شرح المعادلات الأسية

Exponential Equations

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What an Exponential Equation Is

في المعادلة الأسية يكون المجهول في الأس، لذلك لا تستطيع إيجاده بالقسمة العادية. الفكرة: اكتب الطرفين على صورة قوة للأساس نفسه. في المثال نكتب العدد الموجود في الطرف الأيمن على صورة قوة للعدد اثنين بعدّ مرات الضرب، ثم نساوي الأسين مباشرة. تذكّر أن مساواة الأسين لا تصح إلا إذا كان الأساس واحدًا في الطرفين، ومن المفيد أن تحفظ قوى العددين اثنين وثلاثة.

In an exponential equation the unknown is in the power, like $2^{x} = 32$ . You cannot just divide to get x.

The trick: write both sides as a power of the same number. Then the powers must be equal.

Worked example

1
$2^{x} = 32$ — The question. x is in the power, so dividing will not find it.
2
$2^{x} = 2^{5}$ — Write 32 as a power of 2: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, five 2s.
3
$x = 5$ — Both sides are now 2 to a power, so the powers must be equal.

Rule

If $a^{m} = a^{n}$ then $m = n$ . The base a must be the same on both sides.

Memory trick

Know these: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 and 3, 9, 27, 81, 243.

2. Find n: One Base Throughout

هذا أشهر نوع: كل الأعداد قوى لأساس واحد. استخدم قوانين الأسس لتجمع الطرف الأيسر في قوة واحدة. أولًا القوس المرفوع لقوة: نضرب الأسين. ثانيًا عند قسمة قوتين لهما الأساس نفسه نطرح أس المقام من أس البسط. بعد ذلك يصبح في كل طرف قوة واحدة للأساس نفسه فنساوي الأسين. انتبه للخطأ الشائع في طرح عدد موجب من عدد سالب: النتيجة تنزل أكثر نحو السالب ولا تقترب من الصفر.

The most common question: every number is already a power of the same base. Use the laws of indices to make one power, then match.

Worked example

1
$\frac{( 5 ^{- 2} ) ^{3}}{5 ^{4}} = 5^{n}$ — The question. Every number is a power of 5, so aim for one power of 5 on the left.
2
$(5^{- 2})^{3} = 5^{- 6}$ — A bracket to a power: multiply the powers, (−2) × 3 = −6.
3
$\frac{5 ^{- 6}}{5 ^{4}} = 5^{- 6 - 4}$ — Dividing powers of the same base: take the bottom power away from the top one.
4
$5^{- 10} = 5^{n}$ — −6 − 4 = −10: start at −6 and go 4 further down. Now there is one power on each side.
5
$n = - 10$ — Same base on both sides, so the powers are equal.

Common mistake

Working out −6 − 4 as −2. Taking 4 away from −6 goes further down: −10.

3. Change to the Same Base

عندما تختلف الأساسات لا يجوز مساواة الأسين فورًا، وهذا هو الخطأ الشائع. الحل أن تكتب كل أساس على صورة قوة لأساس صغير مشترك، مثل ثلاثة. ثم تضرب الأسين في كل قوس مرفوع لقوة، فيصبح الأساس واحدًا في الطرفين، فتساوي الأسين وتحل المعادلة الناتجة. وإذا كان في أحد الطرفين كسر بسطه واحد، فاكتبه قوةً سالبة، لأن واحدًا على قوة يساوي القوة نفسها بأس سالب. لا تقلق إذا خرج الجواب سالبًا أو كسرًا، فالمجهول هنا أس وليس طولًا. والجذور أيضًا يمكن كتابتها أسسًا كسرية.

The 3-mark question: the bases are different, like 9 and 27. Write each one as a power of a small base, here 3.

Worked example

1
$9^{x} = 2 7^{2}$ — The question. 9 and 27 are different bases, so you cannot match the powers yet.
2
$(3^{2})^{x} = (3^{3})^{2}$ — 9 is 3² and 27 is 3³, so both sides become powers of 3.
3
$3^{2 x} = 3^{6}$ — A bracket to a power: multiply the powers, 2 × x = 2x and 3 × 2 = 6.
4
$2 x = 6$ — The bases now match, so the powers must be equal.
5
$x = 3$ — Divide both sides by 2.

Common mistake

Matching straight away and writing x = 2. You can only match powers when the bases are the same.

A fraction on one side works the same way, because one over a power is a negative power.

Worked example

1
$9^{x} = \frac{1}{27}$ — The question. A fraction on the right, and two different bases.
2
$(3^{2})^{x} = \frac{1}{3 ^{3}}$ — 9 is 3² and 27 is 3³.
3
$3^{2 x} = \frac{1}{3 ^{3}}$ — A bracket to a power: multiply, 2 × x = 2x.
4
$3^{2 x} = 3^{- 3}$ — One over $3^{3}$ is $3^{- 3}$ : that is what a negative power means.
5
$2 x = - 3$ — Same base on both sides, so the powers are equal.
6
$x = - \frac{3}{2}$ — Divide by 2. A negative answer is fine: x is a power, not a length.

Key idea

Roots work too: $3 = 3^{\frac{1}{2}}$ , so $3^{x} = 3$ gives $x = \frac{1}{2}$ . More in Fractional Indices.

4. A Bracket in the Power (Extended/Higher)

هنا يوجد كسر وفي أسّه قوس. حوّل كل الأساسات إلى أساس واحد، ثم اضرب الأس في القوس كله وليس في الحد الأول فقط، وهذا هو الخطأ الأكثر شيوعًا. بعد ذلك عند القسمة اطرح الأسين واحتفظ بالقوس، لأن القوس كله هو الذي يُطرح. ساوِ الأسين، ثم افتح القوس وانتبه أن إشارة السالب تصل إلى الحدين معًا، واجمع الحدود المتشابهة وأكمل حل المعادلة الخطية خطوة بخطوة.

The 3-mark question often has a fraction with a bracket in the power. Change the base, then the whole bracket gets multiplied.

Worked example

1
$\frac{3 ^{x}}{9 ^{x + 1}} = 27$ — The question. The bases 3, 9 and 27 are all powers of 3, so change everything to base 3.
2
$9^{x + 1} = (3^{2})^{x + 1}$ — 9 is 3².
3
$(3^{2})^{x + 1} = 3^{2 x + 2}$ — A bracket to a power: multiply. The 2 multiplies the whole of x + 1, giving 2x + 2.
4
$\frac{3 ^{x}}{3 ^{2 x + 2}} = 3^{3}$ — Put that back in, and write 27 as $3^{3}$ .
5
$3^{x - (2 x + 2)} = 3^{3}$ — Dividing: subtract the powers. Keep the bracket, because the whole of 2x + 2 is taken away.
6
$x - (2 x + 2) = 3$ — Same base on both sides, so the powers are equal.
7
$x - 2 x - 2 = 3$ — Open the bracket. The minus reaches both terms: −(2x + 2) = −2x − 2.
8
$- x - 2 = 3$ — Collect the x terms: x − 2x = −x.
9
$- x = 5$ — Add 2 to both sides.
10
$x = - 5$ — Multiply both sides by −1 to change the sign.

Common mistake

Writing $3^{2 x + 1}$ . The 2 multiplies the whole bracket: $2 (x + 1) = 2 x + 2$ .

5. Unknown in Both Powers (Extended/Higher)

في هذا السؤال يظهر المجهول في الأسين على الطرفين، والأساسان مختلفان. حوّل الطرفين إلى أساس واحد، وتذكّر أن الكسر الذي بسطه واحد يُكتب قوةً سالبة. اضرب الأسين مع الاحتفاظ بالأقواس حتى يصل العدد السالب إلى الحدين، وانتبه أن سالبًا في سالب يعطي موجبًا. بعد مساواة الأسين تحصل على معادلة عادية: اجمع حدود المجهول في طرف والأعداد في الطرف الآخر ثم اقسم. الجواب الكسري أو العشري مقبول، ويمكنك التحقق بالتعويض في الطرفين.

The 3-mark question often has x in the power on both sides. Change both to one base, then the powers give an ordinary equation.

Worked example

1
$4^{x + 1} = (\frac{1}{8})^{x - 3}$ — The question. x is in both powers, and the bases 4 and ⅛ are different.
2
$(2^{2})^{x + 1} = (2^{- 3})^{x - 3}$ — 4 is 2². ⅛ is 1 over 2³, which is $2^{- 3}$ .
3
$2^{2 (x + 1)} = 2^{- 3 (x - 3)}$ — A bracket to a power: multiply. Keep the brackets so the −3 reaches both terms.
4
$2^{2 x + 2} = 2^{- 3 x + 9}$ — Expand both. On the right, (−3) × x = −3x and (−3) × (−3) = +9.
5
$2 x + 2 = - 3 x + 9$ — Same base on both sides, so the powers are equal.
6
$5 x + 2 = 9$ — Add 3x to both sides, so all the x terms are on the left.
7
$5 x = 7$ — Take 2 from both sides.
8
$x = \frac{7}{5} = 1.4$ — Divide by 5. A fraction or decimal answer is fine.

Common mistake

Writing −3x − 9. A minus times a minus is plus: (−3) × (−3) = +9.

Key idea

Check: both sides become $2^{4.8}$ when x = 1.4, so the answer is right.

6. Answer in Terms of n (Extended/Higher)

بعض الأسئلة فيها حرفان، وتطلب إيجاد أحدهما بدلالة الآخر، أي أن الجواب سيحتوي على الحرف الثاني. اكتب كل الأساسات قوى لأساس واحد، واضرب الأسين في الأقواس، وتذكّر أن العدد وحده أسّه واحد. عند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه نجمع الأسين. ثم ساوِ الأسين وأعد ترتيب المعادلة لتعزل الحرف المطلوب. وأحيانًا يُختصر أحد الحرفين من الطرفين فيبقى عدد فقط.

Some questions have two letters and ask for one “in terms of” the other. Match the powers as usual, then rearrange.

Worked example

1
$9^{m} \times 3 = 2 7^{2 n}$ — The question: find m in terms of n. The answer will have n in it.
2
$(3^{2})^{m} \times 3 = (3^{3})^{2 n}$ — 9 is 3² and 27 is 3³.
3
$3^{2 m} \times 3^{1} = 3^{6 n}$ — A bracket to a power: multiply, 2 × m and 3 × 2n. A plain 3 is $3^{1}$ .
4
$3^{2 m + 1} = 3^{6 n}$ — Multiplying powers of the same base: add the powers.
5
$2 m + 1 = 6 n$ — Same base on both sides, so the powers are equal.
6
$2 m = 6 n - 1$ — Take 1 from both sides to get the m term alone.
7
$m = \frac{6 n - 1}{2}$ — Divide both sides by 2. This is the answer: n stays in it.

Key idea

Sometimes a letter cancels. $8^{n x} = (4^{x})^{3}$ becomes $2^{3 n x} = 2^{6 x}$ , so 3nx = 6x and n = 2.

7. Split Into Primes (Extended/Higher)

هذا سؤال الدرجات العالية: الأساسات مثل عشرة أو ستة ليست قوى لأساس واحد. حلّل كل أساس إلى عوامله الأولية، وضع الأس على كل عامل. ثم اختصر العوامل المتكررة في البسط والمقام، فيبقى أساس واحد. اجمع الأسس عند الضرب، واكتب العدد في الطرف الآخر قوةً للأساس نفسه، ثم ساوِ الأسين. ستحصل على معادلة تربيعية: اجعلها تساوي صفرًا وحلّلها إلى قوسين، فيكون أحد القوسين صفرًا. الخطأ الشائع أن تكتب حلًا واحدًا فقط، والمعادلة التربيعية تعطي عادة حلّين. وإذا كان الطرف الآخر واحدًا فاكتبه الأساس مرفوعًا للصفر.

The 5-mark question uses bases like 10 or 6. Split each into primes, cancel, and you get a quadratic.

Worked example

1
$\frac{1 0 ^{n} \times 2 ^{n^{2} - 4 n}}{5 ^{n}} = 16$ — The question. 10 and 5 are not powers of 2, so split 10 into primes first.
2
$1 0^{n} = 2^{n} \times 5^{n}$ — 10 is 2 × 5, and the power n goes on both parts.
3
$2^{n} \times 2^{n^{2} - 4 n} = 16$ — The 5ⁿ on top and bottom cancel, leaving only powers of 2.
4
$2^{n} \times 2^{n^{2} - 4 n} = 2^{4}$ — 16 = 2 × 2 × 2 × 2, so 16 is $2^{4}$ .
5
$2^{n + n^{2} - 4 n} = 2^{4}$ — Multiplying powers of the same base: add the powers.
6
$n + n^{2} - 4 n = 4$ — Same base on both sides, so the powers are equal.
7
$n^{2} - 3 n = 4$ — Collect the n terms: n − 4n = −3n.
8
$n^{2} - 3 n - 4 = 0$ — Take 4 from both sides, so the quadratic equals 0 and can be factorised.
9
$(n - 4) (n + 1) = 0$ — Find two numbers that multiply to −4 and add to −3: they are −4 and +1.
10
$n = 4 or n = - 1$ — One bracket must be 0: n − 4 = 0 or n + 1 = 0. Give both answers.

Common mistake

Giving only one answer. A quadratic usually gives two values of n.

Key idea

If the right side is 1, write it as $2^{0}$ , so the powers add to 0.

8. Unknown Is the Number (Extended/Higher)

أحيانًا يكون المجهول هو الأساس والأس كسر. لإلغاء الأس الكسري ارفع الطرفين لمقلوبه، لأن حاصل ضرب الكسر في مقلوبه يساوي واحدًا. في المثال نجمع أولًا كل حدود المجهول في حد واحد بضرب الطرفين في المجهول وجمع الأسس، ثم نرفع الطرفين للأس المقلوب. عند الحساب: مقام الأس يدل على الجذر، وبسطه يدل على القوة، وابدأ بالجذر ليبقى العدد صغيرًا. انتبه: الأس ليس ضربًا، فلا تضرب العدد في الكسر. والأس السالب يبقى سالبًا بعد القلب.

Sometimes the letter is the number and the power is a fraction, like $x^{\frac{3}{2}} = 8$ . Undo the power with its flipped power.

Formula

x^{\frac{m}{n}} = k \Rightarrow x = k^{\frac{n}{m}}

$\frac{m}{n}$ is the power on x and k is the number on the other side. Flip the power upside down and put it on k, because $\frac{m}{n} \times \frac{n}{m} = 1$ .

Worked example

1
$x^{\frac{1}{2}} = 8 x^{- 1}$ — The question. x is the number here, and it appears twice.
2
$x^{\frac{1}{2}} \times x = 8$ — Multiply both sides by x, because $x^{- 1} \times x = 1$ .
3
$x^{\frac{3}{2}} = 8$ — Multiplying: add the powers, ½ + 1 = 3/2. Now x appears once.
4
$x = 8^{\frac{2}{3}}$ — Use the flipped power 2/3 on both sides.
5
$38 = 2$ — The bottom 3 means cube root. Do the root first so the number stays small.
6
$x = 2^{2} = 4$ — The top 2 means square. Check: √4 = 2 and 8 ÷ 4 = 2.

Common mistake

Working out 8 × ⅔. A power is never a multiply: $8^{\frac{2}{3}}$ is the cube root of 8, squared.

Key idea

A minus power stays in the flip: $x^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{25}$ gives $x = (\frac{1}{25})^{- \frac{3}{2}} = 125$ .

9. Which Method? Read the Question

هذه الشاشة تساعدك على اختيار الطريقة: انظر إلى الأساسات أولًا. إذا كان الأساس واحدًا فاستخدم قوانين الأسس ثم ساوِ الأسين. إذا كانت الأساسات قوى لاثنين أو ثلاثة فأعد كتابتها بأساس صغير. إذا كانت مثل ستة أو عشرة فحلّلها إلى عوامل أولية. إذا كان هناك عدد مضاف فاطرحه أولًا. وإذا كان المجهول في الأسين فوحّد الأساس ثم حل المعادلة، وإذا طُلب حرف بدلالة آخر فساوِ الأسين ثم أعد الترتيب، وإذا كان المجهول هو الأساس فاستخدم الأس المقلوب. تحقّق دائمًا بالتعويض، واكتب كل سطر، لأن معظم الدرجات على خطوات الحل.

Look at the bases first.

You see	You do
$64 = 4^{n}$	count up the powers of 4
One base all through	laws of indices, then match
Bases like 4, 8, 9, 27	rewrite as powers of 2 or 3
Bases like 6, 10, 12, or $2^{a} \times 3^{b} = 72$	split into primes: $72 = 2^{3} \times 3^{2}$
A number added, like $3^{x} + 2 = 245$	take it away first: $3^{x} = 243$
$h (x) = 2^{x}$ , find x when $h (x) = \frac{1}{16}$	solve $2^{x} = \frac{1}{16}$
x in both powers	same base, then solve for x
Find m in terms of n	match the powers, then rearrange
The letter is the number, like $x^{\frac{3}{2}} = 8$	use the flipped power
A fraction in the power	Fractional Indices
Multiply and divide powers only	Laws of Indices
No common base, or a graph	Exponential Functions

Key idea

Check: put your answer back in. Both sides should be the same number.

Key idea

Show every line. Most of the marks are for the working: writing both sides as powers of the same base already earns marks, even if a later line slips.

تدرّب على المعادلات الأسية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المعادلات الأسية

1. What an Exponential Equation Is

2. Find n: One Base Throughout

3. Change to the Same Base

4. A Bracket in the Power (Extended/Higher)

5. Unknown in Both Powers (Extended/Higher)

6. Answer in Terms of n (Extended/Higher)

7. Split Into Primes (Extended/Higher)

8. Unknown Is the Number (Extended/Higher)

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على المعادلات الأسية

أسئلة امتحانات سابقة على المعادلات الأسية، محلولة ومشروحة بالعربي