شرح متسلسلة ذي الحدين لأي أس نسبي

Binomial Series for Any Rational Power

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. A series that never stops

تعرف فكّ قوس مرفوع لقوة صحيحة موجبة، لكن ماذا عن مقلوب القوس، أي قوة سالب واحد، أو الجذر التربيعي، أي قوة النصف؟ المتسلسلة نفسها تعمل، مع تغيير كبير. عندما تكون القوة عددًا صحيحًا موجبًا تصل العوامل المتناقصة، أي القوة ثم القوة ناقص واحد وهكذا، إلى الصفر فتتوقف المتسلسلة. أما مع القوة السالبة أو الكسرية فلا تصل إلى الصفر أبدًا، فتستمر المتسلسلة بلا نهاية، ولا تصح إلا إذا كانت القيمة المطلقة للسين أصغر من واحد. في المثال نفكّ قوة سالب واحد ونتابع الإشارات: إشارتان سالبتان تعطيان موجبًا، وثلاث تعطي سالبًا، ثم نتحقق بقيمة صغيرة للسين. وبقيمة كبيرة تكبر الحدود ولا تقترب من الجواب. المتسلسلة مطبوعة في إدكسل، لكن عليك أن تحسب شرط الصلاحية لفكّك وتكتبه، وعليه درجة غالبًا.

You can expand $(1 + x)^{5}$ . But what about $\frac{1}{1 + x}$ , which is $(1 + x)^{- 1}$ , or $1 + x$ , which is $(1 + x)^{\frac{1}{2}}$ ? The same series works, with one big change.

Formula

(1 + x)^{n} = 1 + n x + \frac{n ( n - 1 )}{2 !} x^{2} + \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{3 !} x^{3} + \dots

$n$ — any rational power: negative, or a fraction.
$x$ — must be small: $∣ x ∣ < 1$ when $n$ is not a positive whole number.

For a whole number $n$ , the factors $n$ , $n - 1$ , $n - 2$ , … reach 0, and the series stops. For $n = - 1$ or $n = \frac{1}{2}$ they never reach 0. So the series goes on for ever.

Worked example

1
Expand $(1 + x)^{- 1}$ up to the term in $x^{3}$ .
2
$1 + (- 1) x$ — $n = - 1$ .
3
$\frac{( - 1 ) ( - 2 )}{2} x^{2} = x^{2}$ — $n - 1 = - 2$ . Two minus signs make a plus.
4
$\frac{( - 1 ) ( - 2 ) ( - 3 )}{6} x^{3} = - x^{3}$ — $n - 2 = - 3$ . Three minus signs make a minus.
5
$1 - x + x^{2} - x^{3} + \dots$ — Check with $x = 0.1$ : $1 - 0.1 + 0.01 - 0.001 = 0.909$ , and $\frac{1}{1.1} = 0.90909 \dots$

Now try $x = 2$ : $1 - 2 + 4 - 8 + \dots$ The terms grow, and the sum never settles near $\frac{1}{3}$ . The series only works when $x$ is small.

Rule

The series is on the 4PM1 formula sheet, with $∣ x ∣ < 1$ . For your own expansion you must work out and state the validity yourself. Questions often give a mark just for it.

Key idea

Isaac Newton discovered this series for fractional and negative powers in about 1665, when he was in his early twenties.

Key idea

Whole-number power: the series stops. Any other power: it never stops, and it only works for small $x$ .

2. Fractional powers

معظم الأسئلة تضع مكان السين عبارة مثل مضاعف للسين أو كسر منها بإشارة سالبة. ضع العبارة كلها بين قوسين مكان السين في كل حد. في المثال القوة نصف، والعبارة البديلة سالب ضعف السين، والإشارة السالبة داخل القوس. نحسب الحد الثاني، ثم الثالث حيث القوة ناقص واحد تصبح سالب نصف ونربّع العبارة كلها، ثم الرابع ونكعّب العبارة كلها. اكتب كل معامل كسرًا في أبسط صورة. وشرط الصلاحية: العبارة البديلة كلها بين سالب واحد وواحد، ومنه نجد مدى السين. على البنية الصحيحة درجة طريقة حتى قبل التبسيط، والأقواس ضرورية. الخطأ الشائع نسيان القوس فتربّع السين وحدها دون العدد. والخطأ الثاني كتابة الصلاحية للسين أصغر من واحد؛ العبارة كلها هي التي يجب أن تكون أصغر من واحد.

Most questions put something like $2 x$ or $- \frac{x}{3}$ in place of $x$ . Replace $x$ by the whole thing, in brackets, everywhere.

Worked example

1
Expand $(1 - 2 x)^{\frac{1}{2}}$ up to the term in $x^{3}$ , and state when it is valid.
2
$n = \frac{1}{2}, x \to (- 2 x)$ — Name the parts. The minus sign goes inside the bracket.
3
$1 + \frac{1}{2} (- 2 x) = 1 - x$ — First two terms.
4
$\frac{\frac{1}{2} ( - \frac{1}{2} )}{2} (- 2 x)^{2} = - \frac{1}{8} \times 4 x^{2} = - \frac{1}{2} x^{2}$ — $n - 1 = - \frac{1}{2}$ . Square all of $- 2 x$ .
5
$\frac{\frac{1}{2} ( - \frac{1}{2} ) ( - \frac{3}{2} )}{6} (- 2 x)^{3} = \frac{1}{16} \times (- 8 x^{3})$ $= - \frac{1}{2} x^{3}$ — $n - 2 = - \frac{3}{2}$ . Cube all of $- 2 x$ .
6
$1 - x - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{3}$ — Give each coefficient as a fraction in its lowest terms.
7
$∣ - 2 x ∣ < 1 \Rightarrow ∣ x ∣ < \frac{1}{2}$ — Valid when the thing replacing $x$ is between −1 and 1.

Mark schemes give a method mark for the correct structure, even before you simplify. Brackets must be there: a missing bracket loses the mark unless you recover it.

Common mistake

Writing $- 2 x^{2}$ instead of $(- 2 x)^{2} = 4 x^{2}$ . Always keep the bracket round the whole replacement.

Common mistake

Giving the validity as $∣ x ∣ < 1$ . It is the whole replacement that must be smaller than 1, so here $∣ x ∣ < \frac{1}{2}$ .

Key idea

Replace $x$ by the whole term, in brackets. Validity: that whole term between −1 and 1.

3. Negative powers and roots

أعد كتابة العبارة أولًا قوسًا مرفوعًا لقوة: القوس في المقام قوته سالبة، والجذر قوة كسرية؛ فالجذر التربيعي قوة نصف، والجذر التكعيبي قوة ثلث، والجذر في المقام قوة سالب نصف. في المثال القوس المربع في المقام يصبح قوة سالب اثنين، ثم نفكّ كالمعتاد مع ثلاثة أضعاف السين بين قوسين: الحد الثاني، ثم الثالث بعد تربيع العبارة، ثم الرابع بعد تكعيبها. والصلاحية: ثلاثة أضعاف السين بين سالب واحد وواحد. إشارات القوة والقوة ناقص واحد والقوة ناقص اثنين هي التي تحدّد إشارات الحدود. الخطأ الشائع حساب القوة ناقص واحد خطأ عندما تكون القوة سالبة؛ النزول من عدد سالب يجعله أكثر سالبية، فسالب اثنين ناقص واحد هو سالب ثلاثة وليس سالب واحد.

First rewrite the expression as a bracket to a power. A bracket on the bottom has a negative power. A root is a fraction power.

$\frac{1}{( 1 + 3 x ) ^{2}} = (1 + 3 x)^{- 2}$
$\frac{1}{1 + x} = (1 + x)^{- \frac{1}{2}}$
$3 1 - x = (1 - x)^{\frac{1}{3}}$

Worked example

1
Expand $\frac{1}{( 1 + 3 x ) ^{2}}$ up to the term in $x^{3}$ , and state when it is valid.
2
$(1 + 3 x)^{- 2}, n = - 2$ — Rewrite with a negative power.
3
$1 + (- 2) (3 x) = 1 - 6 x$ — First two terms.
4
$\frac{( - 2 ) ( - 3 )}{2} (3 x)^{2} = 3 \times 9 x^{2} = 27 x^{2}$ — $n - 1 = - 3$ . $(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ .
5
$\frac{( - 2 ) ( - 3 ) ( - 4 )}{6} (3 x)^{3} = - 4 \times 27 x^{3}$ $= - 108 x^{3}$ — $n - 2 = - 4$ . $(3 x)^{3} = 27 x^{3}$ .
6
$1 - 6 x + 27 x^{2} - 108 x^{3}, ∣ x ∣ < \frac{1}{3}$ — Valid when $∣3 x ∣ < 1$ .

Common mistake

Getting $n - 1$ wrong for a negative $n$ . When $n = - 2$ , $n - 1 = - 3$ , not −1. Moving down from a negative number makes it more negative.

Key idea

Rewrite as a power first. Then the signs of $n$ , $n - 1$ , $n - 2$ decide the signs of the terms.

4. When the bracket does not start with 1

المتسلسلة تحتاج قوسًا يبدأ بواحد. إذا بدأ القوس بعدد آخر فأخرج هذا العدد أولًا، وتذكّر أنه يخرج مرفوعًا للقوة نفسها: اقسم كل ما في القوس على العدد، واضرب في العدد مرفوعًا للقوة خارج القوس. في المثال القوس يبدأ باثنين والقوة سالب اثنين، فيخرج ربع، ويبقى قوس يبدأ بواحد وبعده نصف السين بإشارة سالبة. نفكّ هذا القوس حتى الحد التكعيبي، ثم نضرب كل الحدود في الربع. والصلاحية: نصف السين بين سالب واحد وواحد، أي أن السين أصغر من اثنين في القيمة المطلقة. احذر خطأين: إخراج العدد دون رفعه للقوة، ونسيان ضرب كل الحدود في العدد الخارجي في النهاية.

The series needs $(1 + \dots)$ . If the bracket starts with another number, take that number out first. Remember it is raised to the power too.

Formula

(a + b x)^{n} = a^{n} (1 + \frac{b x}{a})^{n}

$a$ — the number at the front of the bracket. Divide every term inside by it, and multiply by $a^{n}$ outside.

Worked example

1
Expand $\frac{1}{( 2 - x ) ^{2}}$ up to the term in $x^{3}$ , and state when it is valid.
2
$(2 - x)^{- 2} = 2^{- 2} (1 - \frac{x}{2})^{- 2}$ $= \frac{1}{4} (1 - \frac{x}{2})^{- 2}$ — Take out the 2. $2^{- 2} = \frac{1}{4}$ .
3
$1 + (- 2) (- \frac{x}{2}) = 1 + x$ — Expand the bracket. First two terms.
4
$\frac{( - 2 ) ( - 3 )}{2} (- \frac{x}{2})^{2} = 3 \times \frac{x ^{2}}{4} = \frac{3}{4} x^{2}$ — Third term.
5
$\frac{( - 2 ) ( - 3 ) ( - 4 )}{6} (- \frac{x}{2})^{3} = - 4 \times (- \frac{x ^{3}}{8})$ $= \frac{1}{2} x^{3}$ — Fourth term.
6
$\frac{1}{4} (1 + x + \frac{3}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x^{3})$ $= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} x + \frac{3}{16} x^{2} + \frac{1}{8} x^{3}$ — Multiply every term by $\frac{1}{4}$ .
7
$\frac{x}{2} < 1 \Rightarrow ∣ x ∣ < 2$ — Validity.

Common mistake

Taking out 2 instead of $2^{- 2}$ . The number you take out keeps the power: here $\frac{1}{4}$ , not 2.

Common mistake

Forgetting to multiply every term by the number outside at the end.

Key idea

Take out $a^{n}$ , expand $(1 + \frac{b}{a} x)^{n}$ , multiply back. Valid for $∣ x ∣ < \frac{a}{b}$ , ignoring signs.

5. Estimating with the series

بضعة حدود من المتسلسلة تعطي تقديرًا ممتازًا ما دامت السين صغيرة. اختر قيمة السين التي تجعل القوس يساوي العدد الذي تريده، وتحقق أنها داخل مدى الصلاحية، ثم عوّض بها في كل حد. في المثال نختار السين التي تجعل ما داخل الجذر العدد العشري المطلوب، فنحصل على تقدير قريب جدًا من الحقيقي، ثم نربطه بجذر ستة بكتابة الكسر العشري كسرًا عاديًا وتبسيط الجذر. الدرجات: واحدة لقيمة السين الصحيحة، وواحدة للتعويض في المتسلسلة، وواحدة للجواب بالدقة المطلوبة؛ وقيمة الآلة الحاسبة بدون المتسلسلة لا تأخذ شيئًا. وإذا طُلب تقدير تكامل فكامل المتسلسلة حدًّا حدًّا بدل العبارة نفسها، ثم عوّض بالحدود. الخطأ الشائع اختيار قيمة للسين خارج مدى الصلاحية، فتعطي المتسلسلة نتيجة بلا معنى.

A few terms of the series give a very good estimate, as long as $x$ is small. Choose $x$ so the bracket becomes the number you need.

Worked example

1
Use $(1 - 2 x)^{\frac{1}{2}} \approx 1 - x - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{3}$ to estimate $0.96$ , then $6$ .
2
$1 - 2 x = 0.96 \Rightarrow x = 0.02$ — Choose $x$ . Check it is valid: $0.02 < \frac{1}{2}$ .
3
$1 - 0.02 - \frac{1}{2} (0.0004) - \frac{1}{2} (0.000008)$ — Put $x = 0.02$ into every term.
4
$0.96 \approx 0.979796$ — The true value is 0.9797959…, so the estimate is excellent.
5
$0.96 = \frac{96}{100} = \frac{4 6}{10} = 0.4 6$ — Link it to $6$ : $96 = 46$ .
6
$6 \approx 0.979796 \div 0.4 = 2.44949$ — To 5 decimal places.

Marks: one for the right value of $x$ , one for putting it into the series, one for the answer to the accuracy asked. A calculator value with no series earns nothing.

Some questions ask you to estimate an integral. Integrate the series term by term, instead of the expression itself.

Worked example

1
Use $(1 + 3 x)^{- 2} \approx 1 - 6 x + 27 x^{2} - 108 x^{3}$ to estimate $\int_{0}^{0.05} \frac{1}{( 1 + 3 x ) ^{2}} d x$ to 4 decimal places.
2
$\int_{0}^{0.05} (1 - 6 x + 27 x^{2} - 108 x^{3}) d x$ — Replace the expression by its series. 0.05 is inside the valid range, |x| < 1/3.
3
$= [x - 3 x^{2} + 9 x^{3} - 27 x^{4}]_{0}^{0.05}$ — Integrate each term: add 1 to the power, then divide by the new power.
4
$= 0.05 - 0.0075 + 0.001125 - 0.00016875$ — Put in 0.05. At 0 every term is 0.
5
$= 0.04345625 \approx 0.0435$ — To 4 decimal places.

Common mistake

Choosing an $x$ outside the validity range, such as $x = 0.6$ here. The series then gives nonsense.

Key idea

Make the bracket equal the number you want, check $x$ is valid and small, then substitute.

6. Products and unknowns

أسئلة الامتحان كثيرًا ما تضرب المتسلسلة في قوس آخر، أو تخفي فيها مجهولين. في المثال الأول البسط قوس قصير والمقام قوس مرفوع لقوة، فنكتب المقام بقوة سالبة ونستعمل متسلسلته التي وجدناها سابقًا، ثم نضرب كل حد من القوس القصير في المتسلسلة ونتوقف عند القوة المطلوبة، ثم نجمع الحدود المتشابهة. والصلاحية هي صلاحية المتسلسلة نفسها. وفي المثال الثاني معامل السين ومعامل مربعها معطيان: نكتب كل حد بالمجهولين ونساويه بالعدد المعطى، ثم نقسّم الحد الثاني بحيث يظهر فيه حاصل الضرب المعروف من المعادلة الأولى، فنحلّ بسهولة. وقد تكون القوة الناتجة سالبة، وهذا مقبول هنا. الخطأ الشائع إبقاء حدود أعلى من القوة المطلوبة؛ أهمل كل ما فوقها.

Exam questions often multiply a series by another bracket, or hide $a$ and $n$ in it. Use the same skills as for whole-number powers.

Worked example

1
Expand $\frac{2 + x}{( 1 + 3 x ) ^{2}}$ up to the term in $x^{2}$ .
2
$(2 + x) (1 - 6 x + 27 x^{2} + \dots)$ — Use the series for $(1 + 3 x)^{- 2}$ from before.
3
$2 - 12 x + 54 x^{2}$ — Multiply the series by 2. Stop at $x^{2}$ .
4
$x - 6 x^{2}$ — Multiply by $x$ . Stop at $x^{2}$ .
5
$2 - 11 x + 48 x^{2}$ — Add like terms. Valid for $∣ x ∣ < \frac{1}{3}$ , like the series.

Worked example

1
In the expansion of $(1 + a x)^{n}$ , the coefficient of $x$ is −6 and the coefficient of $x^{2}$ is 27. Find $a$ and $n$ .
2
$na = - 6$ — The $x$ term.
3
$\frac{n ( n - 1 )}{2} a^{2} = 27 \Rightarrow \frac{( n - 1 ) a \times na}{2} = 27$ — The $x^{2}$ term. Split $n (n - 1) a^{2}$ .
4
$(n - 1) a \times (- 3) = 27 \Rightarrow na - a = - 9$ — Use $na = - 6$ , then divide by −3.
5
$- 6 - a = - 9, a = 3, n = - 2$ — So the bracket is $(1 + 3 x)^{- 2}$ , the series from before.

Common mistake

Keeping terms beyond the power asked for. Ignore anything above $x^{2}$ if the question stops there.

Key idea

A product: multiply each term of the short bracket by the series, then collect. Unknowns: form equations from the coefficients.

7. Which method? Read the question

الصياغة تخبرك بالخطوة. إذا رأيت كسرًا أو جذرًا فأعد كتابته قوسًا مرفوعًا لقوة. إذا بدأ القوس بعدد غير الواحد فأخرج العدد مرفوعًا للقوة أولًا. «افكّ حتى الحد التكعيبي»: ضع العبارة البديلة كلها بين قوسين، واكتب أربعة حدود. «اذكر قيم السين التي يصح فيها الفكّ»: العبارة البديلة كلها بين سالب واحد وواحد. «استخدم فكّك لتقدير»: اختر السين التي تجعل القوس العدد المطلوب وتحقق من الصلاحية. متسلسلة مضروبة في قوس آخر: اضرب حدًّا حدًّا وتوقف عند القوة المطلوبة. تقدير تكامل العبارة: كامل المتسلسلة حدًّا حدًّا ثم عوّض بالحدود. الخطأ الشائع ترك المعاملات أعدادًا عشرية؛ اكتبها كسورًا دقيقة في أبسط صورة. ثلاث عادات تكسب معظم الدرجات: أعد الكتابة، افكّ بالأقواس، واذكر الصلاحية.

The wording tells you which step to use.

You see	You do
A fraction or root	Rewrite as a bracket to a power
Bracket starts with a number other than 1	Take out $a^{n}$ first
“Expand up to the term in $x^{3}$ ”	Replace $x$ by the whole term, in brackets; four terms
“State the values of $x$ for which it is valid”	Whole replaced term between −1 and 1
“Use your expansion to estimate”	Choose $x$ to make the bracket the number; check validity
Series times another bracket	Multiply term by term; stop at the power asked
Estimate an integral of the expression	Integrate the series term by term, then put in the limits

Common mistake

Leaving coefficients as decimals. Give exact fractions in lowest terms.

Key idea

Rewrite, expand with brackets, state validity. These three habits win most of the marks.

تدرّب على متسلسلة ذي الحدين لأي أس نسبي

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح متسلسلة ذي الحدين لأي أس نسبي

1. A series that never stops

2. Fractional powers

3. Negative powers and roots

4. When the bracket does not start with 1

5. Estimating with the series

6. Products and unknowns

7. Which method? Read the question

تدرّب على متسلسلة ذي الحدين لأي أس نسبي

أسئلة امتحانات سابقة على متسلسلة ذي الحدين لأي أس نسبي، محلولة ومشروحة بالعربي