شرح أقصر مسافة من نقطة إلى مستقيم

Shortest Distance from a Point to a Line

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Straight Across Is Shortest

من نقطة إلى مستقيم توجد طرق كثيرة، وأقصرها هو الذي يلتقي بالمستقيم بزاوية قائمة، ويسمى البعد العمودي. أي طريق مائل يكون أطول لأنه وتر في مثلث قائم. انتبه أن عبارات مثل «أقصر مسافة» و«أقرب ما يصل إليه» و«الارتفاع العمودي» كلها تعني الخط العمودي نفسه.

From a point to a straight line there are many paths. The shortest one meets the line at a right angle. This is the perpendicular distance.

Rule

The shortest distance from a point to a line is the perpendicular. Any slanted path is longer, because it is the hypotenuse of a right triangle.

Key idea

"Shortest distance", "how close does it get" and "perpendicular height" all mean the same line.

2. Using Sine

نعرف المسافة على خط مائل والزاوية التي يصنعها مع المستقيم. أقصر مسافة تلتقي بالمستقيم بزاوية قائمة، فهي تقابل الزاوية، والخط المائل هو الوتر، فنستعمل الجيب. نضرب الطرفين في الوتر لنعزل المسافة، ونحسب بالآلة الحاسبة بنظام الدرجات ونقرّب لثلاثة أرقام معنوية مع الوحدة. الخطأ الشائع استعمال جيب التمام، فهو يعطي المسافة على امتداد الساحل لا البعد عنه. وفي الاتجاه العكسي، إذا أُعطيت أقصر مسافة والمطلوب الخط المائل، فالمجهول في المقام: نضرب الطرفين فيه ثم نقسم على جيب الزاوية. تحقّق أن الخط المائل أطول دائمًا من أقصر مسافة.

You know how far the point is along a slanted line, and the angle that line makes. The distance you want is opposite the angle, and the slanted line is the hypotenuse.

A boat $P$ is 12 km from a harbour $A$ . The line $A P$ makes 35° with the straight coast. How close is $P$ to the coast?

Worked example

1
$sin 3 5^{\circ} = \frac{d}{12}$ — The shortest distance $d$ meets the coast at a right angle, so it is opposite the 35° angle. The slanted 12 km is the hypotenuse.
2
$d = 12 \times sin 3 5^{\circ}$ — Multiply both sides by 12 to get $d$ on its own.
3
$d = 12 \times 0.5736 = 6.883$ — Put $sin 3 5^{\circ}$ into your calculator, which must be in degrees mode.
4
$d = 6.88 km$ — Round to 3 significant figures and give the units.

Common mistake

Using cos: $12 cos 3 5^{\circ} = 9.83$ is how far along the coast, not the distance to it.

Sometimes the shortest distance is given and the slanted length is wanted. A boat $B$ is 7.5 km from a straight coast at its closest point. The line from $B$ to a harbour $H$ makes 28° with the coast. How far is $B$ from $H$ ?

Worked example

1
$sin 2 8^{\circ} = \frac{7.5}{B H}$ — The 7.5 km is the shortest distance, so it is opposite the 28° angle. The slanted line $B H$ is the hypotenuse.
2
$B H \times sin 2 8^{\circ} = 7.5$ — Multiply both sides by $B H$ to bring it out from the bottom of the fraction.
3
$B H = \frac{7.5}{s i n 2 8 ^{\circ}}$ — Divide both sides by $sin 2 8^{\circ}$ .
4
$B H = \frac{7.5}{0.46947} = 15.98$ — Work it out. Dividing by a number below 1 makes the answer bigger.
5
$B H = 16.0 km$ — Round to 3 significant figures.

Key idea

Check it makes sense. The slanted line is always longer than the shortest distance, and 16.0 is bigger than 7.5.

3. Using the Area

في المثلث، العمود النازل من رأس إلى الضلع المقابل هو الارتفاع، فنحسب المساحة أولًا ثم نعمل بالعكس. أقصر مسافة تساوي ضعف المساحة مقسومًا على القاعدة. أولًا نحسب المساحة بقانون نصف حاصل ضرب الضلعين في جيب الزاوية المحصورة. ثانيًا المساحة أيضًا نصف القاعدة في الارتفاع، فنأخذ الضلع المطلوب البعد إليه قاعدةً، ويكون الارتفاع هو أقصر مسافة. نضرب في اثنين لنتخلص من النصف ثم نقسم على القاعدة ونقرّب لثلاثة أرقام معنوية. يمكنك التحقق بالجيب مباشرة فتحصل على النتيجة نفسها. الخطأ الشائع نسيان مضاعفة المساحة، فتحصل على نصف الارتفاع.

In a triangle, the perpendicular from a corner to the opposite side is the height. Find the area first, then work back.

Formula

d = \frac{2 \times Area}{base}

A triangle has sides 10 cm and 15 cm with 40° between them. Find the shortest distance from the far end of the 10 cm side to the 15 cm side.

Worked example

1
$Area = \frac{1}{2} \times 10 \times 15 \times sin 4 0^{\circ}$ — Two sides and the angle between them, so use area = ½ab sin C.
2
$Area = 75 \times 0.6428 = 48.21 cm^{2}$ — Half of 10 × 15 is 75. Then multiply by $sin 4 0^{\circ}$ .
3
$48.21 = \frac{1}{2} \times 15 \times d$ — The area is also ½ × base × height. Take the 15 cm side as the base, so the height is the shortest distance $d$ .
4
$d = \frac{2 \times 48.21}{15}$ — Multiply both sides by 2 to remove the half, then divide by the base 15.
5
$d = \frac{96.42}{15} = 6.43 cm$ — Work it out and round to 3 significant figures.

Key idea

Check with sine: $10 sin 4 0^{\circ} = 6.43$ . Both ways agree.

Common mistake

Forgetting to double the area. Dividing 48.21 by 15 gives 3.21, which is half the height.

4. Two Steps: Find a Side First

كثيرًا ما تكون الزاوية المعطاة غير ملاصقة للمسافة المطلوبة، فنجد ضلعًا أولًا ثم نستعمل الجيب. أولًا نجد الزاوية الثالثة لأن مجموع زوايا المثلث مئة وثمانون درجة. ثانيًا نستعمل قاعدة الجيب لإيجاد ضلع يمس الزاوية التي سنستعملها، ونحتفظ بأربعة أرقام لأننا سنستعمله مرة أخرى. ثالثًا نرسم أقصر مسافة من الرأس عموديًا على الضلع المقابل، فيتكوّن مثلث قائم: أقصر مسافة تقابل الزاوية والضلع الذي حسبناه هو الوتر، فنضرب الوتر في جيب الزاوية ونقرّب لثلاثة أرقام معنوية. يمكن التحقق بطريق آخر فتخرج النتيجة نفسها. الخطأ الشائع التوقف عند الضلع المائل؛ انتهِ دائمًا بالعمود.

Often the angle you are given is not next to the distance you want. Find a side first, then use sine. In triangle $A B C$ , $A C = 18$ cm, angle $A = 3 5^{\circ}$ and angle $B = 10 0^{\circ}$ . Find the shortest distance from $B$ to $A C$ .

Worked example

1
$∠ C = 18 0^{\circ} - 3 5^{\circ} - 10 0^{\circ} = 4 5^{\circ}$ — Angles in a triangle add to 180°. Now all three angles are known.
2
$\frac{B C}{s i n 3 5 ^{\circ}} = \frac{18}{s i n 10 0 ^{\circ}}$ — Sine rule. The side 18 faces the 100° angle, and $B C$ faces the 35° angle.
3
$B C = \frac{18 s i n 3 5 ^{\circ}}{s i n 10 0 ^{\circ}} = 10.48$ — Multiply both sides by $sin 3 5^{\circ}$ . Keep 4 figures, because it is used again.
4
$B H ⊥ A C$ — Draw the shortest distance from $B$ straight down to $A C$ , meeting it at $H$ . Triangle $B H C$ has a right angle at $H$ .
5
$sin 4 5^{\circ} = \frac{B H}{10.48}$ — In triangle $B H C$ , $B H$ is opposite angle $C$ , and $B C$ is the hypotenuse.
6
$B H = 10.48 \times sin 4 5^{\circ} = 7.41 cm$ — Multiply both sides by 10.48 and round to 3 significant figures.

Key idea

Check it the other way. $A B = \frac{18 s i n 4 5 ^{\circ}}{s i n 10 0 ^{\circ}} = 12.92$ and $12.92 sin 3 5^{\circ} = 7.41$ . Both routes agree.

Common mistake

Stopping at $B C = 10.48$ . That is a slanted side of the triangle, not the shortest distance. Always finish with the perpendicular.

5. Which Method? Read the Question

ابحث عن زاوية قائمة يمكنك تكوينها. طول مائل وزاويته: المسافة تساوي الطول في جيب الزاوية. أقصر مسافة معطاة والمطلوب الطول المائل: الطول يساوي المسافة مقسومة على جيب الزاوية. الزاوية ليست ملاصقة للمسافة: جد ضلعًا أولًا ثم اضرب في الجيب. المساحة معلومة أو سهلة الحساب: ضاعف المساحة واقسم على القاعدة. ضلعان والزاوية بينهما: ارجع إلى درس مساحة المثلث باستعمال الجيب، وإذا كان المثلث قائمًا أصلًا فارجع إلى درس اختيار النسبة المثلثية المناسبة. ضع الزاوية القائمة على رسمك أولًا، فيتضح الضلع المطلوب.

Look for a right angle you can make.

You see	You do
Slanted length and its angle	distance = length × sin(angle)
Shortest distance given, slanted length wanted	length = distance ÷ sin(angle)
The angle is not next to the distance	find a side first, then multiply by sin
Area known, or easy to find	double the area, divide by the base
Two sides and the angle between	Area of a Triangle Using Sine
A right-angled triangle already	Choosing the Right Trigonometric Ratio

Key idea

Mark the right angle on your sketch first. Then the side you want is clear.

تدرّب على أقصر مسافة من نقطة إلى مستقيم

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح أقصر مسافة من نقطة إلى مستقيم

1. Straight Across Is Shortest

2. Using Sine

3. Using the Area

4. Two Steps: Find a Side First

5. Which Method? Read the Question

تدرّب على أقصر مسافة من نقطة إلى مستقيم

أسئلة امتحانات سابقة على أقصر مسافة من نقطة إلى مستقيم، محلولة ومشروحة بالعربي