شرح جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد العشرية

Adding, Subtracting, Multiplying and Dividing Decimals

يأتي في امتحانات Cambridge O Level Maths 4024 · Cambridge IGCSE Maths 0580

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Decimal Arithmetic Is

في ورقة الامتحان بدون آلة حاسبة تجري العمليات الأربع على الأعداد العشرية بيدك، ولكل عملية قاعدة واحدة تخص الفاصلة العشرية. في الجمع والطرح: رتّب الفواصل تحت بعضها واملأ الخانات الفارغة بالأصفار. في الضرب: تجاهل الفواصل أولًا، ثم عُدّ المنازل العشرية. في القسمة على عدد عشري: اجعل المقسوم عليه عددًا صحيحًا. وفي القسمة على عدد صحيح: تبقى الفاصلة في مكانها.

On a non-calculator paper you add, subtract, multiply and divide decimals by hand. Each operation has one rule about the decimal point.

To	Do this
Add or subtract	line up the points, fill gaps with 0
Multiply	ignore the points, then count decimal places
Divide by a decimal	make the number you divide by whole
Divide by a whole number	the point stays where it is

Key idea

Decimals reached most of Europe through a small 1585 booklet by Simon Stevin, a Flemish engineer. It was called The Tenth. He wanted merchants to add and multiply fractions as easily as whole numbers.

2. Multiplying Decimals

هذا أشهر سؤال على الأعداد العشرية: ضرب عددين عشريين. اضرب الأرقام كأنها أعداد صحيحة وانسَ الفاصلة مؤقتًا. ثم عُدّ المنازل بعد الفاصلة في العددين معًا، واجعل في الناتج العدد نفسه من المنازل العشرية. الخطأ الشائع أن تضع منازل أقل من اللازم؛ تذكّر أن ضرب عددين أصغر من الواحد يعطي ناتجًا أصغر من كليهما، فإن كان ناتجك أكبر فهو خطأ. والطريقة نفسها تصلح إذا كان أحد العددين صحيحًا.

The 1-mark question: work out something like $0.05 \times 0.3$ . It is the most common decimal question on the paper.

Rule

Multiply the digits as whole numbers. Then the answer has as many decimal places as the two numbers together.

Worked example

1
$5 \times 3 = 15$ — forget the points for now
2
$0.05 : 2 places$ — count the digits after the point
3
$0.3 : 1 place$ — and in the other number
4
$2 + 1 = 3 places$ — three places in the answer
5
$0.05 \times 0.3 = 0.015$ — 15 with three decimal places

Common mistake

Writing 0.15. Two numbers smaller than 1 multiply to something smaller than both. 0.15 is bigger than 0.05, so it cannot be right.

Key idea

A whole number works the same way. $40 \times 0.3$ : $40 \times 3 = 120$ , one decimal place gives 12.0, so the answer is 12.

3. Dividing by a Decimal

القسمة على عدد عشري صعبة على الورق، لذلك نحوّلها إلى قسمة على عدد صحيح. اضرب العددين كليهما في عشرة أو في مئة حتى يصبح المقسوم عليه عددًا صحيحًا، والناتج لا يتغير. بعد ذلك أجرِ قسمة عادية سهلة. الخطأ الشائع أن تغيّر المقسوم عليه وحده فيخرج الناتج أصغر بعشر مرات؛ ما تفعله بأحد العددين افعله بالآخر. ولاحظ أن القسمة على عدد أصغر من الواحد تعطي ناتجًا أكبر، لأنك تسأل: كم مرة يدخل هذا الجزء الصغير في العدد؟

The 1-mark question: work out something like $72 \div 0.3$ . You cannot divide by 0.3 on paper, so change it into a division by a whole number.

Rule

Multiply BOTH numbers by 10, or by 100, until the number you divide by is whole. The answer does not change.

Worked example

1
$72 \div 0.3$ — 0.3 has one decimal place
2
$720 \div 3$ — both numbers × 10
3
$720 \div 3 = 240$ — an easy whole number division
4
$72 \div 0.3 = 240$ — same answer as before

Common mistake

Changing only the 0.3. $72 \div 3 = 24$ is ten times too small. Whatever you do to one number, do to the other.

Key idea

Why the answer is bigger: $1.5 \div 0.5$ asks how many halves fit in 1.5. Three fit, and $15 \div 5 = 3$ too.

4. Dividing a Decimal by a Whole Number

عند قسمة عدد عشري على عدد صحيح استخدم القسمة المختصرة كالمعتاد. الفاصلة في الناتج تُكتب فوق الفاصلة في العدد المقسوم تمامًا. في المثال: اقسم الجزء الصحيح أولًا واحتفظ بالباقي، ثم ضع الفاصلة في الناتج، ثم انقل الباقي إلى الرقم التالي وأكمل القسمة. الخطأ الشائع أن تتوقف عند وجود باقٍ؛ أضف أصفارًا بعد الفاصلة واستمر في القسمة حتى ينتهي الباقي.

The 1-mark question: work out something like $25.8 \div 6$ . Use short division. The point in the answer goes straight above the point in the number.

Worked example

1
$25 \div 6 = 4 r 1$ — 6 into 25 goes 4 times, 1 left
2
$4. \dots$ — write the point straight above the point
3
$18 \div 6 = 3$ — carry the 1 to the 8 to make 18
4
$25.8 \div 6 = 4.3$ — the point stayed in line

Common mistake

Stopping with a remainder. Add zeros after the point and keep going: $7.3 \div 4 = 7.300 \div 4 = 1.825$ .

5. Adding and Subtracting Decimals

في جمع الأعداد العشرية وطرحها اكتب أحد العددين فوق الآخر بحيث تكون الفاصلتان على خط واحد. إذا كان أحد العددين فيه منازل أقل، أضف صفرًا في آخره حتى يتساوى عدد المنازل. ثم اطرح أو اجمع عمودًا عمودًا كما تفعل مع الأعداد الصحيحة. الخطأ الشائع أن ترتّب الأرقام الأخيرة تحت بعضها بدل ترتيب الفواصل، فيقع الرقم في غير منزلته؛ الأعشار تحت الأعشار والأجزاء من مئة تحت الأجزاء من مئة.

The 1-mark question: work out something like $4.2 - 1.75$ . Write one number above the other with the points in a line.

Worked example

1
$4.2 = 4. 20$ — fill the gap with 0 so both have two places
2
$4.20 - 1.75$ — points in a line, digits in their columns
3
$= 2.45$ — subtract column by column, as with whole numbers

Common mistake

Lining up the last digits. $0.86 - 0.3$ is $0.56$ , not 0.83. The 3 is three tenths, so it goes under the 8.

Key idea

Adding works the same way: $12.40 + 3.75 = 16.15$ .

6. Is the Answer Sensible?

خطأ صغير في مكان الفاصلة يجعل الإجابة أكبر أو أصغر بعشر مرات أو بمئة مرة، والتقدير السريع يكشف ذلك. قرّب كل عدد إلى رقم معنوي واحد واحسب العملية السهلة في ذهنك، ثم تأكد أن إجابتك قريبة من هذا التقدير. في المثال قرّبنا العدد الأول ثم قدّرنا كم مرة يدخل المقسوم عليه فيه، فعرفنا أي إجابة معقولة وأيها مستحيلة. وتذكّر: الضرب في عدد أصغر من الواحد يصغّر الناتج، والقسمة عليه تكبّره.

A slip with the point makes the answer 10 or 100 times too big or too small. A quick estimate catches it.

Rule

Round each number to 1 significant figure and do the easy sum in your head. Your answer should be close.

Worked example

1
$4.8 \div 0.6 \approx 5 \div 0.6$ — round the 4.8
2
$\approx 8$ — 0.6 fits into 5 about 8 times
3
$4.8 \div 0.6 = 8$ — the answer 8 fits; 0.8 or 80 does not

Key idea

Multiply by a number smaller than 1: the answer gets smaller. Divide by it: the answer gets bigger.

7. Which Method? Read the Question

قبل أن تبدأ، انظر إلى العملية وإلى العدد الذي بعدها لتختار الطريقة. ضرب عددين عشريين: اضرب الأرقام ثم عُدّ المنازل. قسمة على عدد عشري: اضرب العددين في عشرة ثم اقسم. قسمة على عدد صحيح: قسمة مختصرة والفاصلة في مكانها. جمع أو طرح: رتّب الفواصل واملأ بالأصفار. أما الضرب أو القسمة على عشرة ومئة وألف، والتقدير، والتقريب لعدد من المنازل العشرية فلها دروس خاصة بها. وقبل كتابة الإجابة اسأل نفسك: هل يجب أن تكون أكبر أم أصغر من أعداد السؤال؟

Look at the operation and at the number after it.

You see	You do
0.05 × 0.3	multiply digits, count decimal places
72 ÷ 0.3	× 10 both numbers, then divide
25.8 ÷ 6	short division, point stays in line
4.2 − 1.75	line up the points, fill with 0
× or ÷ by 10, 100, 1000	Understanding Decimal Place Value
Given 36 × 52 = 1872, find 3.6 × 5.2	Understanding Decimal Place Value
Estimate to 1 significant figure	Estimation
Give the answer to 2 decimal places	Rounding to Decimal Places

Key idea

Before you write the answer, ask: should it be bigger or smaller than the numbers in the question?

تدرّب على جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد العشرية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد العشرية

1. What Decimal Arithmetic Is

2. Multiplying Decimals

3. Dividing by a Decimal

4. Dividing a Decimal by a Whole Number

5. Adding and Subtracting Decimals

6. Is the Answer Sensible?

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد العشرية

أسئلة امتحانات سابقة على جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد العشرية، محلولة ومشروحة بالعربي