شرح الأشكال الرباعية الدائرية

Cyclic Quadrilaterals

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Cyclic Quadrilateral Is

يكون الشكل الرباعي دائريًا عندما تقع رؤوسه الأربعة كلها على الدائرة نفسها، ونسمّيه بترتيب رؤوسه حول الدائرة. القاعدة: كل زاويتين متقابلتين فيه مجموعهما مئة وثمانون درجة، فالرأس الأول يقابل الثالث، والثاني يقابل الرابع. انتبه: الشكل الذي أحد رؤوسه عند مركز الدائرة ليس دائريًا، لأن المركز داخل الدائرة وليس عليها.

A quadrilateral is cyclic when all four corners sit on the same circle. Name it in order round the circle, like ABCD.

Rule

Opposite angles of a cyclic quadrilateral add up to $18 0^{\circ}$ . So A pairs with C, and B pairs with D.

Common mistake

A shape with a corner at the centre O is not cyclic. O is inside the circle, not on it.

2. Opposite Angles Add to 180°

هذا سؤال بدرجتين: درجة للزاوية ودرجة للسبب. ابدأ بالزاوية المعطاة، ثم امشِ حول الشكل بالترتيب لتعرف أي رأس يقابلها: الرأس المقابل هو الذي يبعد رأسين، لا الرأس المجاور. بعد ذلك اطرح الزاوية المعطاة من مئة وثمانين درجة، ثم تحقق أن مجموعهما مئة وثمانون. واكتب السبب: الزاويتان المتقابلتان في الشكل الرباعي الدائري مجموعهما مئة وثمانون درجة. الخطأ الشائع: استخدام الزاوية المجاورة، والزوايا المتجاورة لا يلزم أن يكون مجموعها مئة وثمانين.

The 2-mark question: find one angle, then give the reason. One mark each.

Worked example

1
$∠ B A D = 7 6^{\circ}$ — This is the angle you are given, at corner A.
2
$A and C are opposite$ — Go round the shape A, B, C, D. C is two corners on from A, so it is the opposite corner, not a neighbour.
3
$∠ B C D = 18 0^{\circ} - 7 6^{\circ}$ — Opposite angles of a cyclic quadrilateral add up to 180°, so take the given angle away from 180°.
4
$∠ B C D = 10 4^{\circ}$ — Do the subtraction. Check: 76 + 104 = 180.

Rule

Reason: opposite angles of a cyclic quadrilateral add up to 180°.

Common mistake

Taking the angle next to it instead of the opposite one. Neighbours in a cyclic quadrilateral do not have to add to $18 0^{\circ}$ .

3. The Exterior Angle

أحيانًا يُمدّ أحد الأضلاع خارج الشكل، فتتكوّن زاوية خارجية. أولًا: الزاوية الخارجية والزاوية الداخلية بجانبها على خط مستقيم، فمجموعهما مئة وثمانون درجة، ومنها تجد الزاوية الداخلية. ثانيًا: حدّد الرأس المقابل لهذه الزاوية الداخلية. ثالثًا: اطرح الزاوية الداخلية من مئة وثمانين لأن المتقابلتين في الشكل الرباعي الدائري مجموعهما مئة وثمانون. ستلاحظ أن الناتج يساوي الزاوية الخارجية نفسها، فالزاوية الخارجية تساوي الزاوية الداخلية المقابلة. لكن اكتب السببين كليهما في الامتحان.

Sometimes one side is made longer, past the corner. The angle outside the shape is the exterior angle.

Worked example

1
$∠ B C E = 8 1^{\circ}$ — DC is made longer past C to a point E. The 81° sits outside the shape, between CE and CB.
2
$∠ B C D = 18 0^{\circ} - 8 1^{\circ} = 9 9^{\circ}$ — DCE is a straight line, and angles on a straight line add up to 180°. This gives the inside angle at C.
3
$A is opposite C$ — Going round A, B, C, D, corner A is across from corner C.
4
$∠ B A D = 18 0^{\circ} - 9 9^{\circ} = 8 1^{\circ}$ — Opposite angles of a cyclic quadrilateral add up to 180°. The answer matches the exterior angle.

Key idea

The exterior angle equals the interior opposite angle. Both are $8 1^{\circ}$ . Still write both reasons in the exam.

4. Angles in Algebra

كثيرًا ما تُكتب الزوايا بحرف مجهول، فنستخدم الأزواج المتقابلة لنكوّن معادلات. ابدأ بالزوج المتقابل الذي لا يحتوي إلا على المجهول، واجعل مجموعه مئة وثمانين، ثم اجمع الحدود المتشابهة واقسم لتجد قيمة المجهول. بعد ذلك عوّض بها في الزاوية المقابلة للزاوية المطلوبة، واطرح من مئة وثمانين. وللتحقق: مجموع الزوايا الأربع ثلاثمئة وستون درجة كأي شكل رباعي. اكتب المعادلة أولًا لأنها تمنحك درجة على خطوات الحل. وإذا أُعطيت نسبة بين زاويتين متقابلتين، فاجمع أجزاء النسبة، ثم اقسم مئة وثمانين، لا ثلاثمئة وستين، على عدد الأجزاء لتعرف قيمة الجزء الواحد، ثم اضربها في أجزاء كل زاوية.

Exams often write the angles with a letter. Use the opposite pairs to make equations.

A cyclic quadrilateral has angles, in order round the circle, $p^{\circ}$ , $7 n^{\circ}$ , $(3 n + 19)^{\circ}$ and $5 n^{\circ}$ . Find p.

Worked example

1
$7 n + 5 n = 180$ — 7n and 5n are opposite, so they add up to 180°. Start with the pair that has only n in it.
2
$12 n = 180$ — Collect the n terms: 7n + 5n = 12n.
3
$n = 15$ — Divide both sides by 12.
4
$3 (15) + 19 = 64$ — Put n = 15 into the angle opposite p.
5
$p = 180 - 64 = 116$ — p and 64° are opposite, so they add up to 180°.
6
$116 + 105 + 64 + 75 = 360$ — Check: 7n = 105 and 5n = 75. All four angles add up to 360°, as in any quadrilateral.

Key idea

Write the equation down first. The equation 7n + 5n = 180 earns a mark for working even if you slip later.

Sometimes you get a ratio instead. Here p and m are opposite, $p : m = 4 : 5$ , and y is opposite $(m - 15)^{\circ}$ . Find y.

Worked example

1
$4 + 5 = 9 parts$ — The opposite pair shares 180° in the ratio 4 : 5. Add the ratio numbers to get the total parts.
2
$180 \div 9 = 20$ — Share 180, not 360: only the opposite pair adds up to 180°. One part is 20°.
3
$m = 5 \times 20 = 100$ — m has 5 parts.
4
$m - 15 = 85$ — Work out the angle opposite y.
5
$y = 180 - 85 = 95$ — y and 85° are opposite, so they add up to 180°.

5. Is It Cyclic?

القاعدة تعمل بالعكس أيضًا: إذا كان مجموع زاويتين متقابلتين مئة وثمانين درجة، فالرؤوس الأربعة تقع على دائرة والشكل دائري، وإن لم يكن كذلك فليس دائريًا. في المثال لا نعرف بعد أن الشكل دائري، لذلك نبدأ بحقيقة صحيحة لكل شكل رباعي: مجموع زواياه ثلاثمئة وستون درجة. نجمع حدود المجهول وحدها، ثم الأعداد وحدها مع الانتباه لإشارة السالب مع كل عدد، ثم نحل المعادلة لنجد المجهول. بعدها نحسب زاويتين متقابلتين ونبيّن أن مجموعهما مئة وثمانون، ونكتب السبب بالكلمات. الخطأ الشائع: استخدام قاعدة المئة والثمانين لإيجاد المجهول، وهي الشيء المطلوب إثباته فلا يجوز استخدامها.

Some questions ask you to show that a quadrilateral is cyclic. The rule also works backwards.

Rule

If a pair of opposite angles adds up to 180°, the four corners lie on a circle, so the quadrilateral is cyclic. If they do not add up to 180°, it is not cyclic.

Quadrilateral ABCD has $A = (x + 10)^{\circ}$ , $B = 2 x^{\circ}$ , $C = (3 x - 50)^{\circ}$ and $D = (2 x - 40)^{\circ}$ . Show that ABCD is cyclic.

Worked example

1
$(x + 10) + 2 x + (3 x - 50) + (2 x - 40) = 360$ — You do not know yet that it is cyclic, so use the fact true for every quadrilateral: the angles add up to 360°.
2
$x + 2 x + 3 x + 2 x = 8 x$ — Collect the x terms first.
3
$10 + (- 50) + (- 40) = - 80$ — Now collect the numbers. Keep each minus sign with its number.
4
$8 x - 80 = 360$ — Put the two parts together.
5
$8 x = 440$ — Add 80 to both sides.
6
$x = 55$ — Divide both sides by 8.
7
$A = 55 + 10 = 65, C = 3 (55) - 50 = 115$ — Work out one pair of opposite angles, A and C.
8
$65 + 115 = 180$ — Opposite angles add up to 180°, so ABCD is a cyclic quadrilateral. Write this reason in words.

Common mistake

Using "opposite angles add up to 180°" to find x. That is the thing you must show, so you cannot use it. Find x from 360° first.

6. Which Method? Read the Question

قبل أي شيء تأكد أن الرؤوس الأربعة كلها على الدائرة. إذا كانت كذلك فالزاويتان المتقابلتان مجموعهما مئة وثمانون درجة. وإذا مُدّ ضلع خارج الشكل فاستخدم الخط المستقيم أولًا ثم الزاوية المقابلة. وإذا كانت الزوايا مكتوبة بمجهول فاجعل مجموع الزوج المتقابل مئة وثمانين وحُلّ المعادلة. وإذا طُلب منك إثبات أن الشكل دائري فاستخدم مجموع الزوايا ثلاثمئة وستين لإيجاد المجهول، ثم تحقق أن زوجًا متقابلًا مجموعه مئة وثمانون. وإذا كان أحد الرؤوس عند المركز فهذه قاعدة الزاوية المركزية، وإذا اجتمعت عدة حقائق في رسم واحد فاجمع بين نظريات الدائرة. وعندما يطلب السؤال سببًا اكتب الجملة كاملة لا اختصارًا.

First check that all four corners are on the circle.

You see	You do
Four corners on the circle	opposite angles add to 180°
A side extended past a corner	straight line, then opposite angle
Angles in algebra	opposite pair adds to 180, solve
"Show that it is cyclic"	360° to find x, then check an opposite pair is 180°
A corner at the centre O	Angle at the Centre
Several facts in one diagram	Combining Circle Theorems

Key idea

If the question says "give a reason", write the words in full, not just "cyclic quad".

تدرّب على الأشكال الرباعية الدائرية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الأشكال الرباعية الدائرية

1. What a Cyclic Quadrilateral Is

2. Opposite Angles Add to 180°

3. The Exterior Angle

4. Angles in Algebra

5. Is It Cyclic?

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على الأشكال الرباعية الدائرية

أسئلة امتحانات سابقة على الأشكال الرباعية الدائرية، محلولة ومشروحة بالعربي