شرح الاختيار بين قانوني الجيب وجيب التمام

Choosing Between Sine and Cosine Rules

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Which Rule? Look at What You Have

المثلث الذي ليس فيه زاوية قائمة يحتاج إحدى ثلاث أدوات، فانظر ماذا يعطيك السؤال وماذا يطلب. ضلع والزاوية المقابلة له مع معلومة أخرى: قاعدة الجيب. ضلعان والزاوية المحصورة بينهما: قاعدة جيب التمام. الأضلاع الثلاثة والمطلوب زاوية: قاعدة جيب التمام أيضًا. ضلعان والزاوية بينهما والمطلوب المساحة: قانون نصف حاصل ضرب الضلعين في جيب الزاوية. القاعدة الذهبية: ابحث عن زوج، أي ضلع والزاوية المقابلة له؛ وجود الزوج يعني قاعدة الجيب، وعدم وجوده يعني قاعدة جيب التمام.

A triangle with no right angle needs one of three tools. Look at what the question gives you and what it asks for.

You have	Use
A side and the angle facing it, plus one more fact	the sine rule
Two sides and the angle between them	the cosine rule
All three sides, and you want an angle	the cosine rule
Two sides and the angle between, want the area	the area formula $\frac{1}{2} ab sin C$

Rule

Look for a matching pair: a side and the angle facing it. A pair means the sine rule. No pair means the cosine rule.

2. Two Triangles: Cosine Rule, Then Sine Rule

السؤال الأكثر شيوعًا: مثلثان يشتركان في ضلع. نجد الضلع المشترك من المثلث الأول ثم نستعمله في الثاني. في المثلث الأول نعرف ضلعين والزاوية بينهما ولا يوجد زوج ضلع وزاوية مقابلة، فنستعمل قاعدة جيب التمام: نربّع ونجمع، ونحسب الحد الأخير قبل الطرح، ثم نأخذ الجذر. نحتفظ بأربعة أرقام لأن هذا الضلع سنستعمله مرة أخرى. في المثلث الثاني يوجد زوج، فالضلع المشترك يقابل زاوية معلومة، فنستعمل قاعدة الجيب ونضرب الطرفين لعزل الضلع المطلوب. نقرّب لثلاثة أرقام معنوية في النهاية فقط. الخطأ الشائع تقريب الضلع المشترك مبكرًا فتضيع درجة الدقة.

The most common 5-mark question: two triangles share a side. Find the shared side in the first triangle, then use it in the second.

Triangle $A B C$ has $A B = 9$ cm, $A C = 7$ cm and $A = 6 5^{\circ}$ . Triangle $B C D$ has $D = 5 8^{\circ}$ and $∠ C B D = 4 0^{\circ}$ . Find $C D$ .

Worked example

1
$B C^{2} = 7^{2} + 9^{2} - 2 (7) (9) cos 6 5^{\circ}$ — In triangle $A B C$ we know two sides (7 and 9) and the angle between them, and want the side opposite that angle. There is no side-and-facing-angle pair, so use the cosine rule.
2
$B C^{2} = 130 - 126 cos 6 5^{\circ}$ — Square the sides: 49 + 81 = 130. Multiply 2 × 7 × 9 = 126.
3
$B C^{2} = 130 - 53.25 = 76.75$ — Work out $126 cos 6 5^{\circ} = 53.25$ first, then subtract from 130.
4
$B C = 76.75 = 8.761$ — Square root to get $B C$ . Keep 4 figures: it is the shared side, used again next.
5
$\frac{C D}{s i n 4 0 ^{\circ}} = \frac{8.761}{s i n 5 8 ^{\circ}}$ — Now triangle $B C D$ has a pair: $B C$ faces the 58° angle. $C D$ faces the 40° angle, so use the sine rule.
6
$C D = \frac{8.761 \times s i n 4 0 ^{\circ}}{s i n 5 8 ^{\circ}}$ — Multiply both sides by $sin 4 0^{\circ}$ to get $C D$ on its own.
7
$C D = 6.64 cm$ — Work it out and round to 3 significant figures, only now at the end.

Common mistake

Rounding $B C$ to 8.8 first. That gives 6.67, which loses the accuracy mark. Round only at the end.

3. Area Given: Work Back to the Angle

السؤال الآخر الشائع يعطيك المساحة. نعوّضها في قانون نصف حاصل ضرب الضلعين في جيب الزاوية لنجد الزاوية: نحسب نصف حاصل ضرب الضلعين، ونقسم المساحة عليه لنجد جيب الزاوية، ثم معكوس الجيب. السؤال يقول إن الزاوية حادة فنأخذ جواب الآلة الحاسبة؛ ولو قال منفرجة لطرحناها من مئة وثمانين درجة. الآن نعرف ضلعين والزاوية بينهما، فنستعمل قاعدة جيب التمام لإيجاد الضلع الثالث، مستعملين قيمة الزاوية الكاملة من الآلة الحاسبة لا المقرّبة. الخطأ الشائع التوقف عند الزاوية، مع أن المطلوب ضلع.

The other common 5-mark question gives the area. Put it into the area formula to find the angle, then use the cosine rule.

$A B = 8$ cm, $A C = 11$ cm, the area is 30 cm² and angle $A$ is acute. Find $B C$ .

Worked example

1
$\frac{1}{2} \times 8 \times 11 \times sin A = 30$ — Area = ½ab sin C, with sides 8 and 11 around angle $A$ . The area is given and $A$ is unknown.
2
$44 sin A = 30$ — Half of 8 × 11 is 44.
3
$sin A = \frac{30}{44} = 0.6818$ — Divide both sides by 44.
4
$A = 42.9 9^{\circ}$ — Inverse sine. The question says $A$ is acute, so this is the angle we want.
5
$B C^{2} = 8^{2} + 1 1^{2} - 2 (8) (11) cos A$ — Now two sides and the angle between them are known, so use the cosine rule for the third side.
6
$B C^{2} = 185 - 176 cos 42.9 9^{\circ}$ — Square the sides: 64 + 121 = 185. Multiply 2 × 8 × 11 = 176.
7
$B C^{2} = 185 - 128.75 = 56.25$ — Work out $176 cos 42.9 9^{\circ} = 128.75$ , then subtract from 185. Use the full calculator value of $A$ , not a rounded one.
8
$B C = 56.25 = 7.50 cm$ — Square root, to 3 significant figures.

Key idea

If the question says the angle is obtuse, use 180° minus it: here that would be 137.0°.

Common mistake

Stopping at the angle. The question wants a side, so the area is only the first step.

4. One Triangle, One Rule

بعض الأسئلة مثلث واحد والمطلوب زاوية، فابحث عن زوج أولًا. في المثال الأول ضلع يقابل زاوية معلومة، فهذا زوج ونستعمل قاعدة الجيب بوضع الزاوية المجهولة في البسط، ثم نضرب ونحسب ونستعمل معكوس الجيب. وبما أن الزاوية المعلومة منفرجة فالمجهولة حادة حتمًا، فهناك جواب واحد. إذا لم يوجد زوج وأُعطيت الأضلاع الثلاثة فنستعمل قاعدة جيب التمام بصورتها المعدّلة لإيجاد الزاوية. أكبر زاوية تقابل أطول ضلع، وهذا الضلع هو الذي يُطرح مربعه في البسط. إذا خرج جيب التمام سالبًا فالزاوية منفرجة. الخطأ الشائع حذف إشارة السالب، فتخرج زاوية حادة لا يمكن أن تقابل أطول ضلع.

Some 5-mark questions are a single triangle: find angle $x$ . Look for a pair first.

A triangle has a 110° angle facing a side of 9.5 cm. Angle $x$ faces a side of 6.2 cm.

Worked example

1
$\frac{s i n x}{6.2} = \frac{s i n 11 0 ^{\circ}}{9.5}$ — The side 9.5 faces the 110° angle, so there is a pair: use the sine rule. $x$ faces 6.2, with the unknown angle on top.
2
$sin x = \frac{6.2 \times s i n 11 0 ^{\circ}}{9.5}$ — Multiply both sides by 6.2.
3
$sin x = 0.6133$ — Work it out: 6.2 × 0.9397 ÷ 9.5.
4
$x = sin^{- 1} (0.6133) = 37. 8^{\circ}$ — Inverse sine, to 1 decimal place.

Key idea

The 110° angle is already obtuse, so $x$ must be acute. There is only one answer.

No pair at all? Three sides and no angle also means the cosine rule, rearranged to give the angle. A triangle has sides 5 cm, 8 cm and 11 cm. Find its largest angle $C$ .

Worked example

1
$cos C = \frac{5 ^{2} + 8 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 ( 5 ) ( 8 )}$ — The largest angle faces the longest side, 11. In the rearranged cosine rule, the side facing the angle you want is the one that is subtracted.
2
$cos C = \frac{25 + 64 - 121}{80}$ — Square each side. Multiply 2 × 5 × 8 = 80.
3
$cos C = \frac{- 32}{80} = - 0.4$ — 25 + 64 = 89, and 89 − 121 = −32. Keep the minus sign.
4
$C = cos^{- 1} (- 0.4) = 113. 6^{\circ}$ — Inverse cosine of a negative number gives an obtuse angle. That fits: the longest side faces the biggest angle.

Common mistake

Dropping the minus sign. Using $+ 0.4$ gives 66.4°, an acute angle that could never face the longest side.

5. Which Method? Read the Question

ضع على الرسم ما تعرفه، ثم طابقه مع الطريقة. مثلثان يشتركان في ضلع: جد الضلع المشترك أولًا. المساحة معطاة والمطلوب ضلع: قانون المساحة لإيجاد الزاوية ثم قاعدة جيب التمام. ضلع والزاوية المقابلة له: قاعدة الجيب. إذا احتجت قاعدة واحدة فقط فارجع إلى درس قاعدة الجيب أو قاعدة جيب التمام، وإذا كان في المثلث زاوية قائمة فارجع إلى درس اختيار النسبة المثلثية المناسبة. نصيحة: اكتب القاعدة قبل التعويض بالأعداد، فهي تعطيك درجة الطريقة حتى لو أخطأت في الحساب.

Mark on the diagram what you know, then match it.

You see	You do
Two triangles share a side	find the shared side first
Area given, a side wanted	area formula for the angle, then cosine rule
A side and its facing angle	the sine rule
Just one rule needed	The Sine Rule, or The Cosine Rule
A right angle in the triangle	Choosing the Right Trigonometric Ratio

Key idea

Write the rule before the numbers. It earns a method mark even if the arithmetic slips.

تدرّب على الاختيار بين قانوني الجيب وجيب التمام

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الاختيار بين قانوني الجيب وجيب التمام

1. Which Rule? Look at What You Have

2. Two Triangles: Cosine Rule, Then Sine Rule

3. Area Given: Work Back to the Angle

4. One Triangle, One Rule

5. Which Method? Read the Question

تدرّب على الاختيار بين قانوني الجيب وجيب التمام

أسئلة امتحانات سابقة على الاختيار بين قانوني الجيب وجيب التمام، محلولة ومشروحة بالعربي