شرح المفكوك ذو الحدين

The Binomial Expansion

يأتي في امتحانات IGCSE Additional Maths 0606 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. A pattern in the brackets

فكّ قوس مرفوع لقوة خامسة يعني ضرب خمسة أقواس وجهدًا كبيرًا، لكن المعاملات التي تظهر تتبع نمطًا جميلًا. إذا فككت مجموع واحد والسين لقوى صغيرة وكتبت المعاملات فقط تكوّن مثلث: كل صف يبدأ بواحد وينتهي بواحد، وكل عدد في الداخل هو مجموع العددين فوقه مباشرة. هذا مثلث باسكال، ويسمى في الصين مثلث يانغ هوي، وقد كُتب عنه قبل باسكال بنحو أربعة قرون. في المثال نأخذ الصف الخاص بالقوة الرابعة، ثم نكتب الحدود بحيث يزداد أس السين واحدًا في كل حد، من الصفر حتى القوة نفسها. القاعدة: صف المثلث الذي رقمه القوة يعطي المعاملات، وقوى السين تبدأ من الصفر وتصعد حتى القوة.

Multiplying out $(x + 2)^{5}$ means five brackets and a lot of work. But the numbers that appear follow a beautiful pattern. Once you see it, you can expand any power quickly.

Expand $(1 + x)^{n}$ for small $n$ and write down just the numbers in front. They make a triangle:

$n = 1$ : $11$
$n = 2$ : $121$
$n = 3$ : $1331$
$n = 4$ : $14641$
$n = 5$ : $15101051$

Rule

Each row starts and ends with 1. Each number inside a row is the sum of the two numbers just above it. This is Pascal's triangle.

Worked example

1
Expand $(1 + x)^{4}$ .
2
$14641$ — Take the row for $n = 4$ .
3
$1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}$ — The power of $x$ goes up by one each term, from 0 to 4.

Key idea

In China this pattern is called Yang Hui's triangle, after a mathematician who wrote about it in 1261. That is almost 400 years before Blaise Pascal studied it in France.

Key idea

Row $n$ of the triangle gives the numbers for power $n$ . The powers of $x$ count up from 0 to $n$ .

2. The binomial theorem

للقوى الكبيرة يطول رسم المثلث، لكن كل عدد فيه يُحسب مباشرة بقانون التوافيق: عدد طرق اختيار رتبة الحد من القوة، والعدّ يبدأ من الصفر للحد الأول. وبدون آلة اختصر قبل الضرب. ونظرية ذات الحدين: الحد الأول في القوس تنقص قوته واحدًا في كل حد، والحد الثاني بإشارته تزيد قوته واحدًا، مع معامل التوافيق أمام كل حد. النظرية مطبوعة في كامبريدج، وإدكسل تطبع صورة واحد زائد السين. في المثال القوس فيه عدد ثم حدّ سالب في السين، فنحدّد الأجزاء ونجعل الإشارة السالبة جزءًا من الحد الثاني، ثم نحسب الحدود الثلاثة الأولى بترتيب تصاعدي لقوى السين، أي العدد أولًا ثم السين ثم مربعها. الخطأ الشائع تربيع السين وحدها؛ ضع الحد الثاني بين قوسين فيُربَّع العدد والإشارة والسين معًا.

For big powers, drawing the triangle takes too long. Each number in it can be worked out directly.

Formula

(r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}

$n$ — the power of the bracket: a positive whole number.
$r$ — which term you want, counting from $r = 0$ for the first term.
$n!$ — n factorial: $n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1$ .

Example

No calculator (0606 Paper 1)? Cancel first: $(3 8) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ . On a calculator, use the $^{n} C_{r}$ key.

Formula

(a + b)^{n} = a^{n} + (1 n) a^{n - 1} b + (2 n) a^{n - 2} b^{2} + \dots + b^{n}

$a$ — the first term in the bracket. Its power goes down by 1 each time.
$b$ — the second term, with its sign. Its power goes up by 1 each time.

Rule

This is given on both formula sheets: 0606 and 4037 print it in the List of formulas, and 4PM1 prints the $(1 + x)^{n}$ form you meet in the next step.

Worked example

1
Find the first three terms of $(2 - 3 x)^{5}$ , in ascending powers of $x$ .
2
$a = 2, b = - 3 x, n = 5$ — Name the parts. The minus sign belongs to b.
3
$2^{5} = 32$ — First term.
4
$(1 5) (2)^{4} (- 3 x) = 5 \times 16 \times (- 3 x)$ $= - 240 x$ — Second term: the power of 2 drops to 4, and $(- 3 x)$ appears once.
5
$(2 5) (2)^{3} (- 3 x)^{2} = 10 \times 8 \times 9 x^{2}$ $= 720 x^{2}$ — Third term: $(- 3 x)^{2} = 9 x^{2}$ . Square the 3 and the minus sign.
6
$32 - 240 x + 720 x^{2}$ — “Ascending powers” means start from the number, then $x$ , then $x^{2}$ .

Common mistake

Writing $- 3 x^{2}$ for $(- 3 x)^{2}$ . Keep b in brackets: the number, the sign and the $x$ are all squared.

Key idea

The powers of a and b always add up to $n$ . Use this to check every term.

3. The (1 + x)ⁿ form

عندما يبدأ القوس بواحد تصبح كل قوى الحد الأول واحدًا، فتصير النظرية متسلسلة مرتبة: واحد، ثم القوة في السين، ثم القوة في القوة ناقص واحد على مضروب اثنين في مربع السين، وهكذا. هي النظرية نفسها، ومفيدة حين تكون القوة أو معامل السين مجهولًا. إذا كان الحد الثاني مضاعفًا للسين فضعه كله بين قوسين. في المثال الأول نعوّض بضعف السين مكان السين ونحسب كل حد حتى الحد التكعيبي. وفي الثاني معامل السين ومعامل مربعها معطيان، والمجهولان هما القوة ومعامل السين داخل القوس: نكتب كل حد بالمجهولين ونساويه بالعدد المعطى، ثم نحلّ المعادلتين معًا، وحيلة مفيدة أن نقسّم الحد الثاني إلى جزء يساوي المعادلة الأولى. الخطأ الشائع نسيان تربيع معامل السين في حد المربع.

When the bracket starts with 1, all the powers of $a$ are just 1. The theorem becomes a neat series, written without the $(r n)$ symbol.

Formula

(1 + x)^{n} = 1 + n x + \frac{n ( n - 1 )}{2 !} x^{2} + \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{3 !} x^{3} + \dots

$n$ — the power. For a positive whole number $n$ , the series stops after the $x^{n}$ term.
$x$ — the second term of the bracket. If it is $2 x$ or $a x$ , put the whole thing in brackets.

It is the same theorem: $(2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2 !}$ . This form is useful when $n$ or the number in front of $x$ is unknown.

Worked example

1
Expand $(1 + 2 x)^{7}$ up to the term in $x^{3}$ .
2
$1 + 7 (2 x)$ — First two terms: $n = 7$ , and $x$ is replaced by $2 x$ .
3
$\frac{7 \times 6}{2} (2 x)^{2} = 21 \times 4 x^{2} = 84 x^{2}$ — Third term. $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ .
4
$\frac{7 \times 6 \times 5}{6} (2 x)^{3} = 35 \times 8 x^{3}$ $= 280 x^{3}$ — Fourth term. $3! = 6$ .
5
$1 + 14 x + 84 x^{2} + 280 x^{3}$ — Put the terms together.

Worked example

1
In the expansion of $(1 + a x)^{n}$ , the coefficient of $x$ is 12 and the coefficient of $x^{2}$ is 60. Find $a$ and $n$ .
2
$na = 12$ — The $x$ term is $n (a x)$ .
3
$\frac{n ( n - 1 )}{2} a^{2} = 60$ — The $x^{2}$ term has $(a x)^{2} = a^{2} x^{2}$ .
4
$\frac{( n - 1 ) a \times na}{2} = 60$ $\Rightarrow (n - 1) a \times 6 = 60$ — Split $n (n - 1) a^{2}$ as $(n - 1) a \times na$ , then use $na = 12$ .
5
$na - a = 10 \Rightarrow 12 - a = 10$ — Divide by 6: $(n - 1) a = 10$ . Expand the bracket, then use $na = 12$ .
6
$a = 2, n = 6$ — Then $n = 12 \div 2$ .

Common mistake

Forgetting to square $a$ . The $x^{2}$ term has $(a x)^{2} = a^{2} x^{2}$ , not $a x^{2}$ .

Key idea

Coefficient questions: write each term with the unknowns, set it equal to the number given, then solve the equations together.

4. One term only: the general term

هذه البطاقة لطلاب كامبريدج. أحيانًا تحتاج حدًا واحدًا فقط، مثل حد قوة معيّنة للسين أو الحد الخالي من السين. اكتب الحد العام: معامل التوافيق، في الحد الأول مرفوعًا للقوة ناقص رتبة الحد، في الحد الثاني مرفوعًا لرتبة الحد. في المثال نجمع قوى السين من الجزأين: قوة القوة تُضرب، والسين في المقام تعطي أسًّا سالبًا. ثم «الحد المستقل عن السين» يعني أن أس السين صفر، فنكوّن معادلة ونجد رتبة الحد، ثم نعوّض بها في الحد العام. و«بترتيب تنازلي» يعني أن نبدأ بأعلى قوة للسين. الدرجات على الحد العام، ثم معادلة الرتبة، ثم الجواب، فاكتب الأسطر الثلاثة. الخطأ الشائع نسيان أن قوة القوة تُضرب لا تُجمع.

Rule

This step is for 0606 and 4037.

Sometimes you need just one term, such as the term in $x^{5}$ or the term with no $x$ at all. Write the general term, then choose $r$ .

Formula

T = (r n) a^{n - r} b^{r}

$r$ — a whole number from 0 to $n$ . It is the power of b.
$a$ — the first term in the bracket.
$b$ — the second term in the bracket.

Worked example

1
Find the term independent of $x$ in the expansion of $(x^{2} + \frac{2}{x})^{6}$ .
2
$(r 6) (x^{2})^{6 - r} (\frac{2}{x})^{r}$ — Write the general term. “Independent of $x$ ” means the term with no $x$ .
3
$x^{12 - 2 r} \times x^{- r} = x^{12 - 3 r}$ — Collect the powers of $x$ : $(x^{2})^{6 - r}$ gives $12 - 2 r$ , and $\frac{1}{x ^{r}}$ gives $- r$ .
4
$12 - 3 r = 0, r = 4$ — No $x$ means the power is 0.
5
$(4 6) \times 2^{4} = 15 \times 16 = 240$ — Put $r = 4$ back in. The term is 240.

Example

“Descending powers of $x$ ” means start with the highest power. For $(x + \frac{2}{x})^{4}$ the first three terms are $x^{4} + 8 x^{2} + 24$ .

Mark schemes give a mark for the general term, a mark for the equation in $r$ , then the answer. So write all three lines.

Common mistake

Forgetting that a power of a power multiplies. $(x^{2})^{6 - r}$ is $x^{12 - 2 r}$ , not $x^{8 - r}$ .

Key idea

General term, collect the powers of $x$ , solve for $r$ , then put $r$ back.

5. Two brackets multiplied

أسئلة كثيرة تطلب معاملًا واحدًا في حاصل ضرب قوسين، أحدهما بسيط والآخر مرفوع لقوة. لا تحتاج الفكّ كاملًا: افكّ قوس ذات الحدين فقط حتى القوة المطلوبة، ثم اكتب كل زوج من الحدود، واحد من كل قوس، مجموع قوتيه يساوي القوة المطلوبة، واضرب كل زوج ثم اجمع النتائج. في المثال نريد معامل مربع السين: الزوج الأول هو العدد واحد من القوس الأول مع حد المربع من الثاني، والزوج الثاني هو حد السين من الأول مع حد السين من الثاني، وانتبه للإشارات. الخطأ الشائع استخدام زوج واحد فقط ونسيان الآخر. عُدّ كل الطرق التي تصل بها إلى القوة المطلوبة واجمعها.

Questions often ask for one coefficient in a product such as $(1 + 3 x) (2 - x)^{5}$ . You do not need the whole expansion. Find every way to make the power you want.

Steps

1
1. Expand the binomial bracket only as far as the power you need.
2. List each pair of terms, one from each bracket, whose powers add up to the power you want.
3. Multiply each pair, then add the results.

Worked example

1
Find the coefficient of $x^{2}$ in $(1 + 3 x) (2 - x)^{5}$ .
2
$(2 - x)^{5} = 32 - 80 x + 80 x^{2} + \dots$ — Only the terms up to $x^{2}$ are needed.
3
$1 \times 80 x^{2} = 80 x^{2}$ — Pair 1: the 1 from the first bracket with the $x^{2}$ term.
4
$3 x \times (- 80 x) = - 240 x^{2}$ — Pair 2: the $3 x$ with the $x$ term.
5
$80 - 240 = - 160$ — Add. The coefficient of $x^{2}$ is −160.

Common mistake

Using only one pair. $1 \times 80 x^{2}$ alone misses the $3 x \times (- 80 x)$ pair.

Key idea

Count the ways to reach the power you want, and add every one.

6. Which method? Read the question

الصياغة تخبرك كم تفكّ وكيف. «افكّ» قوة صغيرة: صف مثلث باسكال أو النظرية. «أول ثلاثة حدود» بقوى تصاعدية: ابدأ بالحد العددي ثم السين ثم مربعها. «قوى تنازلية» في كامبريدج: ابدأ بأعلى قوة للسين. قوس يبدأ بواحد وفيه مجاهيل: اكتب الحدود بالمجاهيل وساوِ المعاملات بالأعداد المعطاة وحلّ. «الحد المستقل عن السين» في كامبريدج: الحد العام، ثم اجعل أس السين صفرًا لتجد الرتبة. معامل في حاصل ضرب قوسين: اكتب الأزواج التي تعطي تلك القوة واجمع. الخطأ الشائع ترك المعاملات دون تبسيط، والسؤال يطلب كل حد في أبسط صورة. ضع الحد الثاني بإشارته بين قوسين، وتحقق أن مجموع القوتين يساوي القوة الأصلية.

The wording tells you how much to expand and how.

You see	You do
“Expand” a small power	Pascal's triangle row, or the theorem
“First three terms”, ascending powers	Start from the number term, then $x$ , then $x^{2}$
Descending powers (0606 / 4037)	Start from the highest power of $x$
$(1 + a x)^{n}$ with unknowns	Write the terms with $a$ and $n$ ; set coefficients equal; solve
“Term independent of $x$ ” (0606 / 4037)	General term; power of $x$ = 0; find $r$
A coefficient in a product of brackets	List the pairs that make that power; add

Common mistake

Leaving coefficients unsimplified. Questions ask for each term in its simplest form.

Key idea

Write b with its sign in brackets, check the powers add to $n$ , and simplify every coefficient.

تدرّب على المفكوك ذو الحدين

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المفكوك ذو الحدين

1. A pattern in the brackets

2. The binomial theorem

3. The (1 + x)ⁿ form

4. One term only: the general term

5. Two brackets multiplied

6. Which method? Read the question

تدرّب على المفكوك ذو الحدين

أسئلة امتحانات سابقة على المفكوك ذو الحدين، محلولة ومشروحة بالعربي