شرح زوايا الارتفاع والانخفاض

Angles of Elevation and Depression

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Up or Down From Level

زاوية الارتفاع وزاوية الانخفاض تُقاسان كلتاهما من خط أفقي مستوٍ عند مستوى العين، ولا تُقاسان أبدًا من الخط الرأسي. زاوية الارتفاع نقيسها إلى أعلى من الأفقي نحو شيء أعلى منا، وزاوية الانخفاض نقيسها إلى أسفل من الأفقي نحو شيء أدنى منا. زاوية الانخفاض من القمة تساوي زاوية الارتفاع من الأسفل، والسبب الذي يجب أن تكتبه هو أنهما زاويتان متبادلتان لأن الخطين الأفقيين متوازيان. ومن التاريخ: وقف البيروني على جبل وقاس زاوية الانخفاض الصغيرة نحو الأفق، ومع ارتفاع الجبل وحساب المثلثات حسب نصف قطر الأرض بقيمة قريبة جدًا من القيمة المعروفة اليوم.

Both angles are measured from a flat, horizontal line at the eye. Never from the vertical.

Angle	Measured
Elevation	up from the horizontal, to something higher
Depression	down from the horizontal, to something lower

Key idea

The angle of depression from the top equals the angle of elevation from the bottom. Quote the reason: alternate angles, because the two horizontal lines are parallel.

Key idea

In the 11th century, al-Biruni stood on a mountain in what is now Pakistan and measured the tiny angle of depression down to the horizon. With the mountain's height and trigonometry, he worked out the Earth's radius. His answer is often quoted as about 6340 km; today's value is about 6371 km.

2. Find a Height or a Distance

سؤال بثلاث درجات: تقف على بعدٍ معلوم من برج وتقيس زاوية الارتفاع إلى قمته. الارتفاع المطلوب مقابل للزاوية، والمسافة على الأرض مجاورة لها، فنستخدم الظل. المجهول في بسط الكسر، فنضرب الطرفين في المسافة، ثم نحسب بالآلة الحاسبة على وضع الدرجات ونقرّب لثلاثة أرقام معنوية مع الوحدة. أما إذا كانت المسافة هي المجهول فإنها تقع في المقام، فنقسم على الظل بدل الضرب. الخطأ الشائع هو قياس الزاوية من الخط الرأسي، فيخرج ارتفاع كبير جدًا وغير منطقي.

The 3-mark question: you stand a known distance from a tower and measure the angle of elevation to the top. You are 85 metres away and the angle is $3 4^{\circ}$ .

Worked example

1
$tan 3 4^{\circ} = \frac{h}{85}$ — The height $h$ is opposite the angle of elevation and the 85 m along the ground is next to it, so use tan.
2
$h = 85 \times tan 3 4^{\circ}$ — $h$ is the unknown on top of the fraction, so multiply both sides by 85.
3
$h = 57.33 \dots$ — Work it out with your calculator in degree mode.
4
$h = 57.3 m$ — Round to 3 significant figures and give the unit.

For a distance, the unknown is on the bottom, so you divide by tan instead.

Common mistake

Measuring the angle from the vertical. Using $5 6^{\circ}$ gives 126 metres, far too tall.

3. The Angle Between Two Heights

سؤال بثلاث درجات: صاريان بارتفاعين مختلفين، والمطلوب زاوية الانخفاض من قمة الطويل إلى قمة القصير. المثلث يبدأ من قمة الصاري القصير ويصعد إلى قمة الطويل فقط، لذلك نستخدم الفرق بين الارتفاعين لا الارتفاع كاملًا. هذا الفرق مقابل للزاوية والمسافة بين الصاريين مجاورة لها، فنستخدم الظل: نقسم المقابل على المجاور ثم نأخذ معكوس الظل لأننا نريد زاوية لا ضلعًا، ونقرّب لمنزلة عشرية واحدة. النظر إلى أعلى من قمة القصير يعطي المثلث نفسه والزاوية نفسها، فقد يُسأل عن زاوية الارتفاع أو الانخفاض. الخطأ الشائع هو استخدام ارتفاع الصاري الطويل كاملًا.

The 3-mark question: two masts of different heights. Find the angle of depression from the top of the tall one to the top of the short one. The masts are 21.3 metres and 6.5 metres high and 60 metres apart.

Worked example

1
$21.3 - 6.5 = 14.8$ — The triangle only goes from the top of the short mast up to the top of the tall one, so use the difference in heights.
2
$tan x = \frac{14.8}{60}$ — 14.8 is opposite the angle and the 60 m gap is next to it, so use tan.
3
$tan x = 0.2467 \dots$ — Divide 14.8 by 60 to get the ratio.
4
$x = tan^{- 1} (0.2467 \dots)$ — You want the angle, not a side, so use inverse tan.
5
$x = 13.86 \dots = 13. 9^{\circ}$ — Round to 1 decimal place.

Looking up from the top of the short mast to the top of the tall one gives the same triangle and the same angle. The question may ask for the angle of elevation or the angle of depression.

Common mistake

Using the full height, 21.3, and getting $19. 5^{\circ}$ . The triangle only goes down to the top of the short mast.

4. Two Steps: a Mast on a Cliff

سؤالان متتاليان بثلاث درجات لكلٍّ منهما: صارٍ مثبت فوق جرف، ونريد أولًا بُعد القارب ثم ارتفاع الصاري. من القارب، ارتفاع الجرف مقابل لزاوية الارتفاع والمسافة على البحر مجاورة لها، فنستخدم الظل؛ والمسافة هي المجهول في المقام فنقسم. ثم ننظر إلى قمة الصاري من القارب نفسه، فالمسافة نفسها مجاورة للزاوية الجديدة، ونضربها في الظل لنحصل على الارتفاع من سطح البحر حتى قمة الصاري. أخيرًا نطرح ارتفاع الجرف لأن الصاري واقف فوقه، ونقرّب لثلاثة أرقام معنوية. الخطأ الشائع هو إعطاء الارتفاع الكلي للجرف والصاري معًا، بينما السؤال يطلب الصاري وحده.

The pair of 3-mark questions: a mast stands on a cliff. First find how far away you are, then the height of the mast.

The cliff is 48 metres high. From a boat, the angle of elevation of the cliff top is $2 1^{\circ}$ and of the mast top is $2 6^{\circ}$ .

Worked example

1
$tan 2 1^{\circ} = \frac{48}{d}$ — From the boat, the cliff top is at 21°. The cliff height 48 is opposite, and the distance $d$ along the sea is next to the angle, so use tan.
2
$d = 48 \div tan 2 1^{\circ} = 125.04$ — $d$ is the unknown on the bottom, so divide.
3
$tan 2 6^{\circ} = \frac{top}{125.04}$ — The mast top is seen from the same boat, so the same distance $d$ is next to the angle. The height up to the mast top is opposite 26°.
4
$top = 125.04 \times tan 2 6^{\circ} = 60.99$ — The height is the unknown on top, so multiply. This is measured from the sea.
5
$60.99 - 48 = 13.0 m$ — The mast stands on the cliff, so take off the cliff height to leave the mast alone. Round to 3 significant figures.

Common mistake

Giving 61.0 metres. That is the cliff and the mast together. The question asks for the mast alone.

5. When the Sloping Line Is Given

أحيانًا يعطيك السؤال خط النظر المائل لا المسافة على الأرض، وعندها يكون خط النظر هو الوتر فنستخدم الجيب أو جيب التمام. أولًا: زاوية الانخفاض من قمة المنارة تساوي زاوية الارتفاع من القارب لأنهما متبادلتان، فتصبح الزاوية داخل المثلث عند القارب. الارتفاع مقابل للزاوية وخط النظر هو الوتر، فنضرب الوتر في الجيب. والمسافة على الأرض مجاورة للزاوية، فنضرب الوتر في جيب التمام، ونقرّب لثلاثة أرقام معنوية. ثم نتحقق بنظرية فيثاغورس أن الناتجين يكوّنان مثلثًا وتره هو خط النظر. الخطأ الشائع هو استخدام الظل مع خط النظر، مع أنه الخط المائل وليس المسافة على الأرض.

Sometimes the question gives the sloping line of sight, not the ground distance. Then the line of sight is the hypotenuse, so use sin or cos. From the top of a lighthouse, a boat is 120 m away along the line of sight. The angle of depression is $1 8^{\circ}$ . Find the height of the lighthouse and the distance of the boat from its base.

Worked example

1
$angle at the boat = 1 8^{\circ}$ — The angle of depression from the top equals the angle of elevation from the boat, because they are alternate angles. So 18° is inside the triangle, at the boat.
2
$sin 1 8^{\circ} = \frac{h}{120}$ — The height $h$ is opposite the 18° angle and the 120 m line of sight is the hypotenuse, so use sin.
3
$h = 120 \times sin 1 8^{\circ} = 37.1 m$ — $h$ is the unknown on top, so multiply. Round to 3 significant figures.
4
$cos 1 8^{\circ} = \frac{d}{120}$ — The distance $d$ along the ground is next to the 18° angle and 120 is the hypotenuse, so use cos.
5
$d = 120 \times cos 1 8^{\circ} = 114 m$ — Multiply again, since $d$ is on top. Round to 3 significant figures.
6
$37.0 8^{2} + 114.1 2^{2} = 120$ — Check with Pythagoras: the two answers should make a triangle with hypotenuse 120.

Common mistake

Using tan with the 120 m. That 120 m is the sloping line, not the ground distance. It would give 39.0 m for the height, which is wrong.

6. Which Method? Read the Question

ارسم أولًا الخط الأفقي عند مستوى العين، ثم ابحث عن المثلث القائم. لإيجاد ارتفاع من مسافة وزاوية: اضرب المسافة في الظل. لإيجاد مسافة من ارتفاع وزاوية: اقسم الارتفاع على الظل. للزاوية بين قمتي صاريين: استخدم الفرق بين الارتفاعين. إذا أُعطي خط النظر المائل فاستخدم نسبة الجيب أو جيب التمام، وإذا ظهر اتجاه بالدرجات من الشمال فانتقل إلى درس الاتجاهات وحساب المثلثات. معظم أسئلة الارتفاع تستخدم الظل، لأن الارتفاع والمسافة على الأرض يلتقيان بزاوية قائمة.

Draw the horizontal at the eye first, then find the right-angled triangle.

You see	You do
Height from a distance and an angle	distance × tan
Distance from a height and an angle	height ÷ tan
Angle between the tops of two masts	use the difference in heights
The sloping line of sight is given	The Sine Ratio or The Cosine Ratio
A direction such as 070°	Bearings and Trigonometry

Key idea

Most elevation questions use tan, because the height and the ground distance meet at a right angle.

تدرّب على زوايا الارتفاع والانخفاض

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح زوايا الارتفاع والانخفاض

1. Up or Down From Level

2. Find a Height or a Distance

3. The Angle Between Two Heights

4. Two Steps: a Mast on a Cliff

5. When the Sloping Line Is Given

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على زوايا الارتفاع والانخفاض

أسئلة امتحانات سابقة على زوايا الارتفاع والانخفاض، محلولة ومشروحة بالعربي