cross-section is a circle, so its area is $π r^{2}$ .

Formula

V = π r^{2} h

$r$ is the radius of the circle end, $h$ is the height (or length) of the cylinder.

Worked example

1
$r = 4.5, h = 12$ — Read off the radius and the height. If you are given the diameter, halve it first.
2
$A = π \times 4.5^{2} = 20.25 π$ — The end is a circle, area πr². 4.5 × 4.5 = 20.25. Keep the π for now so nothing is rounded too early.
3
$V = 20.25 π \times 12 = 243 π$ — Multiply the end area by the height. 20.25 × 12 = 243. If the question says “in terms of π”, stop here.
4
$V = 763 cm^{3}$ — 243π = 763.40…, which is 763 to 3 significant figures.

Now backwards: a cylinder of radius 7 cm holds 1000 cm³. Find its height.

Worked example

1
$π \times 7^{2} \times h = 1000$ — Put r = 7 and V = 1000 into $V = π r^{2} h$ .
2
$49 π \times h = 1000$ — 7² = 49, so the end area is 49π, about 153.9.
3
$h = 1000 \div 49 π$ — h is multiplied by 49π, so divide both sides by 49π to undo it.
4
$h = 6.50 cm$ — 1000 ÷ 153.93… = 6.496…, which is 6.50 to 3 s.f.

Common mistake

Squaring the diameter. If you are given the diameter, halve it first.

4. Working Back: Find a Length

كثير من الأسئلة يعطي الحجم ويطلب طولًا. عوّض بما تعرفه في القانون، ثم فكّه خطوة خطوة بالعمليات العكسية. في المثال الأول القاعدة مربعة، فضلعها المجهول مضروب في نفسه ثم في الارتفاع: اقسم على الارتفاع، ثم خذ الجذر التربيعي الموجب. في المثال الثاني أسطوانة: عوّض الارتفاع والحجم، واجمع الأعداد مع باي في عدد واحد، ثم اقسم عليه، واحتفظ بكل الأرقام، ثم خذ الجذر التربيعي لتجد نصف القطر. وفي المكعب كل الأحرف متساوية، فخذ الجذر التكعيبي للحجم لتجد طول الحرف. الخطأ الشائع: التوقف عند مربع نصف القطر ونسيان أخذ الجذر.

Many questions give the volume and ask for a length. Put what you know into the formula, then undo it one step at a time.

A cuboid has a square base and height 12 cm. Its volume is 432 cm³. Find the side of the base.

Worked example

1
$x \times x \times 12 = 432$ — The base is a square, so each side is x. Volume = length × width × height.
2
$x^{2} \times 12 = 432$ — x × x is written x².
3
$x^{2} = 432 \div 12 = 36$ — x² is multiplied by 12, so divide both sides by 12 to undo it.
4
$x = 36 = 6 cm$ — x is squared, so square root to undo it. A length cannot be negative, so ignore −6.

A cylinder is 15 cm high and holds 850 cm³. Find its radius.

Worked example

1
$π \times r^{2} \times 15 = 850$ — Put h = 15 and V = 850 into $V = π r^{2} h$ .
2
$15 π \times r^{2} = 850$ — Join the numbers: π × 15 is 15π, about 47.12.
3
$r^{2} = 850 \div 15 π = 18.04 \dots$ — Divide both sides by 15π to leave r² alone. Keep every digit on your calculator.
4
$r = 18.04 \dots = 4.25 cm$ — Square root undoes the square. 4.247… is 4.25 to 3 s.f.

Key idea

A cube has every edge the same, so $V = a^{3}$ . To find the edge, cube root: a cube of volume 343 cm³ has edge $3343 = 7$ cm.

Common mistake

Stopping at r² = 18.04. That is r squared, not r. Square root it to get the radius.

5. Triangle and Trapezium Ends

في هذه الأسئلة احسب مساحة الوجه الطرفي أولًا، ثم اضربها في طول المنشور. إذا كان الطرف مثلثًا فمساحته نصف القاعدة في الارتفاع. وإذا كان شبه منحرف فاجمع الضلعين المتوازيين، وخذ النصف، واضرب في المسافة بينهما. وفي الاتجاه العكسي، إذا أُعطي الحجم: احسب مساحة الطرف، ثم اكتب أن المساحة في الطول المجهول تساوي الحجم، واقسم الحجم على المساحة. الخطأ الشائع: ضرب كل الأعداد المكتوبة على الرسم؛ فقط مساحة الطرف والطول يُضربان معًا. وإذا كان الطرف مثلثًا متساوي الساقين معطاة أضلاعه فقط، فأوجد ارتفاعه بنظرية فيثاغورس أولًا.

The 3 to 5-mark questions: find the area of the end shape first, then times by the length.

Worked example

1
$A = \frac{1}{2} \times 6 \times 5$ — The end is a triangle with base 6 cm and height 5 cm. Triangle area is half of base × height.
2
$A = 15 cm^{2}$ — 6 × 5 = 30, and half of 30 is 15.
3
$V = 15 \times 14 = 210 cm^{3}$ — Multiply the end area by the length of the prism, 14 cm.

Backwards: a prism has a trapezium end with parallel sides 5 cm and 9 cm, 4 cm apart. Its volume is 630 cm³. Find its length.

Worked example

1
$A = \frac{1}{2} (5 + 9) \times 4$ — The end is a trapezium. Add the parallel sides, halve, then times by the gap between them.
2
$A = \frac{1}{2} \times 14 \times 4 = 28$ — 5 + 9 = 14. Half of 14 is 7, and 7 × 4 = 28 cm².
3
$28 \times L = 630$ — Volume = end area × length. The volume is 630, so call the length L.
4
$L = 630 \div 28 = 22.5 cm$ — L is multiplied by 28, so divide by 28 to undo it.

Common mistake

Multiplying all the numbers on the diagram. Only the end area and the length go together.

Key idea

An isosceles triangle end with only its sides given? Find its height with Pythagoras first. The lesson Area of a Triangle shows how.

6. Half a Cylinder

بعض المناشير طرفها نصف دائرة، مثل النفق أو حوض الماء. نصف الدائرة له نصف المساحة، فخذ نصف باي في مربع نصف القطر، ثم اضرب في طول المنشور. الضلع المستقيم لنصف الدائرة هو القطر، فاقسمه على اثنين أولًا لتحصل على نصف القطر. ثم ربّعه واضرب في باي وخذ النصف، ثم اضرب في الطول. اترك باي حتى النهاية ثم احسب وقرّب إلى ثلاثة أرقام معنوية. الخطأ الشائع: نسيان النصف، فيخرج حجم أسطوانة كاملة، أي ضعف الجواب.

Some prisms have a semicircle for an end, like a tunnel or a water trough. Half a circle has half the area, so take half of $π r^{2}$ .

Formula

V = \frac{1}{2} π r^{2} l

$r$ is the radius of the semicircle (half its straight edge), and $l$ is the length of the prism.

A trough has a semicircle end with straight edge 10 cm. It is 30 cm long. Find its volume.

Worked example

1
$r = 10 \div 2 = 5$ — The straight edge is the diameter. Halve it to get the radius.
2
$A = \frac{1}{2} \times π \times 5^{2}$ — The end is half a circle, so its area is half of πr².
3
$A = 12.5 π cm^{2}$ — 5² = 25, and half of 25 is 12.5.
4
$V = 12.5 π \times 30 = 375 π$ — Multiply the end area by the length, 30 cm. 12.5 × 30 = 375.
5
$V = 1180 cm^{3}$ — 375π = 1178.09…, which is 1180 to 3 s.f.

Common mistake

Forgetting the ½. A whole cylinder this size would hold 750π, twice as much.

7. Litres and Filling Time

سؤال الأربع درجات يملأ خزانًا أو حوض سباحة. الخطوات: احسب الحجم بالسنتيمتر المكعب، ثم حوّله إلى لترات، فاللتر ألف سنتيمتر مكعب، أي اقسم على ألف. ثم اقسم عدد اللترات على معدل التدفق، أي اللترات في الدقيقة، لتعرف كم دقيقة يحتاج. الخطأ الشائع: استخدام ارتفاع الخزان كله عندما يُملأ إلى عمق محدد فقط؛ استخدم عمق الماء ارتفاعًا. وتذكّر أن المتر المكعب يحمل ألف لتر.

The 4-mark question fills a tank or pool. Find the volume, change it to litres, then share by the rate.

A tank is 60 cm by 30 cm by 40 cm. A tap fills it at 4 litres a minute. How long does it take?

Worked example

1
$V = 60 \times 30 \times 40$ — The tank is a cuboid, so volume = length × width × height, all in cm.
2
$V = 72000 cm^{3}$ — 60 × 30 = 1800, and 1800 × 40 = 72 000.
3
$72000 \div 1000 = 72 litres$ — 1 litre is 1000 cm³, so divide by 1000 to change cm³ into litres.
4
$72 \div 4 = 18 minutes$ — The tap gives 4 litres every minute. Dividing by 4 counts how many minutes it needs.

Common mistake

Using the tank's full height when it is filled only to a set depth. Use the water's depth as the height.

Key idea

One cubic metre holds 1000 litres. For other unit changes, see Area and Volume Conversions.

8. Same Volume, New Shape

إذا صببت الماء في وعاء مختلف فحجمه لا يتغير. ساوِ الحجمين ثم أوجد الطول الناقص. في المثال الأول احسب حجم الماء في الصندوق، ثم اكتب حجمه في الأسطوانة بقانونها والعمق مجهول، واحسب مساحة الدائرة، ثم اقسم الحجم عليها لتجد العمق. في المثال الثاني يغوص مكعب معدني في الماء فيزيح حجمًا من الماء يساوي حجمه، وهذا الماء الإضافي أسطوانة رقيقة فوق الماء؛ ساوِ حجمها بحجم المكعب واقسم على مساحة الدائرة لتجد مقدار الارتفاع. وإذا أُخرج الجسم ينخفض الماء بالمقدار نفسه.

Pour water into a different container, and its volume does not change. Set the two volumes equal, then find the missing length.

A box 20 cm by 15 cm by 10 cm is full of water. It is poured into a cylinder of radius 8 cm. How deep is the water?

Worked example

1
$20 \times 15 \times 10 = 3000 cm^{3}$ — Volume of the water in the box: length × width × height.
2
$π \times 8^{2} \times h = 3000$ — In the cylinder the same 3000 cm³ fills a circle of radius 8 up to a depth h.
3
$64 π \times h = 3000$ — 8² = 64, so the end area is 64π, about 201.1.
4
$h = 3000 \div 64 π = 14.9 cm$ — Divide by 64π to undo it. 14.92… is 14.9 to 3 s.f.

A metal cube of edge 5 cm sinks into a cylinder of water of radius 6 cm. How far does the water rise?

Worked example

1
$5^{3} = 125 cm^{3}$ — The cube pushes up its own volume of water: 5 × 5 × 5 = 125.
2
$π \times 6^{2} \times d = 125$ — That extra water is a thin cylinder of radius 6 on top. Call its depth d.
3
$36 π \times d = 125$ — 6² = 36, so the end area is 36π, about 113.1.
4
$d = 125 \div 36 π = 1.11 cm$ — Divide by 36π. 1.105… is 1.11 to 3 s.f., so the water rises 1.11 cm.

Key idea

Taking the object out works the same way: the water falls by the same amount.

9. Which Method? Read the Question

حدّد المقطع العرضي أولًا، فهو يخبرك أي مساحة تستخدم. كم صندوقًا يتسع: اقسم كل بُعد وقرّب إلى الأسفل. الأسطوانة: باي في مربع نصف القطر في الارتفاع. الطرف مثلث أو شبه منحرف: مساحة الطرف في الطول. نصف الأسطوانة: نصف ذلك. الحجم معطى والطول مطلوب: عوّض في القانون ثم فكّه. اللترات والملء والتفريغ: الحجم ثم القسمة على ألف. الصب في شكل آخر أو غوص جسم: الحجمان متساويان. أما الصهر وإعادة التشكيل إلى كرات أو مخاريط، والطلاء والتغطية، فلها دروس خاصة. واكتب كل سطر: مساحة الطرف أولًا ثم الحجم، فمعظم الدرجات على الخطوات.

Find the cross-section first. That tells you which area to use.

You see	You do
How many boxes fit	divide each edge, round down
Cylinder	$π r^{2} h$
Triangle or trapezium end	end area times length
Half a cylinder	$\frac{1}{2} π r^{2} l$
Volume given, find a length	put it in the formula, then undo
Litres, fill, empty	volume, then divide by 1000
Poured into another shape, or an object sinks	the two volumes are equal
Melted and recast into spheres or cones	Equating Volumes: Melting and Recasting
Paint or cover	Surface Area of a Cuboid and Cylinder

Key idea

If the volume is given, put it in the formula and undo it to find the missing length.

Key idea

Show every line: the end area first, then the volume. Most of the marks are for the working, so a slip at the end still keeps most of them.

تدرّب على حجم المنشور

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح حجم المنشور

1. Volume Is Area Times Length

2. How Many Boxes Fit?

3. Cylinder: A Round Prism

4. Working Back: Find a Length

5. Triangle and Trapezium Ends

6. Half a Cylinder

7. Litres and Filling Time

8. Same Volume, New Shape

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على حجم المنشور

أسئلة امتحانات سابقة على حجم المنشور، محلولة ومشروحة بالعربي