شرح حجم ومساحة سطح الكرة

Volume and Surface Area of a Sphere

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Two Formulas, One Radius

الكرة جسم مستدير تمامًا، وكل حساباتها تعتمد على نصف القطر، والامتحان يعطيك القانونين: الحجم يساوي أربعة أثلاث باي في مكعب نصف القطر، والمساحة السطحية تساوي أربعة باي في مربع نصف القطر. أولًا تأكد أنك تستخدم نصف القطر: إذا أُعطيت القطر فاقسمه على اثنين. للحجم: كعّب نصف القطر أولًا، ثم اضربه في أربعة أثلاث باي، وتوقف عند الجواب بدلالة باي إن طُلب ذلك، والوحدة مكعبة. للمساحة: ربّع نصف القطر نفسه، ثم اضربه في أربعة باي، والوحدة مربعة. الخطأ الشائع هو استخدام القطر بدل نصف القطر. ونصف الكرة حجمه نصف حجم الكرة، أما سطحه الكلي فهو نصف السطح المنحني مع الدائرة المستوية.

A sphere is a perfect ball. Everything about it depends on its radius. The exam gives you both formulas.

Formula

V = \frac{4}{3} π r^{3} A = 4 π r^{2}

$V$ is the volume, in cm³. $A$ is the surface area, in cm². $r$ is the radius: half the diameter.

Worked example

1
$d = 12, r = 12 \div 2 = 6$ — The ball is 12 cm across: that is the diameter. Halve it, because both formulas need the radius.
2
$6^{3} = 6 \times 6 \times 6 = 216$ — Volume first. Cube the radius before anything else: multiply it by itself three times.
3
$V = \frac{4}{3} π \times 216$ — Put 216 in place of $r^{3}$ in the volume formula.
4
$= 288 π$ — 216 ÷ 3 = 72, and 72 × 4 = 288. If the question says “in terms of π”, stop here.
5
$\approx 904.8 cm^{3}$ — Press the π key: 288 × π = 904.77…. Volume is in cm³, because three lengths are multiplied.
6
$6^{2} = 6 \times 6 = 36$ — Now the surface. Square the same radius.
7
$A = 4 π \times 36 = 144 π$ — Put 36 in place of $r^{2}$ , and 4 × 36 = 144.
8
$\approx 452.4 cm^{2}$ — 144 × π = 452.38…. Area is in cm², because two lengths are multiplied.

Common mistake

Using the diameter. If the question gives 12 cm across, halve it first: $r = 6$ .

Key idea

A hemisphere is half a sphere. Its volume is half. Its total surface is the curved half, $2 π r^{2}$ , plus the flat circle, $π r^{2}$ : $3 π r^{2}$ .

Key idea

Archimedes, in Sicily around 250 BC, proved that a sphere fills exactly $\frac{2}{3}$ of the cylinder that fits snugly round it. He is said to have asked for a sphere and cylinder on his tomb, and about 140 years later the Roman writer Cicero said he found it by that carving.

2. From Surface Area to Volume

في هذا السؤال تُعطى المساحة السطحية للكرة ويُطلب الحجم، فتجد نصف القطر أولًا. اكتب قانون المساحة السطحية مساويًا للعدد المعطى، فيكون نصف القطر هو المجهول الوحيد. اقسم الطرفين على أربعة باي ليبقى مربع نصف القطر وحده، ثم خذ الجذر التربيعي الموجب. بعدها عوّض بنصف القطر في قانون الحجم واحسب، ثم قرّب كما يطلب السؤال. الخطأ الشائع هو التوقف عند مربع نصف القطر ونسيان الجذر التربيعي.

The 3-mark question: you are told the surface area. Find the radius first, then the volume.

A sphere has surface area $100 π cm^{2}$ . Find its volume.

Worked example

1
$4 π r^{2} = 100 π$ — Write the surface area formula equal to the number you are given. Only $r$ is unknown.
2
$r^{2} = \frac{100 π}{4 π} = 25$ — Divide both sides by 4π to get $r^{2}$ on its own. The π's cancel, and 100 ÷ 4 = 25.
3
$r = 25 = 5$ — Square root to undo the square. The radius is 5. Use the positive root: a radius cannot be negative.
4
$V = \frac{4}{3} π \times 5^{3}$ — Now put the radius into the volume formula.
5
$= \frac{4}{3} π \times 125 = \frac{500}{3} π$ — 5³ = 125, and 4 × 125 = 500.
6
$\approx 523.6 \approx 524 cm^{3}$ — 500 ÷ 3 × π = 523.59…, so 524 to the nearest whole number.

Common mistake

Stopping at 25. That is r squared, so take the square root.

3. From Volume to Radius

قد يعطيك الامتحان حجم الكرة ويطلب نصف القطر، فتعكس القانون خطوة خطوة. اكتب قانون الحجم مساويًا للحجم المعطى، ثم اضرب الطرفين في ثلاثة لتتخلص من الكسر، ثم اقسم على أربعة باي ليبقى مكعب نصف القطر وحده. وبما أن نصف القطر مكعّب، فالخطوة الأخيرة هي الجذر التكعيبي. ولنصف الكرة الطريقة نفسها، لكن حجمه نصف حجم الكرة، أي ثلثا باي في مكعب نصف القطر، واترك كل الأرقام في الآلة الحاسبة حتى النهاية. الخطأ الشائع هو أخذ الجذر التربيعي بدل التكعيبي. واكتب سطر مكعب نصف القطر وحده، فمعظم الدرجات على خطوات الحل لا على التخمين.

Exams also give the volume and ask for the radius. Undo the formula one step at a time. Here r is cubed, so the last step is a cube root.

A sphere has volume $972 π cm^{3}$ . Find its radius.

Worked example

1
$\frac{4}{3} π r^{3} = 972 π$ — Set the volume formula equal to the volume you are given.
2
$4 π r^{3} = 2916 π$ — Times both sides by 3 to clear the fraction: 972 × 3 = 2916.
3
$r^{3} = \frac{2916 π}{4 π} = 729$ — Divide both sides by 4π. The π's cancel, and 2916 ÷ 4 = 729.
4
$r = 3729 = 9 cm$ — Cube root to undo the cube: 9 × 9 × 9 = 729.

A hemisphere has volume 200 cm³. Find its radius.

Worked example

1
$\frac{2}{3} π r^{3} = 200$ — A hemisphere is half a sphere, so its volume is half of $\frac{4}{3} π r^{3}$ , which is $\frac{2}{3} π r^{3}$ .
2
$2 π r^{3} = 600$ — Times both sides by 3: 200 × 3 = 600.
3
$r^{3} = \frac{600}{2 π} = 95.49 \dots$ — Divide both sides by 2π. Keep every digit on the calculator.
4
$r = 3 95.49 \dots \approx 4.57 cm$ — Cube root to undo the cube. 4.57 to 3 significant figures.

Common mistake

Taking the square root at the end. r is cubed, so you need the cube root: √729 = 27 is wrong, ∛729 = 9 is right.

Key idea

Show the line with $r^{3}$ on its own. Most of the marks are for the working, so a radius found by guessing scores little.

4. Hollow Balls and Bowls

في سؤال الكرة المجوفة أو الوعاء ذي الجدار السميك، حجم المعدن هو حجم الجسم الكبير ناقص حجم الفراغ الصغير بداخله. أولًا جِد نصف القطر الداخلي بطرح سُمك المعدن من نصف القطر الخارجي. ثم احسب حجم الكرة الخارجية كأنها مصمتة، ثم حجم الفراغ الداخلي، واطرح الصغير من الكبير. ولأن الوعاء نصف كرة فاقسم الناتج على اثنين. الخطأ الشائع هو طرح نصفي القطر أولًا ثم تكعيب الفرق؛ والصحيح أن تكعّب كل نصف قطر وحده ثم تطرح. وإذا أُعطيت الكثافة فاضرب حجم المعدن فيها لتجد الكتلة.

The 5-mark question: a hollow ball or a bowl with thick walls. The metal is the big solid take away the small one inside.

A bowl is a hemisphere. The outside radius is 6 cm and the metal is 1 cm thick.

Worked example

1
$inside radius = 6 - 1 = 5$ — The metal is 1 cm thick, so the hollow inside is 1 cm smaller than the outside.
2
$\frac{4}{3} π \times 6^{3} = 288 π$ — Volume of the whole outside ball, as if it were solid: 6³ = 216, and 4/3 of 216 is 288.
3
$\frac{4}{3} π \times 5^{3} = \frac{500}{3} π$ — Volume of the empty space inside: 5³ = 125, and 4 × 125 = 500.
4
$288 π - \frac{500}{3} π = \frac{364}{3} π$ — Metal = big minus small. Write 288 as 864/3, then 864 − 500 = 364.
5
$\frac{364}{3} π \div 2 = \frac{182}{3} π$ — The bowl is a hemisphere, so halve it.
6
$\approx 190.6 cm^{3}$ — 182 ÷ 3 × π = 190.59…. This is the volume of metal.

Common mistake

Working out $(6 - 5)^{3} = 1$ . Cube each radius first, then subtract.

Key idea

If the metal has a density of 8 grams per cm³, the mass is $190.6 \times 8 \approx 1525$ grams. See Compound Measures.

5. Sphere Inside a Cube

الكرة التي تدخل بالضبط داخل مكعب تلمس أوجهه الستة، لذلك قطر الكرة يساوي ضلع المكعب. أولًا جِد ضلع المكعب بأخذ الجذر التكعيبي لحجمه. ثم اقسم الضلع على اثنين لتحصل على نصف قطر الكرة. احسب حجم الكرة واترك القيمة كاملة في الآلة الحاسبة. الفراغ هو حجم المكعب ناقص حجم الكرة، والنسبة المئوية هي الفراغ مقسومًا على حجم المكعب ثم مضروبًا في مئة. الخطأ الشائع هو اعتبار ضلع المكعب نصف القطر، وهو في الحقيقة القطر كاملًا. ولاحظ أن نسبة الفراغ تبقى نفسها تقريبًا مهما كان حجم المكعب.

A ball that fits exactly inside a box touches all six faces. So the sphere's diameter is the side of the cube.

A cube has volume 1000 cm³. A sphere fits exactly inside it. What percentage of the cube is empty space?

Worked example

1
$side = 31000 = 10 cm$ — The cube's volume is side³, so cube root it to get the side.
2
$r = 10 \div 2 = 5$ — The sphere touches opposite faces, so its diameter is 10. Halve it: the radius is 5.
3
$V = \frac{4}{3} π \times 5^{3} = \frac{500}{3} π$ — Sphere volume: 5³ = 125, and 4 × 125 = 500.
4
$\approx 523.6 cm^{3}$ — 500 ÷ 3 × π = 523.59…. Keep the full value on the calculator for the next line.
5
$1000 - 523.6 = 476.4 cm^{3}$ — The empty space is the cube take away the sphere.
6
$\frac{476.4}{1000} \times 100 = 47.6%$ — Percentage = empty space ÷ whole cube × 100.

Common mistake

Using the side 10 as the radius. The side goes right across the ball, so it is the diameter.

Key idea

The answer is always about 47.6%, for any size of cube. A sphere fills $\frac{π}{6} \approx 0.524$ of the cube it fits in.

6. Melted and Recast

عندما يُصهر جسم ويُعاد تشكيله، لا يضيع شيء من المعدن، فالحجمان متساويان، واكتب ذلك معادلة. في المثال: احسب حجم الكرة واترك باي كما هو لأنه سيختصر. ثم اكتب حجم الأسطوانة، وهو باي في مربع نصف القطر في الارتفاع، واجعله مساويًا لحجم الكرة. ربّع نصف قطر الأسطوانة، ثم اقسم الطرفين ليبقى الارتفاع وحده. وإذا صُنعت كرات صغيرة بدل الأسطوانة فاقسم الحجم الكبير على حجم كرة صغيرة واحدة لتعرف عددها. والكرة التي تسقط في خزان ماء ترفع الماء بمقدار حجمها، فحجمها يساوي مساحة قاعدة الخزان في مقدار ارتفاع الماء.

When a solid is melted and made into a new shape, no metal is lost. So the two volumes are equal. Write that as an equation.

A solid metal sphere of radius 6 cm is melted and made into a cylinder of radius 4 cm. Find the height of the cylinder.

Worked example

1
$\frac{4}{3} π \times 6^{3} = 288 π$ — Volume of the sphere: 6³ = 216, and 4/3 of 216 is 288. Keep π, because it will cancel.
2
$π \times 4^{2} \times h = 288 π$ — The cylinder is made from the same metal, so its volume $π r^{2} h$ equals 288π.
3
$16 π h = 288 π$ — Square the cylinder's radius: 4² = 16.
4
$h = \frac{288 π}{16 π} = 18 cm$ — Divide both sides by 16π. The π's cancel, and 288 ÷ 16 = 18.

Key idea

Making small balls instead? Divide the big volume by one small ball's volume. A ball of radius 2 holds $\frac{32}{3} π$ , and $288 π \div \frac{32}{3} π = 27$ balls.

Key idea

A ball dropped into a tank of water pushes the water up by its own volume. So the ball's volume = $π r^{2} \times$ the rise, where r is the tank's radius.

7. Two Spheres (Extended/Higher)

هذا السؤال يقارن بين كرتين. المساحة تتغير بمربع نصف القطر، والحجم يتغير بمكعبه؛ فإذا كانت مساحة إحداهما أربعة أمثال الأخرى، فنصف قطرها مثلا الأخرى، وحجمها ثمانية أمثالها. الطريقة: سمِّ نصف القطر الصغير مجهولًا، والكبير ضعفه، واكتب حجم كل كرة، وانتبه إلى تكعيب العدد مع المجهول. ثم اجعل الفرق بين الحجمين مساويًا للعدد المعطى، واجمع الحدود، واقسم على باي، ثم اعزل مكعب نصف القطر، وخذ الجذر التكعيبي لتجد نصف القطر الأصغر.

The 5-mark question compares two spheres. If one surface area is 4 times the other, its radius is 2 times, and its volume is 8 times.

The difference in their volumes is $252 π cm^{3}$ . Find the smaller radius.

Worked example

1
$radii r and 2 r$ — Area grows with the square of the radius. Areas 4 times means radius √4 = 2 times.
2
$\frac{4}{3} π r^{3} and \frac{4}{3} π (2 r)^{3}$ — Write each volume with its own radius.
3
$(2 r)^{3} = 8 r^{3}$ — Cube the 2 as well as the r: 2 × 2 × 2 = 8.
4
$\frac{4}{3} π (8 r^{3} - r^{3}) = 252 π$ — The difference is big minus small. Set it equal to 252π.
5
$\frac{4}{3} π \times 7 r^{3} = 252 π$ — 8r³ − r³ = 7r³.
6
$\frac{28}{3} r^{3} = 252$ — Divide both sides by π, and 4/3 × 7 = 28/3.
7
$r^{3} = 252 \times \frac{3}{28} = 27$ — Times both sides by 3, then divide by 28.
8
$r = 327 = 3 cm$ — Cube root: 3 × 3 × 3 = 27. This is the smaller radius.

Key idea

Areas grow with the square of the scale, volumes with the cube. See Volume Factor of Similar Shapes.

8. Which Method? Read the Question

حدّد أولًا ما أُعطيت وما المطلوب. إذا أُعطيت نصف القطر فعوّض في القانون مباشرة. إذا أُعطيت المساحة السطحية فاقسم على أربعة باي، ثم خذ الجذر التربيعي، ثم احسب الحجم. إذا أُعطيت الحجم وطُلب نصف القطر فتخلّص من أربعة أثلاث باي ثم خذ الجذر التكعيبي. للكرة المجوفة أو الوعاء: الكبير ناقص الصغير. لنصف الكرة: نصف الحجم، والسطح الكلي ثلاثة أمثال باي في مربع نصف القطر. لكرتين مساحة إحداهما أربعة أمثال الأخرى: نصف القطر الضعف والحجم ثمانية أمثال. للكرة داخل مكعب: القطر يساوي ضلع المكعب. للصهر وإعادة التشكيل: اجعل الحجمين متساويين. والمخاريط لها درس مستقل. اترك الجواب بدلالة باي حتى النهاية، وقرّب مرة واحدة فقط.

Find what you are given, then what you are asked for.

You see	You do
Radius, find volume or area	put the radius in the formula
Surface area given	undo 4π, square root, then volume
Volume given, find the radius	undo $\frac{4}{3} π$ , then cube root
Hollow, bowl, thick metal	big minus small
Hemisphere	half the volume; surface $3 π r^{2}$
Two spheres, areas 4 times	radius 2 times, volume 8 times
Sphere fits exactly in a cube	diameter = side of the cube
Melted and made into a new shape	set the two volumes equal
Cones and pointed tops	Volume and Surface Area of a Cone

Key idea

Leave answers in terms of π until the very end. Round only once.

تدرّب على حجم ومساحة سطح الكرة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح حجم ومساحة سطح الكرة

1. Two Formulas, One Radius

2. From Surface Area to Volume

3. From Volume to Radius

4. Hollow Balls and Bowls

5. Sphere Inside a Cube

6. Melted and Recast

7. Two Spheres (Extended/Higher)

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على حجم ومساحة سطح الكرة

أسئلة امتحانات سابقة على حجم ومساحة سطح الكرة، محلولة ومشروحة بالعربي