شرح استخدام حساب المثلثات وفيثاغورس معًا

Using Trigonometry and Pythagoras Together

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · IGCSE Additional Maths 0606 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Angle Involved? Trig. Only Sides? Pythagoras.

الأسئلة الطويلة تحتاج الأداتين معًا، واحدة بعد الأخرى. لكل مثلث قائم اسأل نفسك: هل فيه زاوية؟ إذا كان فيه ثلاثة أضلاع فقط بلا زاوية فاستخدم فيثاغورس، وإذا كان فيه ضلعان وزاوية فاستخدم الجيب أو جيب التمام أو الظل. وغالبًا ما تكون إجابة المثلث الأول هي الضلع المعلوم في المثلث التالي، فاحتفظ بها كاملة في الآلة الحاسبة دون تقريب.

Longer questions need both tools, one after the other. For each right-angled triangle, look at what it involves.

The triangle involves	Use
three sides, no angle	Pythagoras
two sides and an angle	sin, cos or tan

Key idea

The answer from one triangle is often the known side for the next. Keep it on your calculator, unrounded.

2. Symmetric Trapeziums: Cut Off the Corners

في شبه المنحرف المتماثل، ننزل ارتفاعًا من كل ركن علوي، فيتكوّن مثلث قائم عند كل طرف وتره هو الضلع المائل. الارتفاع يقابل زاوية القاعدة فنجده بالجيب، والقطعة الصغيرة عند الطرف مجاورة للزاوية فنجدها بجيب التمام. توجد قطعة عند كل طرف، فنضاعفها ونطرحها من القاعدة لنحصل على الضلع العلوي. بعدها نطبّق قانون مساحة شبه المنحرف: نصف مجموع الضلعين المتوازيين مضروبًا في الارتفاع، ونقرّب إلى ثلاثة أرقام معنوية مع الوحدة. احتفظ بالقيم الكاملة في الآلة أثناء الحل. الخطأ الشائع استخدام الضلع المائل على أنه الارتفاع، والارتفاع عمودي فهو أقصر.

The 5 or 6-mark question: a trapezium with one line of symmetry. Drop a height from each top corner. That makes a right-angled triangle at each end.

The slanted sides are 10 cm, the bottom is 30 cm and the bottom angles are $5 5^{\circ}$ . Find the area.

Worked example

1
$drop a height from each top corner$ — This cuts off a right-angled triangle at each end. Its hypotenuse is the 10 cm slanted side.
2
$h = 10 sin 5 5^{\circ}$ — The height is opposite the 55° angle and 10 is the hypotenuse, so use sin.
3
$h = 8.192 \dots$ — Work it out and keep the full value on your calculator for the area.
4
$e = 10 cos 5 5^{\circ}$ — Each end piece is next to the 55° angle, with 10 as the hypotenuse, so use cos.
5
$e = 5.736 \dots$ — Work it out. This is one end piece only.
6
$2 \times 5.736 = 11.472$ — There is an end piece at both ends of the trapezium, so double it.
7
$top = 30 - 11.472 = 18.528$ — The top side is what is left of the 30 cm bottom after both end pieces are taken off.
8
$A = \frac{1}{2} (18.528 + 30) \times 8.192$ — Area of a trapezium: half the sum of the two parallel sides, times the height.
9
$A = 198.7 \dots = 199 cm^{2}$ — Round to 3 significant figures and give the unit.

Common mistake

Using the slanted 10 cm as the height. The height is straight up, so it is shorter: 8.19 cm.

3. Circles: The Hidden Right Angle

في أسئلة الدائرة ابحث أولًا عن الزاوية القائمة المخفية. إذا كان أحد أضلاع المثلث قطرًا فالزاوية المقابلة له قائمة، واكتب السبب: الزاوية المرسومة في نصف دائرة قائمة. في المثال الأول نستخدم جيب التمام لأن الضلع المعلوم مجاور للزاوية والقطر هو وتر المثلث القائم، والمجهول في المقام فنقسم. محيط نصف الدائرة هو القوس، أي نصف محيط الدائرة، مضافًا إليه القطر المستقيم، فلا تنسَ القطر. وكذلك الخط من المركز إلى منتصف وتر الدائرة يكون عموديًا عليه: نأخذ نصف وتر الدائرة، ونستخدم الجيب لأنه يقابل الزاوية ونصف القطر هو وتر المثلث القائم، ثم نحسب المساحة باستخدام نصف القطر لا القطر. وإذا أُعطيت ضلعين بدل الزاوية فاستخدم فيثاغورس.

The 4 or 5-mark question puts a triangle inside a circle. If one side is a diameter, the angle opposite it is $9 0^{\circ}$ . Quote the reason: the angle in a semicircle is $9 0^{\circ}$ .

$A B$ is a diameter and $C$ is on the semicircle. $A C = 14$ cm and angle $B A C = 4 0^{\circ}$ . Find the perimeter of the semicircle.

Worked example

1
$∠ A C B = 9 0^{\circ}$ — AB is a diameter, so the angle at C on the curve is a right angle. The reason is: angle in a semicircle.
2
$cos 4 0^{\circ} = \frac{14}{A B}$ — AC = 14 is next to the 40° angle and AB is the hypotenuse, so use cos.
3
$A B = 14 \div cos 4 0^{\circ} = 18.28$ — AB is the unknown on the bottom, so divide. This is the diameter.
4
$arc = \frac{1}{2} π \times 18.28 = 28.71$ — The curved edge is half a circumference, which is half of π times the diameter.
5
$28.71 + 18.28 = 47.0 cm$ — The perimeter of a semicircle is the curved arc plus the straight diameter. Round to 3 significant figures.

Common mistake

Leaving out the straight edge. A semicircle's perimeter is the curved arc and the diameter.

Key idea

If two sides of the triangle are given instead, use Pythagoras for the diameter.

A line from the centre to the middle of a chord is also at a right angle. The chord $R T = 16$ cm, $M$ is its midpoint, $O$ is the centre and angle $R O M = 3 8^{\circ}$ . Find the area of the circle.

Worked example

1
$∠ O M R = 9 0^{\circ}$ — A line from the centre to the midpoint of a chord meets it at a right angle. That gives a right-angled triangle $R O M$ .
2
$R M = 16 \div 2 = 8$ — $M$ is the midpoint, so $R M$ is half of the chord.
3
$sin 3 8^{\circ} = \frac{8}{r}$ — $R M$ is opposite the 38° angle and $O R$ is a radius, the hypotenuse, so use sin.
4
$r = 8 \div sin 3 8^{\circ} = 12.99 \dots$ — The radius is the unknown on the bottom, so divide. Keep the full value.
5
$A = π r^{2} = π \times 12.99 \dots^{2}$ — Area of a circle uses the radius, not the diameter.
6
$A = 530 cm^{2}$ — Round to 3 significant figures and give the unit.

Key idea

In every circle question, look for a right angle first: a diameter, or a line from the centre to the middle of a chord.

4. Shapes Built From Right-Angled Triangles

سؤال المحيط يطلب أن تجد كل ضلع ناقص، مثلثًا بعد مثلث. المثلث متساوي الساقين، والارتفاع النازل من الرأس يقسم القاعدة إلى نصفين ويصنع مثلثًا قائمًا. أولًا في المثلث القائم: الارتفاع المعلوم يقابل الزاوية ونصف القاعدة مجاور لها، فنستخدم الظل، والمجهول في المقام فنقسم. بعد ذلك صار لدينا ضلعان في المثلث نفسه ولا نحتاج زاوية، فنجد الضلع المائل بفيثاغورس. القاعدة الكاملة ضعف نصف القاعدة، والضلعان المائلان متساويان، فنجمع الضلعين المائلين مع القاعدة ونقرّب مع الوحدة. الخطأ الشائع أن تضيف نصف القاعدة مرة واحدة فقط بدل القاعدة كاملة.

The 4-mark question asks for a perimeter. Find every missing edge, one triangle at a time.

Triangle $A B C$ is isosceles with $A B = B C$ . $D$ is the middle of $A C$ , $B D = 9$ cm is at right angles to $A C$ and angle $B A D = 5 8^{\circ}$ . Find the perimeter.

Worked example

1
$tan 5 8^{\circ} = \frac{9}{A D}$ — In the right-angled triangle $A B D$ , 9 is opposite the 58° angle and $A D$ is next to it, so use tan.
2
$A D = 9 \div tan 5 8^{\circ} = 5.624$ — $A D$ is the unknown on the bottom, so divide.
3
$A B^{2} = 9^{2} + 5.624^{2}$ — Now two sides of the same triangle are known and no angle is needed, so use Pythagoras for the slanted side $A B$ .
4
$A B = 81 + 31.63 = 10.61$ — Add the squares, then take the square root.
5
$A C = 2 \times 5.624 = 11.248$ — $D$ is the middle of $A C$ , so the base is twice $A D$ .
6
$P = 2 \times 10.61 + 11.248$ — The triangle is isosceles, so $A B$ and $B C$ are equal. Add the two slanted sides and the base.
7
$P = 32.47 \dots = 32.5 cm$ — Round to 3 significant figures and give the unit.

Common mistake

Adding $A D$ only once and getting 26.8 cm. $D$ is the middle, so the base is twice $A D$ .

5. Two Triangles Sharing a Side

في بعض الأسئلة يشترك مثلثان قائمان في ضلع واحد، وهذا الضلع هو حلقة الوصل بينهما، فابدأ بإيجاده. في المثلث الصغير، الضلع المشترك مجاور للزاوية والوتر معلوم، فنستخدم جيب التمام ونحتفظ بالقيمة كاملة. في المثلث الكبير، الزاوية عند الرأس هي مجموع الزاويتين المتجاورتين، ثم نستخدم الظل لأن المطلوب يقابل الزاوية والضلع المشترك مجاور لها، والمجهول في البسط فنضرب. ثم نعود إلى المثلث الصغير ونجد الجزء المقابل بالجيب، ونطرحه من الضلع الكامل لنحصل على المطلوب. الخطأ الشائع استخدام زاوية واحدة فقط في المثلث الكبير بدل مجموع الزاويتين، فتحصل على طول مستحيل. واكتب خطوات كل مثلث، فكل سطر صحيح يأخذ درجات.

Some questions join two right-angled triangles along one side. Find that shared side first. It is the link between them. $P QR$ has a right angle at $R$ and $S$ is on $P R$ . $QS = 12$ cm, angle $R QS = 3 5^{\circ}$ and angle $P QS = 2 0^{\circ}$ . Find $P S$ .

Worked example

1
$QR = 12 cos 3 5^{\circ}$ — In triangle $QR S$ , $QR$ is next to the 35° angle and $QS = 12$ is the hypotenuse, so use cos. $QR$ is the side both triangles share.
2
$QR = 9.830 \dots$ — Work it out and keep the full value.
3
$∠ P QR = 3 5^{\circ} + 2 0^{\circ} = 5 5^{\circ}$ — In the big triangle $P QR$ the two angles at $Q$ sit side by side, so add them.
4
$P R = 9.830 \times tan 5 5^{\circ} = 14.04$ — $P R$ is opposite the 55° angle and $QR$ is next to it, so use tan. $P R$ is the unknown on top, so multiply.
5
$R S = 12 sin 3 5^{\circ} = 6.883$ — Back in triangle $QR S$ , $R S$ is opposite the 35° angle and 12 is the hypotenuse, so use sin.
6
$P S = 14.04 - 6.883 = 7.16 cm$ — $S$ lies between $P$ and $R$ , so $P S$ is the whole of $P R$ take away the part $R S$ .

Common mistake

Using 20° in the big triangle. The angle of $P QR$ at $Q$ is the two angles together, 55°. With 20° you get $P R = 3.58$ cm, which is shorter than $R S = 6.88$ cm. That is impossible, because $S$ is on $P R$ .

Key idea

Show every triangle's working. Each correct line earns marks for working, so one slip later does not lose the whole question.

6. Which Method? Read the Question

قسّم الشكل إلى مثلثات قائمة، ثم اختر الأداة المناسبة لكل مثلث. إذا كان فيه زاوية قائمة وضلعان بلا زاوية أخرى فاستخدم فيثاغورس، وإذا كان فيه زاوية وضلع فاستخدم النسب المثلثية. في شبه المنحرف المتماثل اقطع مثلثًا من كل طرف. وإذا رأيت قطرًا ونقطة على الدائرة فالزاوية هناك قائمة، وإذا رأيت وترًا في الدائرة ومركزها فصِل المركز بمنتصف الوتر لتحصل على زاوية قائمة. وفي مثلثين يشتركان في ضلع، جد الضلع المشترك أولًا. أما إذا لم توجد زاوية قائمة أبدًا فاستخدم قاعدة الجيب أو قاعدة جيب التمام. ارسم كل مثلث قائم وحده صغيرًا واكتب عليه ما تعرفه.

Split the shape into right-angled triangles, then choose a tool for each one.

You see	You do
Right angle, two sides, no angle	Pythagoras' Theorem
Right angle, an angle and a side	Choosing the Right Trigonometric Ratio
Trapezium with one line of symmetry	cut off a triangle at each end
A diameter and a point on the circle	angle 90 degrees there, then trig or Pythagoras
Two right-angled triangles sharing a side	find the shared side first, then use it in the second triangle
A chord and the centre of the circle	join the centre to the middle of the chord: a right angle there
No right angle anywhere	The Sine Rule or The Cosine Rule
A cuboid in 3D	Trigonometry in 3D: Cuboids

Key idea

Draw each right-angled triangle on its own, small, and label what you know.

تدرّب على استخدام حساب المثلثات وفيثاغورس معًا

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح استخدام حساب المثلثات وفيثاغورس معًا

1. Angle Involved? Trig. Only Sides? Pythagoras.

2. Symmetric Trapeziums: Cut Off the Corners

3. Circles: The Hidden Right Angle

4. Shapes Built From Right-Angled Triangles

5. Two Triangles Sharing a Side

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على استخدام حساب المثلثات وفيثاغورس معًا

أسئلة امتحانات سابقة على استخدام حساب المثلثات وفيثاغورس معًا، محلولة ومشروحة بالعربي