شرح مساحة القطاع

Area of a Sector

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. A Sector Is a Slice

القطاع الدائري جزء من الدائرة مثل شريحة البيتزا، ويحدّه نصفا قطر. مساحته كسر من مساحة الدائرة كاملة: الزاوية عند المركز مقسومة على ثلاثمئة وستين درجة، مضروبة في مساحة الدائرة، وهي باي في مربع نصف القطر. فكرة القانون أن الزاوية تخبرك بأي جزء من الدورة الكاملة تأخذ. والقطاع الذي زاويته مئة وثمانون درجة هو نصف دائرة، فمساحته نصف مساحة الدائرة.

A sector is a slice of a circle, like a slice of pizza. It is cut by two radii.

Formula

sector = \frac{x}{360} \times π r^{2}

$x$ is the angle at the centre, $r$ the radius. $π r^{2}$ is the area of the whole circle.

Key idea

A 180° sector is a semicircle: half of $π r^{2}$ .

2. Sector Area: The 2-Mark Question

في هذا السؤال تُعطى نصف القطر والزاوية، والمطلوب أن تأخذ ذلك الكسر من الدائرة كاملة. أولًا احسب مساحة الدائرة كاملة: باي في مربع نصف القطر، وربّع نصف القطر فقط. ثم ضع الزاوية على ثلاثمئة وستين، وبسّط الكسر؛ هذا هو الجزء الذي تأخذه من الدائرة. اضرب الكسر في مساحة الدائرة فتحصل على الجواب الدقيق بدلالة باي. بعدها فقط استخدم زر باي في الآلة الحاسبة وقرّب إلى ثلاثة أرقام معنوية، وإذا طلب السؤال الجواب بدلالة باي فتوقف قبل ذلك. الخطأ الشائع هو تربيع حاصل ضرب باي في نصف القطر، والصحيح أن نصف القطر وحده هو الذي يُربّع. اكتب القانون مع أرقامك، فهذا السطر يأخذ درجة طريقة حتى لو أخطأت في الحساب.

The 2-mark question gives the radius and the angle. Take that fraction of the whole circle.

Worked example

1
$π \times 1 2^{2} = 144 π$ — Start with the whole circle: $π r^{2}$ with r = 12. Square only the 12: $1 2^{2} = 144$ .
2
$\frac{110}{360} = \frac{11}{36}$ — Put the angle over 360, the angle of a full turn. This is the fraction of the circle you keep.
3
$\frac{11}{36} \times 144 π = 44 π$ — Take that fraction of the circle: 144 ÷ 36 = 4, and 4 × 11 = 44. This is the exact answer.
4
$44 π = 138 cm^{2}$ — Only now press π: 44 × 3.14159… = 138.23…, which is 138 cm² to 3 s.f. If the question says “in terms of π”, stop at 44π.

Common mistake

Squaring after multiplying: $(π \times 12)^{2}$ . Only the radius is squared.

Key idea

Write the formula with your numbers in it, like $\frac{110}{360} \times π \times 1 2^{2}$ . That line earns a mark for working even if you slip on the calculator.

3. Major Sector: Use 360° − x

كثير من الأسئلة تظلّل القطاع الأكبر، أي الشريحة الكبيرة التي تدور الطريق الأطول، بينما يُظهر الرسم الزاوية الصغيرة فقط. لذلك جِد الزاوية الكبيرة أولًا: الزوايا حول المركز مجموعها ثلاثمئة وستون درجة، فاطرح الزاوية الصغيرة منها. ثم ضع الزاوية الكبيرة على ثلاثمئة وستين وبسّط الكسر. احسب مساحة الدائرة كاملة، ثم خذ منها هذا الكسر لتحصل على الجواب بدلالة باي، وحوّله إلى عدد عشري إذا طُلب ذلك. الخطأ الشائع هو استخدام الزاوية الظاهرة على الرسم، فتحصل على الشريحة الصغيرة. انظر دائمًا أي شريحة هي المظللة.

Many questions shade the major sector: the big slice, the long way round. The diagram often shows only the small angle, so find the big angle first.

Formula

major sector = \frac{360 - x}{360} \times π r^{2}

$x$ is the small angle at the centre, so $360 - x$ is the big angle. $r$ is the radius, and $π r^{2}$ is the area of the whole circle.

Worked example

1
$360 - 45 = 315$ — The small angle is 45°. Angles round the centre add up to 360°, so the big angle is 315°.
2
$\frac{315}{360} = \frac{7}{8}$ — Put the big angle over 360. Both divide by 45, so the major sector is seven eighths of the circle.
3
$π \times 8^{2} = 64 π$ — The whole circle with radius 8: $8^{2} = 64$ .
4
$\frac{7}{8} \times 64 π = 56 π cm^{2}$ — Take seven eighths: 64 ÷ 8 = 8, and 8 × 7 = 56. If the question says “in terms of π”, this is the answer.
5
$56 π = 176 cm^{2}$ — For a decimal answer: 56 × 3.14159… = 175.9…, which is 176 cm² to 3 s.f.

Common mistake

Using the 45° shown on the diagram. That gives the small slice, 8π = 25.1 cm². Check which slice is shaded.

4. Between Two Arcs: Big Minus Small

بعض الأشكال تقع بين قوسين لهما المركز نفسه، مثل شريحة من حلقة. الطريقة: احسب القطاع الكبير ثم اطرح منه القطاع الصغير. أولًا جِد نصف القطر الكبير: يمتد من المركز إلى القوس الخارجي، فاجمع نصف القطر الصغير مع عرض الشريط. ثم احسب مساحة القطاع الكبير، ثم القطاع الصغير بالزاوية نفسها. اطرح الصغير من الكبير، ووحّد المقامات إن لزم، فتحصل على الجواب الدقيق بدلالة باي، ثم قرّبه إذا طُلب عدد عشري. الخطأ الشائع هو اعتبار عرض الشريط نصف القطر الكبير؛ فكل نصف قطر يُقاس من المركز.

Some shapes sit between two arcs with the same centre, like a slice of a ring. Find the big sector, then take away the small one.

Formula

shaded = \frac{x}{360} \times π (R^{2} - r^{2})

$x$ is the angle at the centre, $R$ the big radius and $r$ the small radius. It is the big sector minus the small sector, with the shared fraction taken out.

Worked example

1
$R = 5 + 4 = 9$ — The small radius is 5 and the band is 4 wide. The big radius runs from the centre to the outer arc, so add them.
2
$\frac{120}{360} \times π \times 9^{2} = 27 π$ — The big sector: 120° is a third of 360°, and a third of 81π is 27π.
3
$\frac{120}{360} \times π \times 5^{2} = \frac{25 π}{3}$ — The small sector, same angle: a third of 25π.
4
$27 π - \frac{25 π}{3} = \frac{81 π - 25 π}{3}$ — Take the small sector from the big one. Write 27π as 81π ÷ 3 so both have the same bottom.
5
$= \frac{56 π}{3} cm^{2}$ — 81 − 25 = 56. This is the exact answer. As a decimal it is 58.6 cm² to 3 s.f.

Common mistake

Using 4 as the big radius. The 4 is only the width of the band. Every radius is measured from the centre.

5. Segment Area (Extended/Higher)

القطعة الدائرية هي الجزء المحصور بين الوتر والقوس، وتظهر في الأسئلة ذات الدرجات الكثيرة. الطريقة: احسب مساحة القطاع، ثم اطرح منها مساحة المثلث. أولًا اكتب قانون القطاع بأرقامك ليظهر عملك، واحسبه مع إبقاء كل الأرقام في الآلة الحاسبة. ثم احسب مساحة المثلث: نصف حاصل ضرب الضلعين في جيب الزاوية بينهما، والضلعان كلاهما نصف قطر. اطرح المثلث من القطاع، ولا تقرّب إلا في النهاية. وإذا كانت الزاوية قائمة فلا تحتاج الجيب، لأن المثلث قائم ومساحته نصف حاصل ضرب نصفي القطر.

The 5 and 6-mark questions shade a segment: the part between a chord and the arc. Take the triangle away from the sector.

Formula

segment = \frac{x}{360} \times π r^{2} - \frac{1}{2} r^{2} sin x

The first part is the sector. The second part is the triangle: its two sides are both radii, with angle $x$ between them.

Worked example

1
$\frac{80}{360} \times π \times 1 0^{2}$ — The sector: radius 10, angle 80°. Write it out first so the method shows.
2
$= 69.81...$ — Work it out and keep all the digits on your calculator. This is the sector area.
3
$\frac{1}{2} \times 10 \times 10 \times sin 8 0^{\circ}$ — The triangle: half × side × side × sine of the angle between them. Both sides are the radius, 10.
4
$= 49.24...$ — Work it out, again keeping the digits. This is the triangle area.
5
$69.81... - 49.24...$ — The segment is what is left of the sector once the triangle is cut off, so subtract.
6
$= 20.6 cm^{2}$ — 69.81… − 49.24… = 20.57…, which is 20.6 cm² to 3 s.f. Round only at the end.

Key idea

For a 90° slice you need no sine: the triangle is right-angled, so it is $\frac{1}{2} \times r \times r$ . For other angles, see Area of a Triangle Using Sine.

6. Working Back to the Radius or Angle

بعض الأسئلة تعطيك مساحة القطاع وتطلب نصف القطر أو الزاوية، فتضع المعطيات في القانون ثم تعكس الخطوات واحدة واحدة. لإيجاد نصف القطر: عوّض الزاوية والمساحة، ثم اضرب الطرفين في ثلاثمئة وستين لتتخلص من الكسر، ثم اقسم على الزاوية مضروبة في باي ليبقى مربع نصف القطر وحده، واترك كل الأرقام، ثم خذ الجذر التربيعي في الأخير. لإيجاد الزاوية: احسب مساحة الدائرة كاملة، ثم اقسم مساحة القطاع عليها فيختصر باي ويظهر الكسر من الدائرة، ثم اضرب في ثلاثمئة وستين. الخطأ الشائع هو نسيان الجذر التربيعي، فتكتب مربع نصف القطر على أنه نصف القطر نفسه.

Some questions give the sector area. Put it into the formula, then undo it one step at a time.

1. Find the radius

Worked example

1
$\frac{70}{360} \times π r^{2} = 30$ — Put in what you know: angle 70°, area 30 cm². The radius is the unknown.
2
$70 π r^{2} = 10800$ — Multiply both sides by 360 to clear the fraction: 30 × 360 = 10800.
3
$r^{2} = \frac{10800}{70 π} = 49.11...$ — Divide both sides by 70π, so $r^{2}$ is on its own. Keep all the digits.
4
$r = 49.11... = 7.01 cm$ — Square root last, because the radius was squared. 7.007… is 7.01 cm to 3 s.f.

2. Find the angle

Worked example

1
$\frac{x}{360} \times 100 π = 20 π$ — Radius 10, so the whole circle is $1 0^{2} π = 100 π$ . The area is 20π.
2
$\frac{x}{360} = \frac{20 π}{100 π} = \frac{1}{5}$ — Divide both sides by 100π. The π cancels, so the sector is a fifth of the circle.
3
$x = \frac{1}{5} \times 360 = 7 2^{\circ}$ — Multiply both sides by 360: a fifth of a full turn is 72°.

Common mistake

Forgetting the square root. $r^{2} = 49.1$ means the radius is about 7, not 49.

7. Radius From a Segment (Extended/Higher)

في الأسئلة الأصعب تُعطى مساحة القطعة الدائرية ويُطلب نصف القطر. اكتب القطاع ناقص المثلث واجعله مساويًا للمساحة المعطاة. لاحظ أن الحدّين كليهما فيهما مربع نصف القطر، فأخرجه عاملًا مشتركًا، فيبقى داخل القوس أعداد فقط. احسب قيمة القوس بالآلة الحاسبة مع إبقاء كل الأرقام، ثم اقسم المساحة عليها ليبقى مربع نصف القطر وحده، ثم خذ الجذر التربيعي، واقبل الجذر الموجب فقط لأن الطول لا يكون سالبًا. الخطأ الشائع هو تقريب قيمة القوس مبكرًا؛ فالخطأ الصغير يكبر بعد القسمة والجذر.

Harder questions give the segment's area and ask for the radius. Both parts of the segment formula contain $r^{2}$ , so take it out as a common factor.

Worked example

1
$\frac{100}{360} π r^{2} - \frac{1}{2} r^{2} sin 10 0^{\circ} = 40$ — Write sector minus triangle and set it equal to the area, 40 cm². The angle is 100°.
2
$r^{2} (\frac{100}{360} π - \frac{1}{2} sin 10 0^{\circ}) = 40$ — Both terms have r², so factorise it out. The bracket is now just numbers.
3
$\frac{100}{360} π - \frac{1}{2} sin 10 0^{\circ} = 0.3802...$ — Work out the bracket: 0.8726… − 0.4924…. Keep all the digits on your calculator.
4
$r^{2} = \frac{40}{0.3802...} = 105.19...$ — Divide both sides by the bracket, so $r^{2}$ is on its own.
5
$r = 105.19... = 10.3 cm$ — Square root, because the radius was squared. 10.256… is 10.3 cm to 3 s.f. Only the positive root counts: a length cannot be negative.

Common mistake

Rounding the bracket to 0.38 early. Small rounding here grows when you divide and square root, so keep the full value.

8. When the Radius Is a Letter

في هذا السؤال الجبري يرتبط قطاع بدائرة، ونصف القطر مكتوب بحرف مجهول. الطريقة: اكتب مساحة كل منهما بالتعبير الخاص به، واجعلهما متساويتين، ثم حلّ المعادلة. في المثال: ربع الدورة يعني أن القطاع ربع دائرة، وباي موجود في الطرفين فاقسم عليه ليختفي مبكرًا. ثم اضرب الطرفين في أربعة لتتخلص من الكسر، ثم خذ الجذر التربيعي للطرفين، وارفض الجذر الذي يعطي نصف قطر سالبًا. بعدها اجمع الحدود المتشابهة لتجد المجهول، وتحقق بالتعويض في المساحتين.

The 5-mark algebra question links a sector to a circle. Write both areas, set them equal, and solve.

Worked example

1
$\frac{90}{360} π (r + 4)^{2} = π r^{2}$ — A quarter sector of radius r + 4 has the same area as a circle of radius r. Write each area and set them equal.
2
$\frac{1}{4} (r + 4)^{2} = r^{2}$ — 90 out of 360 is a quarter. π is on both sides, so divide both sides by π.
3
$(r + 4)^{2} = 4 r^{2}$ — Multiply both sides by 4 to clear the fraction.
4
$r + 4 = 2 r$ — Square root both sides: $4 r^{2} = 2 r$ . The other root, r + 4 = −2r, gives a negative radius, so reject it.
5
$r = 4$ — Take r from both sides: 4 = r. Check: a quarter of $π \times 8^{2}$ is 16π, and $π \times 4^{2}$ is 16π too.

Key idea

π is on both sides, so it cancels. Divide it out early to keep the working short.

9. Which Method? Read the Question

انظر إلى الجزء المظلل وإلى المطلوب. لمساحة القطاع: الزاوية على ثلاثمئة وستين مضروبة في مساحة الدائرة. للقطاع الأكبر: استخدم الزاوية الكبيرة، أي ثلاثمئة وستين ناقص الزاوية الصغيرة. للمنطقة بين قوسين لهما المركز نفسه: القطاع الكبير ناقص القطاع الصغير. للمنطقة بين الوتر والقوس: القطاع ناقص المثلث. إذا أُعطيت المساحة وطُلب نصف القطر أو الزاوية: عوّض في القانون ثم اعكس الخطوات. إذا أُعطيت مساحة القطعة وطُلب نصف القطر: أخرج مربع نصف القطر عاملًا مشتركًا ثم اقسم. أما محيط القطاع والأشكال المركبة فلها دروس مستقلة. وتذكّر أن سؤال القطعة الدائرية يحتاج غالبًا مثلثًا تُحسب مساحته بجيب الزاوية.

Look at what is shaded and what they ask for.

You see	You do
Area of the sector	angle out of 360, times the circle
The major (big) sector	use $36 0^{\circ} - x$
Shaded between two arcs, same centre	big sector take small sector
Shaded between a chord and arc	sector take triangle
Area given, find r or angle	set up the formula, undo it
Segment area given, find r	factorise $r^{2}$ , then divide
Perimeter of the sector	Arc Length
Circle with other shapes	Composite Perimeter, Area and Volume

Key idea

A segment question nearly always needs a triangle with the sine of the angle.

تدرّب على مساحة القطاع

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح مساحة القطاع

1. A Sector Is a Slice

2. Sector Area: The 2-Mark Question

3. Major Sector: Use 360° − x

4. Between Two Arcs: Big Minus Small

5. Segment Area (Extended/Higher)

6. Working Back to the Radius or Angle

7. Radius From a Segment (Extended/Higher)

8. When the Radius Is a Letter

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على مساحة القطاع

أسئلة امتحانات سابقة على مساحة القطاع، محلولة ومشروحة بالعربي