شرح الأسس الصفرية والسلبية

Zero and Negative Indices

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The Power 0

أي عدد غير الصفر مرفوعًا للأس صفر يساوي واحدًا دائمًا. لنفهم السبب نقسم قوة على نفسها بطريقتين: بقانون الأسس نطرح الأسين فنحصل على الأس صفر، وبالأعداد العادية أي عدد مقسوم على نفسه يساوي واحدًا. الطريقتان بدأتا من المسألة نفسها، فالجوابان متساويان. هذا ينطبق حتى على قوس كامل، فلا تحتاج لحساب ما بداخله. الخطأ الشائع أن تكتب الجواب صفرًا، والأس صفر لا يعني الضرب في صفر.

The 1-mark question: write down the value of a number to the power 0. The answer is always 1, and here is why.

Formula

a^{0} = 1

$a$ is any number except 0, and the small 0 is the power. Whatever the number, the answer is 1.

Worked example

1
$5^{3} \div 5^{3}$ — Start with a number divided by itself. We will work it out two ways.
2
$5^{3} \div 5^{3} = 5^{3 - 3}$ — Way 1, the index law: when you divide powers of the same number, subtract the powers.
3
$= 5^{0}$ — 3 − 3 = 0, so the answer is 5 to the power 0.
4
$5^{3} \div 5^{3} = 125 \div 125$ — Way 2, plain numbers: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
5
$= 1$ — Any number divided by itself is 1.
6
$5^{0} = 1$ — Both ways started from the same sum, so their answers must be equal.

Rule

Any number (except 0) to the power 0 is 1: $7^{0} = 1$ , $(- 3)^{0} = 1$ , and even a whole bracket: $(3^{- 5})^{0} = 1$ . You do not need to work out the inside.

Common mistake

Writing $5^{0} = 0$ . The power 0 does not mean times 0. The answer is always 1.

2. A Negative Power Means One Over

الأس السالب يعني «واحد على» القوة نفسها بأس موجب، ولا يجعل الجواب سالبًا أبدًا. في المثال نبدأ بقوة معروفة، وفي كل مرة ننقص الأس بواحد نقسم على الأساس، فعندما نتجاوز الصفر نحصل على كسور، ونلاحظ النمط: الأس السالب يساوي واحدًا على القوة الموجبة. وإذا طُلب الجواب عددًا عشريًا، فاكتب سطر الكسر أولًا لأنه يأخذ درجة، ثم حوّله إلى عشري. الخطأ الشائع أن تكتب جوابًا سالبًا أو تضرب الأساس في الأس.

The 1-mark question: work out a number to a negative power. Each step down in the power divides by the base. Past 0, you get fractions.

Formula

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

$a$ is the number (not 0) and $n$ is the power. The minus sign in the power means “one over”. It never makes the answer negative.

Worked example

1
$2^{2} = 4$ — Start with a power you know: 2 × 2 = 4.
2
$2^{1} = 2$ — One step down in the power means divide by 2: 4 ÷ 2 = 2.
3
$2^{0} = 1$ — Divide by 2 again: 2 ÷ 2 = 1. This matches the last card.
4
$2^{- 1} = \frac{1}{2}$ — Keep going past 0: 1 ÷ 2 = ½. Now the answers are fractions.
5
$2^{- 2} = \frac{1}{4}$ — Divide by 2 again: ½ ÷ 2 = ¼.
6
$2^{- 3} = \frac{1}{8}$ — Once more: ¼ ÷ 2 = ⅛.
7
$2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}}$ — Spot the pattern: 8 is 2³, so 2⁻³ is one over the positive power.

As a decimal. Some questions ask for a decimal. Write the fraction line first.

Worked example

1
$4^{- 2} = \frac{1}{4 ^{2}}$ — The minus power means one over the positive power.
2
$= \frac{1}{16}$ — 4² = 4 × 4 = 16. Write this line down: it earns a mark even if the decimal goes wrong.
3
$= 0.0625$ — 1 ÷ 16 = 0.0625. The question asked for a decimal, so finish here.

Common mistake

Writing $2^{- 3} = - 8$ or $- 6$ . A negative power gives a fraction, not a negative number.

Key idea

A negative power has a positive attitude: $2^{- 5}$ is not negative at all. It is just $\frac{1}{32}$ .

3. Negative Powers of 10

قوى العشرة السالبة تعطي أعدادًا عشرية صغيرة. الأس يخبرك في أي منزلة بعد الفاصلة العشرية يقع الرقم واحد. للتحويل من قوة إلى عشري: اكتب واحدًا على القوة الموجبة، ثم اكتبها كسرًا عشريًا. وللتحويل العكسي: عدّ المنازل من الفاصلة حتى الرقم واحد، فيكون هذا العدد هو الأس مع إشارة سالب. الخطأ الشائع أن تعدّ الأصفار بدل المنازل، فتنقص الأس بواحد.

Exams ask you to switch between small decimals and powers of 10. The power tells you which place after the decimal point holds the 1.

Formula

1 0^{- n} = \frac{1}{1 0 ^{n}}

$n$ is a whole number. $1 0^{n}$ is 1 followed by $n$ zeros, so $1 0^{- n}$ is a decimal with the 1 in place number $n$ after the point.

Worked example

1
$1 0^{- 3} = \frac{1}{1 0 ^{3}}$ — The minus power means one over the positive power.
2
$= \frac{1}{1000}$ — 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000.
3
$= 0.00 1$ — One thousandth. The 1 is in the 3rd place after the point, matching the power 3.

The other way. “Write 0.00001 as a power of 10.”

Worked example

1
$0.0000 1$ — Count the places from the point to the 1. The 1 is in the 5th place.
2
$= \frac{1}{100000}$ — The 5th place after the point is hundred-thousandths.
3
$= \frac{1}{1 0 ^{5}}$ — 100000 is 1 with 5 zeros, so it is 10⁵.
4
$= 1 0^{- 5}$ — One over a power is the same power with a minus.

Common mistake

Counting the zeros instead of the places. 0.00001 has 4 zeros after the point, but the 1 is in the 5th place, so it is $1 0^{- 5}$ , not $1 0^{- 4}$ .

4. Fractions and Negative Powers

إذا كان الأس السالب على كسر، فاقلب الكسر فيصبح الأس موجبًا، ثم ارفع البسط والمقام كلًا وحده للقوة. وإذا كان الأس السالب في المقام، فاحسب المقام أولًا فيصبح كسرًا، ثم تذكّر أن القسمة على كسر تساوي الضرب في مقلوبه، فينتقل الأس السالب من المقام إلى البسط موجبًا. اكتب سطر حساب المقام فهو يأخذ درجة. الخطأ الشائع أن تجعل الجواب سالبًا أو تتجاهل السالب، والصحيح أنه يقلب الكسر فقط.

A negative power on a fraction, or on the bottom of a fraction, uses the same idea: one over means flip.

Formula

(\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}

$a$ and $b$ are the top and bottom of the fraction (neither is 0), and $n$ is the power. Flip the fraction and the power becomes positive.

Worked example

1
$(\frac{2}{5})^{- 2}$ — The question. The minus in the power tells you to flip.
2
$= (\frac{5}{2})^{2}$ — Flip the fraction upside down. The power is now +2.
3
$= \frac{5 ^{2}}{2 ^{2}}$ — Square the top and the bottom separately.
4
$= \frac{25}{4}$ — 5² = 25 and 2² = 4. You can leave it as a top-heavy fraction or write 6¼.

A negative power on the bottom. Work out the bottom first, then divide.

Worked example

1
$\frac{5}{2 ^{- 3}}$ — The question. A negative power sits on the bottom.
2
$2^{- 3} = \frac{1}{8}$ — One over 2³, and 2³ = 8. Write this line: it earns a mark on its own.
3
$\frac{5}{2 ^{- 3}} = 5 \div \frac{1}{8}$ — A fraction line means divide.
4
$= 5 \times 8$ — Dividing by ⅛ is the same as multiplying by 8, because 8 eighths make 1.
5
$= 40$ — 5 × 8 = 40. A negative power on the bottom moves to the top as a positive power.

Common mistake

Writing $(\frac{2}{5})^{- 2} = - \frac{4}{25}$ or $\frac{4}{25}$ . The minus flips the fraction. It never makes the answer negative, and it is not ignored.

5. Find the Missing Power

لإيجاد الأس المجهول اسأل نفسك: أي قوة للأساس تعطي هذا العدد؟ إذا كان العدد واحدًا فالأس صفر. إذا كان كسرًا أو عشريًا أقل من واحد فتوقّع أسًا سالبًا: حوّل العشري إلى كسر، واكتب المقام قوةً للأساس، ثم استخدم أن واحدًا على قوة يساوي القوة نفسها بأس سالب، وساوِ الأسين. الخطأ الشائع أن تكتب المقام نفسه بإشارة سالبة كأس، والصحيح أن تكتبه أولًا قوة للأساس.

The 1-mark question: write down the value of $x$ . Ask which power gives the number.

Worked example

1
$7^{x} = 1$ — The question. Which power of 7 gives 1?
2
$x = 0$ — Any number to the power 0 is 1, so the power must be 0.

Worked example

1
$3^{x} = \frac{1}{9}$ — The question. The answer is a fraction, so expect a minus power.
2
$9 = 3^{2}$ — Write the bottom as a power of 3: 3 × 3 = 9.
3
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3 ^{2}}$ — Put that into the fraction.
4
$\frac{1}{3 ^{2}} = 3^{- 2}$ — One over a power is the same power with a minus.
5
$x = - 2$ — Both sides are now powers of 3, so the powers match: x = −2.

Worked example

1
$2^{x} = 0.125$ — The question. A decimal below 1, so again expect a minus power.
2
$0.125 = \frac{1}{8}$ — Change the decimal to a fraction: 125 thousandths is ⅛.
3
$\frac{1}{8} = \frac{1}{2 ^{3}}$ — 8 = 2 × 2 × 2 = 2³.
4
$x = - 3$ — One over 2³ is 2 to the power −3, so x = −3.

Common mistake

Giving $x = - 9$ for $3^{x} = \frac{1}{9}$ . Write 9 as $3^{2}$ first. The power is −2.

6. Negative Powers in the Laws

قوانين الأسس تعمل مع الأسس السالبة كما هي: الضرب يعني جمع الأسس، والقسمة تعني طرحها. المهارة الجديدة هي الحفاظ على الإشارات: ضع كل أس سالب بين قوسين، وتذكّر أن طرح السالب يساوي الجمع. في المسائل الأطول احسب البسط أولًا ثم القسمة، واكتب القوة بعد كل خطوة لأن الخطوة الأولى الصحيحة تأخذ درجة. وإذا خرج الأس صفرًا فالجواب واحد. الخطأ الشائع أن تطرح الأس السالب كأنه موجب.

Exams mix negative powers into the index laws: multiply means add the powers, divide means subtract them. The new skill is keeping the minus signs right.

Worked example

1
$6^{- 7} \div 6^{- 3} = 6^{n}$ — The question. Same number, dividing, so subtract the powers.
2
$n = - 7 - (- 3)$ — Take the second power from the first. Put −3 in brackets so its minus is not lost.
3
$n = - 7 + 3$ — Taking away a negative is adding: −(−3) = +3.
4
$n = - 4$ — −7 + 3 = −4.

Worked example

1
$\frac{7 ^{8} \times 7 ^{- 5}}{7 ^{- 2}} = 7^{k}$ — The question. Do the top first, then the divide.
2
$7^{8} \times 7^{- 5} = 7^{8 + (- 5)}$ — Multiplying: add the powers. Keep −5 in brackets.
3
$= 7^{3}$ — 8 + (−5) = 8 − 5 = 3. Write this line: it is the first mark.
4
$\frac{7 ^{3}}{7 ^{- 2}} = 7^{3 - (- 2)}$ — Dividing: take the bottom power from the top power.
5
$= 7^{3 + 2}$ — Taking away −2 is adding 2.
6
$= 7^{5}, so k = 5$ — 3 + 2 = 5.

Worked example

1
$4^{- 6} \times 4^{6} = 4^{- 6 + 6}$ — Multiplying: add the powers.
2
$= 4^{0}$ — −6 + 6 = 0.
3
$= 1$ — Any number to the power 0 is 1.

Key idea

Show the power after each law, like $7^{3}$ . In a 2-mark question, one mark is for a correct first step, so a slip later still keeps that mark.

Common mistake

Writing 3 − 2 = 1 for $7^{3} \div 7^{- 2}$ . Taking away −2 means adding 2, so the power is 5.

7. Which Method? Read the Question

لاختيار الطريقة انظر إلى الأس أولًا. الأس صفر يعني أن الجواب واحد. الأس السالب يعني واحدًا على القوة الموجبة، وإذا كان على كسر فاقلب الكسر فيصبح الأس موجبًا. لكتابة عدد عشري صغير كقوة للعشرة عدّ المنازل حتى الرقم واحد. إذا كان الأس مجهولًا والجواب واحد فالأس صفر، وإذا كان الجواب كسرًا فاكتبه واحدًا على قوة. وعند الضرب أو القسمة اجمع الأسس أو اطرحها مع وضع السوالب بين أقواس. وتذكّر: الأس السالب لا يجعل الجواب سالبًا أبدًا، بل يعطي كسرًا.

Look at the power first.

You see	You do
Power 0	the answer is 1
A negative power	one over the positive power
A fraction to a negative power	flip it, then the power is positive
A small decimal as a power of 10	count the places to the 1
A missing power, answer 1	the power is 0
A missing power, answer a fraction	write it as one over a power
Multiply or divide powers	add or subtract the powers, minus signs in brackets
Letters with powers 0 or minus	Zero and Negative Indices with Letters

Key idea

A negative power never makes the answer negative. It makes a fraction.

تدرّب على الأسس الصفرية والسلبية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الأسس الصفرية والسلبية

1. The Power 0

2. A Negative Power Means One Over

3. Negative Powers of 10

4. Fractions and Negative Powers

5. Find the Missing Power

6. Negative Powers in the Laws

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على الأسس الصفرية والسلبية

أسئلة امتحانات سابقة على الأسس الصفرية والسلبية، محلولة ومشروحة بالعربي