شرح الزوايا الخاصة والنسب الدقيقة

Special Angles and Exact Ratios

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Why These Angles Are Special

في معظم الزوايا نحتاج إلى الآلة الحاسبة، لكن هناك ثلاث زوايا خاصة هي زاوية الثلاثين والخمس والأربعين والستين درجة، نستطيع أن نجد لها الجيب وجيب التمام والظل بقيم مضبوطة على شكل كسور وجذور. كل هذه القيم تأتي من مثلثين سهلين: نصف مربع، ونصف مثلث متساوي الأضلاع. القيمة المضبوطة تحتفظ بالجذر كما هو، أما الكسر العشري فهو قيمة تقريبية فقط.

For most angles you need a calculator. For $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ and $6 0^{\circ}$ you can get sin, cos and tan exactly, as fractions and square roots.

They all come from two triangles you can draw in ten seconds: half a square and half an equilateral triangle.

Key idea

An exact value keeps the square root, like the square root of 3 over 2. A decimal such as 0.866 is only close.

2. Half a Square: 45 Degrees

نقطع مربعًا طول ضلعه واحد على طول قطره، فنحصل على مثلث قائم فيه زاويتان كل منهما خمس وأربعون درجة. نجد الوتر بنظرية فيثاغورس: نجمع مربعي الضلعين القصيرين ثم نأخذ الجذر التربيعي ونتركه جذرًا لأنه القيمة المضبوطة. الجيب هو المقابل على الوتر، ثم نضرب البسط والمقام في الجذر نفسه حتى لا يبقى جذر في المقام، وهذا لا يغيّر القيمة. جيب التمام يساوي الجيب هنا لأن المجاور يساوي المقابل. أما الظل فهو المقابل على المجاور ويساوي واحدًا، ولا جذر فيه لأن الظل لا يستخدم الوتر.

Cut a square of side 1 along its diagonal. You get a right-angled triangle with two $4 5^{\circ}$ angles.

Worked example

1
$hyp^{2} = 1^{2} + 1^{2}$ — Both short sides are 1 and the diagonal is the hypotenuse, so use Pythagoras.
2
$hyp^{2} = 2$ — Add the squares: 1 + 1.
3
$hyp = 2$ — Square root. Leave it as a root, because that is the exact value.
4
$sin 4 5^{\circ} = \frac{1}{2}$ — Opposite is 1 and the hypotenuse is $2$ , so sin is opposite over hypotenuse.
5
$\frac{1}{2} \times \frac{2}{2} = \frac{2}{2}$ — Multiply top and bottom by $2$ so there is no root on the bottom. This does not change the value.
6
$cos 4 5^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ — Adjacent is also 1, so cos is the same as sin.
7
$tan 4 5^{\circ} = \frac{1}{1} = 1$ — Opposite and adjacent are both 1. Tan does not use the hypotenuse, so there is no root.

Common mistake

Writing $tan 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ . Tan does not use the hypotenuse, so there is no square root: it is 1.

3. Half an Equilateral Triangle: 30 and 60 Degrees

نأخذ مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه اثنان وكل زواياه ستون درجة، ثم نقسمه من المنتصف فنحصل على مثلث قائم زواياه ثلاثون وستون وتسعون. القاعدة تصبح نصف ما كانت، ونجد الارتفاع بفيثاغورس: نطرح مربع الضلع القصير من مربع الوتر ونأخذ الجذر ونتركه مضبوطًا. بعد ذلك نكتب الجيب وجيب التمام والظل عند زاوية الثلاثين، ثم عند زاوية الستين حيث يتبادل المقابل والمجاور أماكنهما. انتبه: الضلع الأقصر يقابل زاوية الثلاثين، لذلك جيب الثلاثين هو القيمة الصغيرة وتساوي نصفًا، فلا تخلط بين الزاويتين.

Take an equilateral triangle of side 2, with all angles $6 0^{\circ}$ . Cut it down the middle. Each half has angles $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ and $9 0^{\circ}$ .

Worked example

1
$base = 2 \div 2 = 1$ — Cutting the triangle down the middle halves the base of 2.
2
$h^{2} = 2^{2} - 1^{2} = 3$ — The side of 2 is the hypotenuse of each half, so subtract the short side's square from it.
3
$h = 3$ — Square root, kept exact. The sides are now 1, $3$ and 2.
4
$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ — At the 30° corner the side opposite is the 1 and the hypotenuse is 2.
5
$cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ — At the 30° corner the side next to it is $3$ , and the hypotenuse is 2.
6
$tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}$ — Opposite is 1 and adjacent is $3$ . There is no hypotenuse in tan.
7
$sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ — At the 60° corner opposite and adjacent swap. Now the side opposite is $3$ .
8
$cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ — The side next to the 60° angle is the 1, with hypotenuse 2.
9
$tan 6 0^{\circ} = \frac{3}{1} = 3$ — Opposite $3$ over adjacent 1.

Common mistake

Swapping the two. The side of 1 is across from the $3 0^{\circ}$ angle, so $sin 3 0^{\circ}$ is the small one, one half.

4. The Table of Exact Values

هذا الجدول يجمع القيم المضبوطة للجيب وجيب التمام والظل للزوايا الخاصة من الصفر إلى التسعين درجة. إمّا أن تحفظه، أو تعيد بناءه من المثلثين: نصف المربع ونصف المثلث متساوي الأضلاع. وهناك حيلة للحفظ: جيوب هذه الزوايا بالترتيب هي الجذر التربيعي للصفر ثم للواحد ثم للاثنين ثم للثلاثة ثم للأربعة، وكل منها مقسوم على اثنين. وجيوب التمام هي القائمة نفسها لكن بالعكس. لاحظ أن ظل التسعين ليس له قيمة.

Learn this table, or rebuild it from the two triangles.

Angle	sin, cos, tan
$0^{\circ}$	$0, 1, 0$
$3 0^{\circ}$	$\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{3}$
$4 5^{\circ}$	$\frac{2}{2}, \frac{2}{2}, 1$
$6 0^{\circ}$	$\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 3$
$9 0^{\circ}$	1, 0, no value

Memory trick

The sines of 0, 30, 45, 60 and 90 degrees are $\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}$ . The cosines are the same list backwards.

5. Exact Answers Without a Calculator

سؤال القيمة المضبوطة يطلب أن تجد ضلعًا وتترك الجذر في الإجابة. أولًا حدّد الأضلاع: الضلع المطلوب يقابل الزاوية والمعلوم هو الوتر، فنستخدم الجيب. المجهول في البسط، فنضرب الطرفين في الوتر. بعدها نضع القيمة المضبوطة للجيب من الجدول بدل الكسر العشري، ثم نبسّط ونترك الجذر كما هو. والطريقة تعمل بالعكس أيضًا: إذا عرفت قيمة الجيب فاقرأ الزاوية من الجدول. الخطأ الشائع كتابة إجابة عشرية مع أن السؤال يطلب قيمة مضبوطة.

The exact-value question: find a side and leave the square root in. The hypotenuse is 10 cm and the angle is $6 0^{\circ}$ . Find the opposite side exactly.

Worked example

1
$sin 6 0^{\circ} = \frac{opp}{10}$ — The side wanted is opposite the 60° angle and 10 is the hypotenuse, so use sin.
2
$opp = 10 \times sin 6 0^{\circ}$ — The unknown is on top, so multiply both sides by 10.
3
$opp = 10 \times \frac{3}{2}$ — The question says exact, so swap sin 60° for its exact value from the table, not a decimal.
4
$opp = \frac{10 3}{2}$ — Multiply 10 by the top of the fraction.
5
$opp = 53 cm$ — Divide 10 by 2 and leave the root in. That is the exact answer.

It works backwards too. If $sin x = \frac{1}{2}$ , read the table: $x = 3 0^{\circ}$ .

Common mistake

Writing 8.66 cm when the question says exact. Leave it as $53$ .

6. Dividing by an Exact Value

أحيانًا يكون الضلع المطلوب في مقام الكسر، فنقسم على قيمة مضبوطة ويصبح الجذر في المقام. الإجابة المضبوطة يجب ألا يبقى فيها جذر في المقام، لذلك نضرب البسط والمقام في ذلك الجذر، وهذا يشبه الضرب في واحد فلا تتغير القيمة. في المثال نختار الظل لأن المعلوم مقابل للزاوية والمطلوب مجاور لها، ثم نضع القيمة المضبوطة للظل من الجدول. المجهول في المقام، فنبادل مكانه ونقسم المقابل على الجذر، ثم نتخلص من الجذر في المقام ونبسّط. الخطأ الشائع أن تقسم العدد وتنسى الجذر، فالجذر لا يختفي ويجب أن يبقى في الإجابة.

Sometimes the side you want is on the bottom of the fraction. Then you divide by an exact value and a root lands on the bottom. Exact answers should have no root on the bottom, so multiply the top and the bottom by that root.

Formula

\frac{a}{b} = \frac{a b}{b}

A right-angled triangle has a $6 0^{\circ}$ angle. The side opposite it is 12 cm. Find the side next to the angle, exactly, in the form $a b$ .

Worked example

1
$tan 6 0^{\circ} = \frac{12}{x}$ — 12 is opposite the 60° angle and $x$ is next to it, so use tan.
2
$3 = \frac{12}{x}$ — Swap tan 60° for its exact value from the table.
3
$x = \frac{12}{3}$ — $x$ is on the bottom, so swap places: divide 12 by $3$ .
4
$x = \frac{12}{3} \times \frac{3}{3}$ — A root should not stay on the bottom. Multiply top and bottom by $3$ , which is the same as multiplying by 1.
5
$x = \frac{12 3}{3}$ — On the bottom, $3 \times 3 = 3$ . On the top, 12 keeps its root.
6
$x = 43 cm$ — Divide 12 by 3. This is the form $a b$ the question asks for.

Common mistake

Turning $\frac{12}{3}$ into 4 by dividing 12 by 3. The root does not disappear: the answer is $43$ , about 6.93 cm.

Key idea

$\frac{1}{3}$ and $\frac{3}{3}$ are the same number, about 0.577. So $tan 3 0^{\circ}$ can be written either way.

7. Exact Values in Calculations

بعض الأسئلة عملية حسابية بلا مثلث. الطريقة: ضع مكان كل نسبة مثلثية قيمتها المضبوطة من الجدول، ثم بسّط دون آلة حاسبة. عند ضرب الكسور اضرب البسوط معًا والمقامات معًا، وإذا ظهر الجذر نفسه في البسط والمقام فإنه يختصر. وفي سؤال الجمع عوّض بالقيم أولًا، ثم بسّط الكسر واختصر الجذر، وبعدها اجمع. انتبه عند تربيع كسر: يجب تربيع البسط والمقام كليهما، لا البسط وحده.

Some questions are a calculation with no triangle. Swap each ratio for its exact value from the table, then simplify. No calculator.

Worked example

1
$y = sin 6 0^{\circ} \times tan 3 0^{\circ}$ — Find $y$ exactly.
2
$y = \frac{3}{2} \times \frac{1}{3}$ — Swap sin 60° and tan 30° for their exact values from the table.
3
$y = \frac{3 \times 1}{2 \times 3}$ — Multiply the tops together and the bottoms together.
4
$y = \frac{1}{2}$ — $3$ is on the top and the bottom, so it cancels.

Now one with a sum. Find the exact value of $\frac{6 cos 3 0 ^{\circ}}{3} + tan 4 5^{\circ}$ .

Worked example

1
$\frac{6 \times \frac{3}{2}}{3} + 1$ — Swap cos 30° and tan 45° for their exact values.
2
$\frac{3 3}{3} + 1$ — 6 times $\frac{3}{2}$ is $33$ , because $6 \div 2 = 3$ .
3
$3 + 1 = 4$ — $3$ cancels on the top and the bottom, leaving 3. Then add 1.

Common mistake

Squaring only the top. $(\frac{3}{2})^{2} = \frac{3}{4}$ , because the top and the bottom are both squared.

8. Which Method? Read the Question

اقرأ السؤال وانظر إلى الزاوية وهل يطلب قيمة مضبوطة. إذا كانت الزاوية ثلاثين أو خمسًا وأربعين أو ستين درجة ورأيت كلمة «مضبوط» فاستخدم الجدول واحتفظ بالجذر. إذا أُعطيت نسبة مثل النصف وطُلبت الزاوية فاقرأ الجدول بالعكس. أي زاوية أخرى تحتاج اختيار النسبة المثلثية المناسبة والآلة الحاسبة، وإذا لم توجد زاوية بل ضلعان فقط فاستخدم فيثاغورس. وإذا كان المجهول في المقام فاقسم ثم أزل الجذر من المقام. وإذا نسيت قيمة، ارسم المثلث بسرعة وأوجد الضلع الناقص بفيثاغورس.

Check the angle and whether the question says exact.

You see	You do
30, 45 or 60 degrees and the word exact	use the table, keep the square root
A ratio like one half, find the angle	read the table backwards
Any other angle	Choosing the Right Trigonometric Ratio
Only two sides, no angle	Pythagoras' Theorem
Angles past 90 degrees	Trigonometric Graphs and Equations
A calculation such as sin 60° × tan 30°	swap each ratio for its exact value, then simplify
An exact length with the unknown on the bottom	divide, then remove the root from the bottom

Key idea

If you forget a value, sketch the triangle and use Pythagoras for the missing side.

تدرّب على الزوايا الخاصة والنسب الدقيقة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الزوايا الخاصة والنسب الدقيقة

1. Why These Angles Are Special

2. Half a Square: 45 Degrees

3. Half an Equilateral Triangle: 30 and 60 Degrees

4. The Table of Exact Values

5. Exact Answers Without a Calculator

6. Dividing by an Exact Value

7. Exact Values in Calculations

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على الزوايا الخاصة والنسب الدقيقة

أسئلة امتحانات سابقة على الزوايا الخاصة والنسب الدقيقة، محلولة ومشروحة بالعربي