شرح الزاوية بين مستقيم ومستوى

Angle Between a Line and a Plane

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The Shadow of a Line

تخيّل خطًا مائلًا يستند إلى سطح مستوٍ. إذا سلّطنا ضوءًا من فوق تمامًا، فظل الخط على المستوى يسمى المسقط. الطريقة ثلاث خطوات: أنزل عمودًا من أعلى الخط إلى المستوى، ثم صِل موقع هذا العمود بالنقطة التي يلتقي فيها الخط بالمستوى فيكون هذا هو المسقط، ثم استعمل المثلث القائم. القاعدة: الزاوية بين خط ومستوى هي الزاوية بين الخط ومسقطه، والزاوية القائمة عند موقع العمود.

A line leans against a flat surface, a plane. Shine a light straight down: its shadow on the plane is called the projection.

Steps

1
Drop: from the top of the line, go straight down to the plane.
2
Join: from that foot to where the line meets the plane. This is the projection.
3
Use the right triangle: the angle is between the line and its projection.

Rule

The angle between a line and a plane is the angle between the line and its projection. The right angle is at the foot of the drop.

2. Drop, Join, Tan

المطلوب الزاوية بين خط ووجه في متوازي مستطيلات، والطريقة: أنزل عمودًا، ثم صِل، ثم استعمل الظل. نقطة أعلى الخط تقع فوق أحد رؤوس الوجه تمامًا، فالحرف الرأسي هو العمود. نصل ذلك الرأس بالنقطة التي يلتقي فيها الخط بالوجه، فيكون المسقط قطر الوجه، ونحسبه بفيثاغورس. في المثلث القائم: الحرف الرأسي يقابل الزاوية والمسقط مجاور لها، فنستعمل الظل ثم معكوسه ونقرّب لمنزلة عشرية واحدة. وإذا كان طول الخط نفسه معطى فلا نحتاج إلى المسقط: الارتفاع مقابل والخط هو الوتر، فنستعمل الجيب مباشرة. الخطأ الشائع أخذ حرف الوجه بدل قطره. سمِّ المسقط وضع الزاوية القائمة على الرسم لأن معظم الدرجات على خطوات الحل.

The 3-mark question in a cuboid. Find the angle between $B H$ and the face $E F G H$ . $B$ is straight above $F$ , with $B F = 4$ , $E F = 6$ and $F G = 3$ .

Worked example

1
$drop B to F$ — $B$ is straight above $F$ , so $B F$ is the perpendicular and $F$ is the foot.
2
$join F to H$ — $H$ is where $B H$ meets the face $E F G H$ . The projection is $F H$ , the shadow of $B H$ .
3
$F H^{2} = 6^{2} + 3^{2}$ — $F H$ is the diagonal of the rectangle $E F G H$ , the longest side of a right triangle with sides 6 and 3.
4
$F H^{2} = 36 + 9 = 45$ — Square each side and add.
5
$tan θ = \frac{B F}{F H} = \frac{4}{45}$ — Triangle $B F H$ has its right angle at $F$ . $B F$ is across from $θ$ (opposite) and $F H$ is next to it (adjacent). Opposite and adjacent mean tan.
6
$θ = tan^{- 1} (0.5963 \dots)$ — We know the ratio and want the angle, so use inverse tan.
7
$θ = 30. 8^{\circ}$ — Round the angle to 1 decimal place.

If the length of the line itself is given, you do not need the projection. In another cuboid, $B F = 5$ and $B H = 13$ .

Worked example

1
$sin θ = \frac{B F}{B H} = \frac{5}{13}$ — $B F$ is opposite $θ$ and $B H$ is the hypotenuse. You know both, so sin works directly.
2
$θ = 22. 6^{\circ}$ — Inverse sin, rounded to 1 decimal place.

Common mistake

Using the edge $E F = 6$ as the adjacent side: $tan^{- 1} \frac{4}{6} = 33. 7^{\circ}$ . The projection runs all the way to $H$ , which is the face diagonal.

Key idea

Name the projection and mark the right angle on your sketch. Most of the marks are for the working, so a clear line like “ $tan θ = \frac{4}{F H}$ ” earns marks even if the arithmetic slips.

3. Starting at a Midpoint

في الأسئلة الأصعب يبدأ الخط من منتصف حرف علوي. ننزل العمود بالطريقة نفسها، فيقع موقعه في منتصف الحرف المقابل في القاعدة. نحسب نصف طول ذلك الحرف، ثم نحسب المسقط بفيثاغورس في مثلث قائم على القاعدة. بعدها في المثلث القائم الرأسي: الارتفاع يقابل الزاوية والمسقط مجاور لها، فنستعمل الظل ثم معكوسه ونقرّب لمنزلة عشرية واحدة. الخطأ الشائع وضع الزاوية في الأعلى؛ الزاوية مع المستوى دائمًا عند النقطة التي يلتقي فيها الخط بالمستوى.

Harder questions start the line at a midpoint. Drop it the same way. The foot is a midpoint on the base.

A cuboid has base $A B C D$ with $A B = 8$ and $A D = 4$ , and height 5. $M$ is the middle of the top edge above $D C$ . Find the angle between $A M$ and the base.

Worked example

1
$M drops to N, N the middle of D C$ — Drop $M$ straight down to the base. $M$ is the middle of the top edge, so its foot $N$ is the middle of $D C$ .
2
$D N = \frac{1}{2} \times 8 = 4$ — $N$ is halfway along $D C$ , which is 8 long.
3
$A N^{2} = 4^{2} + 4^{2}$ — The projection $A N$ is the longest side of triangle $A D N$ , with its right angle at $D$ . $A D = 4$ and $D N = 4$ .
4
$A N^{2} = 32$ — 16 + 16 = 32.
5
$tan θ = \frac{M N}{A N} = \frac{5}{32}$ — Triangle $M N A$ has its right angle at $N$ . $M N$ is the height 5 (opposite) and $A N$ is the projection (adjacent). Opposite and adjacent mean tan.
6
$θ = 41. 5^{\circ}$ — Inverse tan, rounded to 1 decimal place.

Common mistake

Naming the angle at the top, $A M N$ . The angle with the plane is always where the line meets the plane: $M A N$ .

4. The Angle With a Side Face

أحيانًا لا يكون المستوى هو القاعدة بل وجهًا جانبيًا قائمًا، فننزل العمود أفقيًا على ذلك الوجه. أولًا حدّد الوجه الذي يذكره السؤال. ثانيًا ابحث عن حرف عمودي على هذا الوجه، أي عمودي على حرفين فيه، فيكون هو العمود وموقعه أحد رؤوس الوجه. ثالثًا صِل هذا الرأس بالنقطة التي يلتقي فيها الخط بالوجه، فهذا هو المسقط، وهو قطر الوجه ونحسبه بفيثاغورس. رابعًا في المثلث القائم: العمود يقابل الزاوية والمسقط مجاور لها، فنستعمل الظل ثم معكوسه. الخطأ الشائع إنزال العمود على القاعدة بحكم العادة، فتحصل على زاوية أخرى؛ انظر أي مستوى يذكره السؤال.

Sometimes the plane is not the ground. For an upright face, you drop the perpendicular sideways onto that face.

A cuboid $A B C D E F G H$ has $A, B, C, D$ on the top and $E, F, G, H$ directly below them. $E F = 9$ , $F G = 6$ and $B F = 4$ . Find the angle between $E C$ and the face $A B F E$ .

Worked example

1
$plane = A B F E$ — The plane is the upright face $A B F E$ , so the perpendicular must meet that face, not the base.
2
$C drops to B$ — $B C$ is at right angles to both $A B$ and $B F$ , so $B C$ is perpendicular to the face. The foot is $B$ .
3
$join B to E$ — $E$ is where $E C$ meets the face. The projection is $E B$ .
4
$E B^{2} = 9^{2} + 4^{2}$ — $E B$ is the diagonal of the rectangle $A B F E$ : the longest side of a right triangle with sides 9 and 4.
5
$E B^{2} = 81 + 16 = 97$ — Square each side and add.
6
$tan θ = \frac{B C}{E B} = \frac{6}{97}$ — Triangle $E B C$ has its right angle at $B$ . $B C = 6$ is across from $θ$ (opposite) and $E B$ is adjacent.
7
$θ = 31. 4^{\circ}$ — Inverse tan, rounded to 1 decimal place.

Common mistake

Dropping to the base out of habit. That gives the angle with the base, a different angle. Look at which plane the question names.

5. Angle in a Prism

أسئلة المنشور تخفي المثلث نفسه، وقمة المنشور غالبًا حافة فوق منتصف القاعدة. الوجه الطرفي مثلث متساوي الساقين، فالقمة تقع فوق منتصف ضلع القاعدة تمامًا. أولًا نأخذ نصف ذلك الضلع، ثم نجد ارتفاع المنشور بفيثاغورس بالطرح لأن الضلع المائل هو الوتر. ثانيًا نجد المسقط على القاعدة بفيثاغورس في مثلث قائم داخل القاعدة المستطيلة. ثالثًا في المثلث القائم الرأسي: الارتفاع يقابل الزاوية والمسقط مجاور لها، فنستعمل الظل ثم معكوسه ونقرّب لمنزلة عشرية واحدة. السؤال الأول دائمًا في أي منشور: فوق أي نقطة من القاعدة تقع القمة؟ تلك النقطة هي موقع العمود.

Prism questions hide the same triangle. The top of a prism is often a ridge above the middle of the base.

A triangular prism has a rectangular base $A B E F$ with $A B = 10$ and $B E = 8$ . The end face $A B C$ is isosceles with $A C = B C = 13$ , and $C$ is the top. Find the angle between $C E$ and the base.

Worked example

1
$M is the middle of A B$ — Triangle $A B C$ is isosceles, so $C$ is straight above the middle of $A B$ . Call that point $M$ .
2
$B M = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ — $M$ is halfway along $A B$ .
3
$C M^{2} = 1 3^{2} - 5^{2}$ — Triangle $C M B$ has its right angle at $M$ . $C B$ is the longest side, so subtract.
4
$C M^{2} = 169 - 25 = 144, C M = 12$ — Take 25 from 169, then take the square root. $C M$ is the height of the prism.
5
$M E^{2} = 5^{2} + 8^{2}$ — The projection of $C E$ is $M E$ . It is the longest side of triangle $M B E$ , with its right angle at $B$ .
6
$M E^{2} = 89$ — 25 + 64 = 89.
7
$tan θ = \frac{C M}{M E} = \frac{12}{89}$ — Triangle $C M E$ has its right angle at $M$ . $C M$ is across from $θ$ (opposite) and $M E$ is next to it (adjacent).
8
$θ = 51. 8^{\circ}$ — Inverse tan, rounded to 1 decimal place.

Key idea

In any prism, first ask: which point of the base is the top vertex directly above? That point is the foot of the perpendicular.

6. Which Method? Read the Question

الخطوات: أنزل عمودًا، صِل المسقط، ثم جد المثلث القائم. زاوية بين خط ومستوى: أنزل وصِل المسقط ثم الظل. تعرف طول الخط والارتفاع: الجيب، أي الارتفاع على طول الخط. المستوى وجه جانبي قائم: أنزل العمود أفقيًا على ذلك الوجه ثم الظل. منشور له حافة علوية أو سطح مائل: حدّد فوق أي نقطة من القاعدة تقع القمة. الخط يبدأ من منتصف حرف: أنزل إلى منتصف في القاعدة. أطوال فقط بلا زاوية: درس متوازي المستطيلات، والهرم والمخروط لهما درسهما. وإذا أُعطيت الأضلاع على صورة نسبة فاستعمل أعداد النسبة نفسها أطوالًا، لأن الزاوية لا تتغير بتغيّر الحجم.

Drop, join, then find the right triangle.

You see	You do
Angle between a line and a plane	drop, join the projection, then tan
You know the line and the height	sin: height over the line
Plane is an upright face	drop sideways onto that face, then tan
A prism with a ridge or sloping top	find where the top vertex sits above the base
Line starts at a midpoint	drop to a midpoint on the base
Lengths only, no angle	Trigonometry in 3D: Cuboids
A pyramid or a cone	Trigonometry in 3D: Pyramids and Cones

Key idea

Sides given as a ratio, like 4 : 2 : 3? Just use 4, 2 and 3. The angle does not change with size.

تدرّب على الزاوية بين مستقيم ومستوى

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الزاوية بين مستقيم ومستوى

1. The Shadow of a Line

2. Drop, Join, Tan

3. Starting at a Midpoint

4. The Angle With a Side Face

5. Angle in a Prism

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على الزاوية بين مستقيم ومستوى

أسئلة امتحانات سابقة على الزاوية بين مستقيم ومستوى، محلولة ومشروحة بالعربي