شرح طول القوس

Arc Length

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. An Arc Is Part of the Edge

القوس جزء من محيط الدائرة. الزاوية عند المركز تخبرك بأي كسر من الدائرة يمثّله هذا القوس. لذلك نقسم الزاوية على ثلاثمئة وستين، ثم نضرب الناتج في المحيط كاملًا، أي اثنين في باي في نصف القطر. مثلًا الزاوية القائمة ربع الدورة الكاملة، فقوسها ربع المحيط.

An arc is a piece of the circumference. The angle at the centre tells you what fraction of the circle it is.

Formula

arc = \frac{x}{360} \times 2 π r

$x$ is the angle at the centre in degrees, $r$ is the radius. $2 π r$ is the whole way round.

Key idea

A 90° angle is a quarter of 360°, so its arc is a quarter of the circumference.

2. Arc Length: The 2-Mark Question

في سؤال الدرجتين يُعطى نصف القطر والزاوية. أولًا ضع الزاوية على ثلاثمئة وستين لتعرف الكسر من الدائرة. ثانيًا احسب المحيط كاملًا. ثالثًا خذ هذا الكسر من المحيط، فتحصل على الجواب الدقيق بدلالة باي. لا تضغط زر باي إلا في النهاية، وإذا طلب السؤال الجواب بدلالة باي فتوقف قبل ذلك. الخطأ الشائع: استخدام قانون المساحة بدل المحيط، والقوس طول لا مساحة. واكتب القانون مع أرقامك في سطر واحد، فهذا السطر يمنحك درجة على خطوات الحل حتى لو أخطأت في الآلة الحاسبة.

The 2-mark question gives the radius and the angle. Find the fraction, then take that much of $2 π r$ .

Worked example

1
$\frac{40}{360} = \frac{1}{9}$ — Put the angle over 360. 40 goes into 360 nine times, so the arc is a ninth of the circle.
2
$2 π \times 9 = 18 π$ — The whole circumference is $2 π r$ . With r = 9 that is 18π.
3
$\frac{1}{9} \times 18 π = 2 π$ — Take a ninth of the whole edge: 18 ÷ 9 = 2. This is the exact answer.
4
$2 π = 6.28 cm$ — Only now press π: 2 × 3.14159… = 6.283…, which is 6.28 cm to 3 s.f. If the question says “in terms of π”, stop at 2π.

Common mistake

Using $π r^{2}$ by habit. That is area. An arc is a length, so it comes from $2 π r$ .

Key idea

Write the formula with your numbers in it, like $\frac{40}{360} \times 2 π \times 9$ . That line earns a mark for working even if you slip on the calculator.

3. Perimeter of a Sector

محيط القطاع هو حدوده كلها: القوس ثم ضلعان مستقيمان، كل منهما نصف قطر. احسب القوس أولًا كالمعتاد، واحتفظ بكل الأرقام في الآلة الحاسبة لأن التقريب المبكر قد يفسد الجواب النهائي. ثم أضف نصفي القطر، وقرّب الناتج إلى ثلاثة أرقام معنوية في النهاية، والوحدة سنتيمتر لأنه طول. الخطأ الشائع: التوقف عند القوس ونسيان الضلعين المستقيمين.

The 3-mark question asks for the perimeter of the sector. Walk round it: along the arc, then back along two radii.

Worked example

1
$\frac{75}{360} \times 2 π \times 6.4$ — The arc first: the angle over 360, times the whole circumference.
2
$= 8.377...$ — Keep every digit in the calculator. Rounding now can push the final answer out.
3
$8.377... + 6.4 + 6.4$ — Add the two straight edges. Each one is a radius, 6.4 cm.
4
$= 21.2 cm$ — 21.177… is 21.2 cm to 3 s.f. A perimeter is a length, so the unit is cm.

Common mistake

Stopping at the arc, 8.38. The perimeter is the whole boundary, so both straight edges count.

4. Major Arcs: Use 360° − x

القوس الأكبر هو الطريق الطويل حول الدائرة. غالبًا يُظهر الرسم الزاوية الصغيرة فقط، فاطرحها أولًا من ثلاثمئة وستين، لأن الزوايا حول المركز مجموعها ثلاثمئة وستون درجة. ثم ضع الزاوية الكبيرة على ثلاثمئة وستين وبسّط الكسر، واضربه في المحيط كاملًا. يمكنك ترك الجواب بدلالة باي أو تحويله إلى عدد عشري. الخطأ الشائع: استخدام الزاوية المكتوبة على الرسم فتحصل على القوس الأصغر، فاقرأ جيدًا أي قوس يطلبه السؤال. ولمحيط القطاع الأكبر أضف نصفي القطر كالعادة.

Some questions ask for the major arc: the long way round. The diagram often shows only the small angle, so you find the big one first.

Formula

major arc = \frac{360 - x}{360} \times 2 π r

$x$ is the small angle at the centre, so $360 - x$ is the big angle. $r$ is the radius, and $2 π r$ is the whole way round.

Worked example

1
$360 - 100 = 260^{\circ}$ — The small angle is 100°. The angles round the centre add to 360°, so the big angle is 260°.
2
$\frac{260}{360} = \frac{13}{18}$ — Put the big angle over 360 and simplify: divide both by 20.
3
$2 π \times 9 = 18 π$ — The radius is 9 cm, so the whole circumference is 18π.
4
$\frac{13}{18} \times 18 π = 13 π$ — The 18s cancel. 13π cm is the answer “in terms of π”.
5
$13 π = 40.8 cm$ — Or as a decimal: 13 × 3.14159… = 40.84…, which is 40.8 cm to 3 s.f.

Common mistake

Using the 100° shown on the diagram. That gives the short arc. Check which arc the question wants.

Key idea

Perimeter of the major sector? Add the two radii as usual: $13 π + 9 + 9 = 58.8 cm$ .

5. Working Back to r or the Angle

أحيانًا يكون طول القوس معطى والمجهول هو نصف القطر أو الزاوية. عوّض بما تعرفه في القانون، ثم فكّ المعادلة خطوة خطوة: بسّط الطرف الأيسر، ثم اضرب الطرفين في ثلاثمئة وستين لتتخلص من الكسر، ثم اقسم لتعزل المجهول. في المثال الأول نجد نصف القطر ونحتفظ به كاملًا في الآلة الحاسبة، ثم نحسب مساحة الدائرة كلها؛ فتقريب نصف القطر مبكرًا يضيّع الدرجة. في المثال الثاني يُعطى محيط القطاع، فنطرح منه نصفي القطر أولًا لنحصل على القوس، ثم نحل لإيجاد الزاوية ونتحقق بالتعويض. الخطأ الشائع: اعتبار محيط القطاع كله هو القوس.

Sometimes the arc is given and the radius or the angle is missing. Put what you know into the formula, then undo it one step at a time.

1. Find the radius, then the area of the circle

Worked example

1
$\frac{50}{360} \times 2 π r = 7$ — The angle is 50° and the arc is 7 cm. Only r is unknown.
2
$\frac{100 π}{360} r = 7$ — Tidy the left side: 50 × 2π = 100π.
3
$100 π r = 2520$ — Multiply both sides by 360 to clear the fraction: 7 × 360 = 2520.
4
$r = \frac{2520}{100 π}$ — Divide both sides by 100π, so r is alone.
5
$r = 8.021...$ — Work it out, and keep the radius in your calculator.
6
$π \times 8.021...^{2} = 202 cm^{2}$ — The question asks for the area of the whole circle, so use $π r^{2}$ with the full radius.

Key idea

Rounding the radius to 8 first gives 201, which loses the mark.

2. Find the angle from the perimeter

Worked example

1
$30 - 9 - 9 = 12$ — A sector has perimeter 30 cm and radius 9 cm. Take off the two straight radii: the arc is 12 cm.
2
$\frac{x}{360} \times 2 π \times 9 = 12$ — Put the arc and the radius into the formula. Only the angle x is unknown.
3
$\frac{x}{360} \times 18 π = 12$ — Tidy: 2π × 9 = 18π.
4
$x = \frac{12 \times 360}{18 π}$ — Multiply both sides by 360, then divide both sides by 18π, so x is alone.
5
$x = 76. 4^{\circ}$ — 12 × 360 ÷ (18π) = 76.39…, so 76.4° to 3 s.f. Check: $\frac{76.39}{360} \times 18 π \approx 12$ .

Common mistake

Using the perimeter, 30, as the arc. Take the two radii off first.

6. Answers in Terms of π

في هذا السؤال الجبري يكون نصف القطر حرفًا لا عددًا. اكتب القوس مع إبقاء باي ونصف القطر كما هما: الزاوية القائمة ربع الدائرة، فالقوس ربع المحيط، أي نصف حاصل ضرب باي في نصف القطر. ثم أضف الضلعين المستقيمين، وكل منهما نصف قطر، واجمع الحدود المتشابهة. أخيرًا أخرج نصف القطر عاملًا مشتركًا، وتحقق بالضرب مرة أخرى. الخطأ الشائع: نسيان الضلعين المستقيمين لأن نصف القطر مكتوب بحرف.

The 3-mark algebra question: the radius is a letter. Write the arc with π left in, then factorise.

Worked example

1
$\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ — The angle is 90°, which is a quarter of 360°.
2
$\frac{1}{4} \times 2 π r = \frac{π r}{2}$ — Take a quarter of $2 π r$ : 2 ÷ 4 = ½. Leave π and r as they are. This is the arc.
3
$P = \frac{π r}{2} + r + r$ — Add the two straight sides. Each one is a radius, r.
4
$P = \frac{π r}{2} + 2 r$ — Collect the like terms: r + r = 2r.
5
$P = r (\frac{π}{2} + 2)$ — Both terms have an r, so take it out as a common factor. Expand back to check.

Common mistake

Forgetting the $2 r$ . The two straight sides are still there when the radius is a letter.

7. Minor and Major Arcs (Extended)

القوسان الأصغر والأكبر جزءان من المحيط نفسه، لذلك النسبة بينهما هي نفسها النسبة بين زاويتيهما. سمِّ الزاوية الصغرى المجهول، فتكون الكبرى ثلاثمئة وستين ناقص المجهول. اجعل نسبة الصغرى إلى الكبرى مساوية للكسر المعطى، ثم اضرب ضربًا تبادليًا للتخلص من الكسرين، ووزّع الضرب على ما بين القوسين، واجمع حدود المجهول في طرف واحد، ثم اقسم. تحقق بقسمة الزاوية الصغرى على الكبرى. الخطأ الشائع: وضع الزاوية الصغرى على ثلاثمئة وستين، فهذا يقارن القوس الأصغر بالدائرة كلها لا بالقوس الأكبر.

Some questions compare the minor arc with the major arc and ask for the angle. The arcs are in the same ratio as their angles, because both are a fraction of the same circumference.

Worked example

1
$\frac{x}{360 - x} = \frac{2}{7}$ — The minor arc is $\frac{2}{7}$ of the major arc. The minor angle is x, so the major angle is 360 − x.
2
$7 x = 2 (360 - x)$ — Cross-multiply to clear both fractions.
3
$7 x = 720 - 2 x$ — Expand the bracket: 2 × 360 = 720 and 2 × x = 2x.
4
$9 x = 720$ — Add 2x to both sides, so every x is on the left.
5
$x = 8 0^{\circ}$ — Divide both sides by 9. Check: the major angle is 280°, and 80 ÷ 280 = 2/7.

Common mistake

Writing $\frac{x}{360} = \frac{2}{7}$ . That compares the minor arc with the whole circle, not with the major arc.

8. Segment Perimeter (Extended/Higher)

القطعة الدائرية هي الجزء المحصور بين الوتر والقوس، ومحيطها هو القوس مع الوتر فقط؛ لا يوجد نصف قطر على حدودها. أولًا احسب القوس واحتفظ بكل الأرقام. ثم تخيّل خطًا من المركز إلى منتصف الوتر، فينقسم المثلث إلى مثلثين قائمي الزاوية، في كل منهما نصف الزاوية المركزية، والضلع المقابل للزاوية القائمة فيه هو نصف القطر. نصف الوتر يقابل نصف الزاوية، فاستخدم الجيب: الضلع المقابل يساوي نصف القطر مضروبًا في جيب الزاوية. ثم ضاعف الناتج لتحصل على الوتر كاملًا، واجمعه مع القوس. ويمكنك أيضًا إيجاد الوتر بقاعدة جيب التمام. الخطأ الشائع: إضافة نصفي القطر كما في القطاع، لكنهما داخل القطعة لا على حدودها.

A segment is the part between a chord and the arc. Its perimeter is the arc plus the chord. There are no radii on its edge.

Worked example

1
$\frac{70}{360} \times 2 π \times 8 = 9.773...$ — The radius is 8 cm and the angle is 70°. Find the arc first, and keep every digit.
2
$\frac{1}{2} \times 7 0^{\circ} = 3 5^{\circ}$ — A line from the centre to the middle of the chord cuts the triangle into two right-angled halves. Each has angle 35° and hypotenuse 8.
3
$8 sin 3 5^{\circ} = 4.588...$ — In one half, the half-chord is opposite the 35°, so use sin: opposite = hypotenuse × sin.
4
$2 \times 4.588... = 9.177...$ — Double it to get the whole chord.
5
$9.773... + 9.177... = 19.0 cm$ — Add the arc and the chord: 18.95…, which is 19.0 cm to 3 s.f.

Key idea

The cosine rule gives the same chord: $c^{2} = 8^{2} + 8^{2} - 2 \times 8 \times 8 \times cos 7 0^{\circ}$ . If the chord is given instead, run the sin line backwards to find the angle.

Common mistake

Adding the two radii, as for a sector. The radii are inside a segment, not on its edge.

9. Which Method? Read the Question

اسأل نفسك أولًا: هل السؤال عن طول حول الحافة أم عن مساحة في الداخل؟ طول القوس كسر من المحيط. محيط القطاع هو القوس مع نصفي القطر. إذا أُعطي القوس وطُلب نصف القطر أو الزاوية فعوّض في القانون ثم فكّه خطوة خطوة. للقوس الأكبر استخدم ثلاثمئة وستين ناقص الزاوية الصغيرة. إذا كان القوس الأصغر كسرًا من الأكبر فاجعل نسبة الزاويتين مساوية لهذا الكسر. محيط القطعة الدائرية هو القوس مع الوتر. أما مساحة القطاع والدائرة كاملة والقطاع الملفوف على شكل مخروط فلها دروس خاصة. تذكّر: القوس والمحيط أطوال وحدتها السنتيمتر، والمساحة بوحدات مربعة.

Is the question about a length round the edge, or a space inside?

You see	You do
Length of the arc	fraction of $2 π r$
Perimeter of the sector	arc + 2 radii
Arc given, find r or angle	set up the formula, undo it
The major (long) arc	use $36 0^{\circ} - x$
Minor arc is a fraction of major arc	$\frac{x}{360 - x}$ = that fraction
Perimeter of a segment	arc + chord
Sector rolled into a cone	Volume and Surface Area of a Cone
Area of the sector	Area of a Sector
The whole circle	Circumference and Area of a Circle

Key idea

Arc and perimeter are lengths, so the unit is cm. Area is in square units.

تدرّب على طول القوس

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح طول القوس

1. An Arc Is Part of the Edge

2. Arc Length: The 2-Mark Question

3. Perimeter of a Sector

4. Major Arcs: Use 360° − x

5. Working Back to r or the Angle

6. Answers in Terms of π

7. Minor and Major Arcs (Extended)

8. Segment Perimeter (Extended/Higher)

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على طول القوس

أسئلة امتحانات سابقة على طول القوس، محلولة ومشروحة بالعربي