شرح ضرب المتجه في كمية قياسية

Multiplying a Vector by a Scalar

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Scalar Does

الكمية القياسية هي عدد عادي، موجب أو سالب. ضرب متجه في عدد يمدّه أو يقلّصه أو يعكس اتجاهه. إذا كان العدد أكبر من واحد يصبح المتجه أطول، وإذا كان كسرًا بين صفر وواحد يصبح أقصر، وفي الحالتين يبقى الاتجاه نفسه. وإذا كان العدد سالبًا ينعكس الاتجاه، ويتغير الطول حسب قيمة العدد. القاعدة بسيطة: اضرب العدد العلوي والعدد السفلي كليهما في هذا العدد.

A scalar is a plain number, like 3 or −2. Multiplying a vector by a scalar stretches it, shrinks it, or turns it round.

Scalar	Effect
2	twice as long, same way
$\frac{1}{2}$	half as long, same way
−1	same length, opposite way
−3	three times as long, opposite way

Rule

Multiply the top number and the bottom number by the scalar.

2. Multiplying and Combining

أكثر سؤال شائع: احسب تركيبة مثل ضعف متجه ناقص ثلاثة أمثال متجه آخر. الترتيب مهم: اضرب كل متجه في عدده أولًا، العلوي والسفلي معًا، وأنهِ كل الضرب قبل أي جمع أو طرح. ثم اجمع أو اطرح العلوي مع العلوي والسفلي مع السفلي، وانتبه لطرح العدد السالب لأنه يصبح جمعًا. اكتب الناتجين في عمود واحد. ولرسم ضعف متجه على الشبكة، تحرك ضعف المسافة أفقيًا وضعفها رأسيًا من أي نقطة. الخطأ الشائع هو ضرب العدد العلوي فقط، والصحيح أن العدد يضرب كل أعداد العمود.

The most common question: work out something like $2 a - 3 b$ . Scale each vector first, then add or subtract.

Worked example

1
$a = (2 - 1), b = (- 1 4)$ — We want 2a − 3b. Scale each vector first, then subtract.
2
$2 a = (2 \times 2 2 \times (- 1)) = (4 - 2)$ — Multiply both numbers by 2.
3
$3 b = (3 \times (- 1) 3 \times 4) = (- 3 12)$ — Multiply both numbers by 3. Do all the scaling before any adding or subtracting.
4
$2 a - 3 b = (4 - (- 3) - 2 - 12)$ — Subtract top from top and bottom from bottom.
5
$4 - (- 3) = 4 + 3 = 7$ — Top row: taking away a negative adds.
6
$- 2 - 12 = - 14$ — Bottom row: take 12 away from −2.
7
$2 a - 3 b = (7 - 14)$ — Put both answers in one column.

Key idea

To draw 2a on a grid, go twice as far across and twice as far up or down as a does, starting from any point.

Common mistake

Multiplying only the top number. The scalar multiplies every number in the column.

3. A Multiple of a Move, Then a Point

كثيرًا ما يقول السؤال إن متجهًا من نقطة يساوي عددًا من المرات متجهًا آخر من النقطة نفسها، ثم يطلب إحداثيي النقطة الجديدة. اضرب المتجه في العدد أولًا، ثم أضف الناتج إلى إحداثيي نقطة البداية: العلوي إلى الإحداثي السيني والسفلي إلى الصادي. وقد يكون المضاعف لمتجه معكوس، فأوجد ذلك المتجه أولًا بقاعدة النهاية ناقص البداية مع الانتباه لترتيب الحرفين، ثم اضرب وأضف. الخطأ الشائع هو كتابة المتجه نفسه كإجابة؛ المتجه حركة وليس نقطة، فلا بد أن تضيفه إلى نقطة البداية.

Exams often say the vector from H to K is a multiple of the vector from H to J, then ask for the point K. Scale the vector first, then add it to the start point.

Worked example

1
$H (2, - 3), H J = (4 - 5), H K = 3 H J$ — We want the point K.
2
$H K = (3 \times 4 3 \times (- 5)) = (12 - 15)$ — HK is three times HJ, so multiply both numbers by 3.
3
$2 + 12 = 14$ — HK starts at H, so add its top number to the x-coordinate of H.
4
$- 3 + (- 15) = - 18$ — Add its bottom number to the y-coordinate of H.
5
$K = (14, - 18)$ — Write the answer as a point.

A twist: the multiple may be of a reversed vector.

Worked example

1
$A (1, 2), B (4, - 1), A C = 2 B A$ — We need BA first, which goes from B to A.
2
$B A = (1 - 4 2 - (- 1)) = (- 3 3)$ — End minus start: A is the end and B is the start.
3
$A C = 2 (- 3 3) = (- 6 6)$ — Double both numbers.
4
$1 + (- 6) = - 5$ — AC starts at A, so add its top number to the x-coordinate of A.
5
$2 + 6 = 8$ — Add its bottom number to the y-coordinate of A.
6
$C = (- 5, 8)$ — Write the answer as a point.

Common mistake

Giving the vector as the answer. $H K = (12 - 15)$ is a move, not a point. Add it to the coordinates of H to get K.

4. Parallel Means a Multiple

يكون المتجهان متوازيين عندما يكون أحدهما عددًا مضروبًا في الآخر. للتحقق، اقسم العلوي على العلوي والسفلي على السفلي؛ إذا خرج العدد نفسه فهما متوازيان. ولإيجاد عدد مجهول، استخدم الصف الذي عدداه معروفان لتجد عامل الضرب، ثم اضرب به العدد الآخر في الصف الثاني لتجد المجهول، مع الانتباه إلى أن السالب في السالب موجب. إذا كان أحد الأعداد صفرًا فلا تقسم عليه، واستخدم الصف الآخر. الخطأ الشائع هو المقارنة بالطرح؛ التوازي يتعلق بالضرب فقط.

Two vectors are parallel when one is a number times the other. Divide the tops, divide the bottoms. If you get the same number, they are parallel.

Worked example

1
$(6 - 9) and (2 - 3)$ — Are they parallel? Look for one number that turns the second into the first.
2
$6 \div 2 = 3$ — Divide the top of the first by the top of the second.
3
$- 9 \div (- 3) = 3$ — Do the same with the bottoms. A negative divided by a negative is positive.
4
$(6 - 9) = 3 (2 - 3)$ — Both rows give the same number 3, so the first is 3 times the second. They are parallel.

Now find a missing number.

Worked example

1
$(- 4 p) parallel to (2 - 3)$ — Find p. The first vector must be a number times the second.
2
$- 4 \div 2 = - 2$ — Use the tops, where both numbers are known, to find the scalar.
3
$(- 4 p) = - 2 (2 - 3)$ — The scalar is −2, so the bottom number must be scaled by −2 too.
4
$p = - 2 \times (- 3) = 6$ — A negative times a negative is positive.

Key idea

A top of 0 cannot be divided. Use the other row instead: $(05)$ and $(0 - 3)$ both point straight up or down, so they are parallel.

Common mistake

Subtracting to compare. Parallel is about multiplying: 6 − 2 and −9 − (−3) mean nothing here.

5. Letter Vectors: Take Out a Factor

عندما يكون المتجه مكتوبًا بالحروف، ابحث عن عامل مشترك بين المعاملات وأخرجه خارج قوس، فيظهر لك فورًا أنه مضاعف لمتجه آخر. اختر أكبر عدد يقسم المعاملين، واقسم كل معامل عليه، واحتفظ بالإشارات داخل القوس. وإذا بدأ التعبير بإشارة سالب، يمكنك إخراج عدد سالب لكي يطابق ما داخل القوس المتجه الذي تقارن به؛ تذكّر أن القسمة على سالب تقلب الإشارة. بذلك تعرف أن المتجهين متوازيان وكم مرة يكون أحدهما أطول. وفي الامتحان اختم بجملة تقول: بما أن هذا المتجه يساوي عددًا مضروبًا في ذاك، فالمتجهان متوازيان. وهذه الفكرة نفسها تُستخدم في البراهين بالمتجهات.

With letters, look for a common factor. Taking it out shows the multiple straight away.

Worked example

1
$6 a - 9 b$ — Look for a number that divides both 6 and 9. The biggest is 3.
2
$= 3 (2 a - 3 b)$ — Take out 3: 6 ÷ 3 = 2 and 9 ÷ 3 = 3, and the minus stays.
3
$- 4 a + 6 b$ — Now one that starts with a minus. We want the bracket to match 2a − 3b.
4
$= - 2 (2 a - 3 b)$ — Take out −2: −4 ÷ (−2) = 2 and 6 ÷ (−2) = −3.

Key idea

So $6 a - 9 b$ is parallel to $2 a - 3 b$ and 3 times as long. In an exam, finish with a sentence: since $6 a - 9 b = 3 (2 a - 3 b)$ , the vectors are parallel. Vector Proofs uses exactly this.

6. Which Method? Read the Question

ابحث عن عدد أمام متجه، أو عن كلمة «متوازي». إذا رأيت مضاعفات متجهات مع جمع أو طرح: اضرب أولًا ثم اجمع أو اطرح. إذا سُئلت هل هما متوازيان: اقسم العلوي على العلوي والسفلي على السفلي. إذا كان متجه يساوي عددًا من المرات متجهًا آخر والمطلوب نقطة: اضرب المتجه أولًا ثم أضفه إلى نقطة البداية. إذا كانا متوازيين وينقص عدد: أوجد عامل الضرب ثم استخدمه. ومع الحروف: أخرج العامل المشترك. أما إثبات وقوع النقاط على خط مستقيم، والجمع دون أعداد، فلهما دروس خاصة. وتذكّر أن العامل السالب يعني أيضًا التوازي، لكن المتجه يشير في الاتجاه المعاكس.

Look for a number in front of a vector, or the word parallel.

You see	You do
3a, or 2a − 3b	scale first, then add or subtract
Are they parallel?	divide top by top, bottom by bottom
HK = 3HJ, find the point K	scale the vector first, then add it to the start point
Parallel, find a missing number	find the scalar, then use it
Letters, parallel or not	take out a common factor
Prove a straight line	Vector Proofs
Adding with no scalar	Adding and Subtracting Vectors

Key idea

A negative scalar still means parallel. The vector just points the other way.

تدرّب على ضرب المتجه في كمية قياسية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح ضرب المتجه في كمية قياسية

1. What a Scalar Does

2. Multiplying and Combining

3. A Multiple of a Move, Then a Point

4. Parallel Means a Multiple

5. Letter Vectors: Take Out a Factor

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على ضرب المتجه في كمية قياسية

أسئلة امتحانات سابقة على ضرب المتجه في كمية قياسية، محلولة ومشروحة بالعربي