شرح الاتجاهات باستخدام قاعدتي الجيب وجيب التمام

Bearings with Sine and Cosine Rules

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The Plan

مرحلتان من رحلة، أو سفينتان، تكوّنان مثلثًا ليس فيه زاوية قائمة، وكل سؤال يتبع الخطوات الأربع نفسها. أولًا ارسم الشكل وضع خط الشمال عند كل نقطة. ثانيًا استخرج الزاوية الداخلية للمثلث من الاتجاهات. ثالثًا استعمل قاعدة جيب التمام لإيجاد مسافة، وقاعدة الجيب لإيجاد زاوية. رابعًا حوّل الزاوية مرة أخرى إلى اتجاه. خطوط الشمال متوازية، لذلك يمكنك استعمال أن الزاويتين الداخليتين المتحالفتين مجموعهما مئة وثمانون درجة، وأن الزوايا حول نقطة مجموعها ثلاثمئة وستون درجة.

Two legs of a journey, or two ships, make a triangle with no right angle. Every question follows the same four steps.

Steps

1
Sketch it, with a north line at every point.
2
Find the angle inside the triangle from the bearings.
3
Cosine rule for a distance, sine rule for an angle.
4
Turn the angle back into a bearing.

Key idea

North lines are parallel, so you can use "co-interior angles add to 180°" and "angles at a point add to 360°".

2. The Angle at the Turn

المطلوب الزاوية الداخلية عند نقطة الانعطاف، حيث تغيّر السفينة اتجاهها. نحتاج الاتجاهين كليهما خارجين من تلك النقطة. اتجاه العودة إلى نقطة البداية هو الاتجاه العكسي، ونجده بإضافة مئة وثمانين درجة، أي نصف دورة. الآن الاتجاهان يبدآن من النقطة نفسها ويُقاسان من خط الشمال نفسه، فالزاوية بينهما هي الفرق بينهما، وهي الزاوية الداخلية بين مرحلتي الرحلة. الخطأ الشائع طرح الاتجاهين الأصليين مباشرة، مع أنهما مقيسان عند نقطتين مختلفتين.

The 5-mark question: a ship sails from $P$ to $Q$ on a bearing of 060° for 8 km, then from $Q$ to $R$ on 170° for 5 km.

Worked example

1
$06 0^{\circ} + 18 0^{\circ} = 24 0^{\circ}$ — We need the angle at $Q$ , so we need both directions from $Q$ . The way back from $Q$ to $P$ is the back bearing: add 180°, a half turn.
2
$∠ P QR = 24 0^{\circ} - 17 0^{\circ}$ — Both directions now start at $Q$ and are measured from the same north line. The angle between them is the difference.
3
$∠ P QR = 7 0^{\circ}$ — That is the angle inside the triangle at $Q$ , between the two legs.

Common mistake

Using 170° − 60° = 110°. The two bearings are measured at different points. Work at one point, $Q$ , with both directions from it.

3. The Distance: Cosine Rule

الآن نعرف ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، والمطلوب الضلع المقابل لها، أي المسافة المباشرة، وهذه حالة قاعدة جيب التمام. نربّع الضلعين ونجمعهما، ثم نطرح ضعف حاصل ضربهما مضروبًا في جيب تمام الزاوية، ونحسب هذا الحد أولًا قبل الطرح. ثم نأخذ الجذر التربيعي، ونحتفظ بأربعة أرقام لأن الجزء التالي يستعملها، ونقرّب الجواب النهائي لثلاثة أرقام معنوية. ملاحظة: إذا كانت إحدى السفينتين شمال الأخرى تمامًا، فالزاوية الداخلية هي مئة وثمانون درجة مطروحًا منها الاتجاه.

Now you have two sides and the angle between them. Find the direct distance $P R$ .

Worked example

1
$P R^{2} = 8^{2} + 5^{2} - 2 (8) (5) cos 7 0^{\circ}$ — We know two sides (8 and 5) and the angle between them, and want the side opposite that angle. That is the cosine rule.
2
$P R^{2} = 64 + 25 - 80 cos 7 0^{\circ}$ — Square the sides: 64 and 25. Multiply 2 × 8 × 5 = 80.
3
$P R^{2} = 89 - 27.36 = 61.64$ — Work out $80 cos 7 0^{\circ} = 27.36$ first, then subtract it from 89.
4
$P R = 61.64 = 7.851$ — Square root to get $P R$ . Keep all 4 figures, because the next part uses them.
5
$P R = 7.85 km$ — Round to 3 significant figures for the answer.

Key idea

If one ship is due north of the other, the angle inside is 180° minus the bearing. A bearing of 120° gives 60°.

4. The Bearing: Sine Rule, Then Add

لإيجاد اتجاه النقطة الأخيرة من نقطة البداية، نجد أولًا الزاوية الداخلية عند نقطة البداية ثم نضيفها إلى الاتجاه الأول. نكتب قاعدة الجيب والزاوية المجهولة في البسط، بحيث يقابل كل ضلع زاويته. نضرب الطرفين ونحسب، ثم نستعمل معكوس الجيب. الزاوية حادة لأنها تقابل الضلع الأقصر. بما أن المسار انعطف مع عقارب الساعة، لأن الاتجاه الثاني أكبر، نضيف الزاوية إلى الاتجاه الأول ونكتب الاتجاه بثلاثة أرقام. الخطأ الشائع إعطاء الزاوية الداخلية جوابًا، وهي ليست اتجاهًا مقيسًا من الشمال.

To find the bearing of $R$ from $P$ , find the angle at $P$ inside the triangle, then add it to the first bearing.

Worked example

1
$\frac{s i n P}{5} = \frac{s i n 7 0 ^{\circ}}{7.851}$ — Sine rule, with the unknown angle on top. The side 5 faces angle $P$ , and 7.851 faces the 70° angle, so each is a side with its facing angle.
2
$sin P = \frac{5 \times s i n 7 0 ^{\circ}}{7.851} = 0.5985$ — Multiply both sides by 5, then work it out.
3
$P = sin^{- 1} (0.5985) = 36. 8^{\circ}$ — Inverse sine gives the angle inside the triangle. It is acute, because 5 is the shorter side and so $P$ is smaller than 70°.
4
$06 0^{\circ} + 36. 8^{\circ} = 096. 8^{\circ}$ — The second leg turns clockwise (170° is bigger than 060°), so $R$ is clockwise from the first direction. Add the angle, and write three figures.

Common mistake

Giving 36.8° as the answer. That is the angle inside the triangle, not a bearing from north.

5. Turning Left, Bearings Over 180

قد ينعطف المسار إلى اليسار، وقد يكون الاتجاه أكبر من مئة وثمانين درجة. لإيجاد الاتجاه العكسي هنا نطرح مئة وثمانين درجة بدل الإضافة، لأن الإضافة تتجاوز الدورة الكاملة. ثم الزاوية عند نقطة الانعطاف هي الفرق بين الاتجاهين الخارجين منها. بعدها قاعدة جيب التمام للمسافة، وانتبه أن جيب تمام الزاوية المنفرجة سالب، وسالب في سالب يعطي موجبًا فيُضاف الحد. ثم قاعدة الجيب لإيجاد الزاوية عند نقطة البداية. بما أن المسار انعطف يسارًا، لأن الاتجاه الثاني أصغر، نطرح الزاوية من الاتجاه الأول. القاعدة: انعطاف يمين نضيف، انعطاف يسار نطرح، وإذا صار الناتج سالبًا نضيف ثلاثمئة وستين درجة.

A path can also turn left, and a bearing can be over 180°. A boat sails from $X$ to $Y$ on a bearing of 285° for 6 km, then from $Y$ to $Z$ on 230° for 9 km. Find the bearing of $Z$ from $X$ .

Worked example

1
$28 5^{\circ} - 18 0^{\circ} = 10 5^{\circ}$ — The back bearing, $Y$ to $X$ . The bearing is over 180°, so take 180° away. Adding would go past 360°.
2
$∠ X Y Z = 23 0^{\circ} - 10 5^{\circ} = 12 5^{\circ}$ — Both directions start at $Y$ , so the angle between them is the difference.
3
$X Z^{2} = 6^{2} + 9^{2} - 2 (6) (9) cos 12 5^{\circ}$ — Two sides (6 and 9) and the angle between them: cosine rule for $X Z$ .
4
$cos 12 5^{\circ} = - 0.5736$ — 125° is obtuse, so its cosine is negative. Keep the minus sign.
5
$X Z^{2} = 117 - 108 (- 0.5736) = 117 + 61.95 = 178.95$ — Square the sides: 36 + 81 = 117. Minus times minus is plus, so 61.95 is added.
6
$X Z = 178.95 = 13.38$ — Square root. Keep 4 figures for the next step.
7
$\frac{s i n X}{9} = \frac{s i n 12 5 ^{\circ}}{13.38}$ — Sine rule. The side 9 ( $Y Z$ ) faces angle $X$ , and 13.38 faces the 125° angle.
8
$X = sin^{- 1} (\frac{9 s i n 12 5 ^{\circ}}{13.38}) = 33. 4^{\circ}$ — Multiply by 9 and use the inverse sine. $X$ is acute because 9 is the shorter side.
9
$28 5^{\circ} - 33. 4^{\circ} = 251. 6^{\circ}$ — The path turned left (230° is smaller than 285°), so $Z$ is anticlockwise from the direction of $Y$ . Take the angle away.

Key idea

Turn right (the second bearing is bigger): add the angle. Turn left (the second bearing is smaller): take it away. If the answer is negative, add 360°.

6. Due East or West: Hidden Angles

إذا كانت نقطة شرق أخرى أو غربها تمامًا، فالخط بينهما اتجاهه تسعون درجة أو مئتان وسبعون درجة، وهذا يعطيك زاوية مخفية. أولًا نجد الزاوية الداخلية عند النقطة الأولى بطرح الاتجاه المعطى من اتجاه الشرق. ثانيًا نستعمل قاعدة الجيب، فكل ضلع يقابل زاويته، ونحسب ثم نستعمل معكوس الجيب، والزاوية حادة لأنها تقابل الضلع الأقصر. أخيرًا من النقطة الثانية يكون اتجاه النقطة الأولى غربًا، فنضيف الزاوية لأن النقطة المطلوبة شمال الخط، أي أبعد مع عقارب الساعة نحو الشمال. ضع على الرسم كل خطوط الشمال والشرق والغرب، ووضّح كيف وجدت الزاوية لأن درجات الطريقة عليها.

When one point is due east or due west of another, the line between them is at 090° or 270°. That gives you a hidden angle. $B$ is due east of $A$ . $A C = 40$ km, $C B = 58$ km, and the bearing of $C$ from $A$ is 047°. Find the bearing of $C$ from $B$ .

Worked example

1
$∠ C A B = 9 0^{\circ} - 4 7^{\circ} = 4 3^{\circ}$ — Due east is 090°, and $A C$ is at 047°. The angle between $A C$ and $A B$ is the gap between them.
2
$\frac{s i n B}{40} = \frac{s i n 4 3 ^{\circ}}{58}$ — Sine rule. The side 58 faces the 43° angle, and 40 faces angle $B$ .
3
$sin B = \frac{40 s i n 4 3 ^{\circ}}{58} = 0.4703$ — Multiply both sides by 40, then work it out.
4
$B = sin^{- 1} (0.4704) = 28. 1^{\circ}$ — Inverse sine. It is acute, because 40 is shorter than 58, so $B$ is smaller than 43°.
5
$27 0^{\circ} + 28. 1^{\circ} = 298. 1^{\circ}$ — From $B$ , $A$ is due west, which is 270°. $C$ is north of the line, so it is 28.1° further clockwise, towards north. Add.

Key idea

Mark every north line and every due east or west line on your sketch. The method marks are for the angle at the turn, so show how you got it.

7. Which Method? Read the Question

ارسم أولًا وضع خط الشمال عند كل نقطة. مرحلتان من رحلة: الاتجاه العكسي عند نقطة الانعطاف ثم اطرح. نقطة شرق أو غرب أخرى تمامًا: الخط اتجاهه تسعون أو مئتان وسبعون درجة، فجد الزاوية المخفية. المرحلة الثانية تنعطف يسارًا: اطرح الزاوية الداخلية من الاتجاه الأول. سفينتان من ميناء واحد: اطرح الاتجاهين. المسافة: قاعدة جيب التمام. الاتجاه: قاعدة الجيب ثم أضف إلى اتجاه أو اطرح منه. إذا كان في الرسم زاوية قائمة فلها درس الاتجاهات وحساب المثلثات، واتجاه العودة وحده له درس الاتجاه العكسي. احتفظ بأربعة أرقام للمسافة لأنك ستستعملها في قاعدة الجيب.

Sketch first, with north lines at every point.

You see	You do
Two legs of a journey	back bearing at the turn, then subtract
A point due east or west of another	the line is 090° or 270°, so find the hidden angle
Second leg turns left	take the inside angle away from the first bearing
Two ships from one port	subtract the two bearings
Find the distance	the cosine rule
Find a bearing	sine rule, then add to or take from a bearing
A right angle in the sketch	Bearings and Trigonometry
Just the return direction	Back Bearings

Key idea

Keep 4 figures for the distance. You use it again in the sine rule.

تدرّب على الاتجاهات باستخدام قاعدتي الجيب وجيب التمام

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الاتجاهات باستخدام قاعدتي الجيب وجيب التمام

1. The Plan

2. The Angle at the Turn

3. The Distance: Cosine Rule

4. The Bearing: Sine Rule, Then Add

5. Turning Left, Bearings Over 180

6. Due East or West: Hidden Angles

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على الاتجاهات باستخدام قاعدتي الجيب وجيب التمام

أسئلة امتحانات سابقة على الاتجاهات باستخدام قاعدتي الجيب وجيب التمام، محلولة ومشروحة بالعربي