LemmaraLemmaraEnglishابدأ مجاناً

شرح الزوايا في القطعة الواحدة

Angles in the Same Segment

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Same Arc, Same Angle

خذ نقطتين على الدائرة، ثم صِلهما بنقطة ثالثة على الدائرة وبنقطة رابعة في الجهة نفسها من الوتر. الزاويتان الناتجتان متساويتان لأنهما تقفان على القوس نفسه. والسبب الذي تكتبه في الامتحان: «الزوايا المحيطية المرسومة في القطعة نفسها متساوية». ابحث عن زاويتين تخرجان من النقطتين نفسيهما وتلتقيان على الدائرة في الجهة نفسها. وعبارة «مقابلة للقوس» في الكتب تعني ببساطة أن الزاوية تقف عليه.

Pick two points A and B on a circle. Join them to a point C on the circle, and to another point D on the same side of AB.

Rule

Angle ACB equals angle ADB. Both stand on the same arc AB. Reason: angles in the same segment are equal.

Key idea

Look for two angles that start from the same two points and meet on the circle, on the same side. Books say both angles are “subtended by” the arc AB. It just means they stand on it.

2. Spot the Equal Angle

هذا سؤال بدرجة واحدة يطلب الزاوية مع السبب. أولًا انظر إلى الزاوية المعطاة: ضلعاها يذهبان إلى نقطتين على الدائرة، إذن هي تقف على القوس بينهما. ثانيًا تأكد أن الزاوية المطلوبة تقف على القوس نفسه وأن رأسها في الجهة نفسها من الوتر. عندها تنقل القيمة نفسها وتكتب السبب: الزوايا في القطعة نفسها متساوية. الخطأ الشائع: أخذ نقطة في الجهة الأخرى من الوتر، فتلك الزاوية تكمّل الزاوية المعطاة إلى مئة وثمانين درجة لأن النقاط الأربع تكوّن شكلًا رباعيًا دائريًا.

The 1-mark question asks for the angle and a reason. Find which two points the angle stands on first.

Worked example

  1. 1

    — Given. Its two arms go to A and B, so it stands on the arc AB.

  2. 2

    — Its arms go to A and B too, and D is on the same side of AB as C. So both angles are in the same segment.

  3. 3

    — Angles in the same segment are equal, so copy the 43°. Write that reason next to your answer.

Common mistake

Using a point on the other side of AB. That angle is , because the four points make a cyclic quadrilateral.

3. The Bow Tie

عندما يتقاطع وتران داخل الدائرة يظهر شكل يشبه ربطة العنق، وفيه زوجان من الزوايا المتساوية. في المثال نجد أولًا الزاوية التي تساوي الزاوية المعطاة الأولى لأنهما تقفان على القوس نفسه في الجهة نفسها، ثم نفعل الشيء نفسه مع الزاوية المعطاة الثانية. بعد ذلك صار في المثلث الصغير عند نقطة التقاطع زاويتان معلومتان، فنطرح مجموعهما من مئة وثمانين درجة لأن مجموع زوايا المثلث مئة وثمانون درجة. تذكّر: الزوايا المتساوية تقع في طرفي ربطة العنق، متقابلة عبر نقطة التقاطع.

When two chords cross inside a circle, you get a bow tie shape. It hides two pairs of equal angles.

A, B, C and D are on a circle. Chords AC and BD cross at X. and . Find angle CXD.

Worked example

  1. 1

    — Both stand on BC, and A and D are on the same side of BC. Angles in the same segment are equal.

  2. 2

    — Both stand on AD, and B and C are on the same side of AD. Same reason.

  3. 3

    — Triangle CXD has 35° at D and 29° at C. Angles in a triangle add up to 180°.

  4. 4

    — 35 + 29 = 64, and 180 − 64 = 116.

Key idea

The equal angles sit at the ends of the bow tie, opposite each other across the crossing.

4. Copy, Then Use the Triangle

كثيرًا ما يعطيك الامتحان زاوية تنقلها، ثم مثلثًا تكمل به الحل. الخطوة الأولى: انقل الزاوية المعطاة إلى الزاوية التي تقف على القوس نفسه في الجهة نفسها، لأن الزوايا في القطعة نفسها متساوية. الخطوة الثانية: صار في المثلث زاويتان معلومتان، فاطرحهما من مئة وثمانين درجة لتجد الثالثة. الخطوة الثالثة: انقل هذه الزاوية الجديدة بالسبب نفسه إلى زاوية أخرى تقف على قوسها. وفي النهاية تحقق: الزاويتان المتقابلتان في الشكل الرباعي الدائري مجموعهما مئة وثمانون درجة. اكتب سطر الطرح كاملًا حتى لو حسبته في ذهنك، فهو يمنحك درجة على خطوات الحل.

Exams often give one angle to copy across, then a triangle to finish. Copy first, then add up to 180°.

ABCD is a cyclic quadrilateral with diagonals AC and BD. and . Find angle ACB and angle BDC.

Worked example

  1. 1

    — Given. It stands on AB.

  2. 2

    — C is on the same side of AB as D, so ACB stands on AB too. Angles in the same segment are equal.

  3. 3

    — Triangle ABC now has two known angles: 97° at B and 38° at C. Angles in a triangle add up to 180°.

  4. 4

    — 97 + 38 = 135, and 180 − 135 = 45.

  5. 5

    — BDC and BAC both stand on BC, on the same side. Angles in the same segment are equal, so copy the 45°.

  6. 6

    — Check: 83 + 97 = 180, as opposite angles of a cyclic quadrilateral must be.

Key idea

Write the line even if you can do it in your head. If you slip on the arithmetic, that line still earns a mark for working.

5. Which Method? Read the Question

قبل أن تختار الطريقة، حدّد النقطتين اللتين تقف عليهما كل زاوية. إذا كانت زاويتان محيطيتان على القوس نفسه وفي الجهة نفسها فهما متساويتان. وإذا كانتا في جهتين متقابلتين فاستخدم قاعدة الشكل الرباعي الدائري. وإذا كانت إحدى الزاويتين عند المركز فاستخدم قاعدة الزاوية المركزية. ووتران متقاطعان يعنيان شكل ربطة العنق وفيه زوجان متساويان. وإذا كانت هناك زاوية تنقلها ثم مثلث، فانقل أولًا ثم استخدم أن مجموع زوايا المثلث مئة وثمانون درجة. اكتب السبب كاملًا: «الزوايا في القطعة نفسها متساوية»، واحسب الزاوية بعناية لأن بعض الامتحانات لا تعطي درجة السبب إلا إذا كانت الزاوية صحيحة.

Find the two points each angle stands on.

You seeYou do
Two edge angles on one arc, same sidethey are equal
Two edge angles on one arc, opposite sidesCyclic Quadrilaterals
One angle at the centre OAngle at the Centre
Two crossing chordsbow tie: two equal pairs
Equal angles plus a trianglecopy the angle, then angles in a triangle add up to 180°

Key idea

Write the full reason: “angles in the same segment are equal”. “Angles on the same arc are equal” also scores. Some exams give the reason mark only when your angle is right, so find the angle carefully first.

تدرّب على الزوايا في القطعة الواحدة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

أسئلة امتحانات سابقة على الزوايا في القطعة الواحدة، محلولة ومشروحة بالعربي