شرح الحساب باستخدام الحدود

Calculating with Bounds

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Changes in a Longer Formula

عندما تحتوي الصيغة على عدة أعداد مقرّبة، نريد أكبر ناتج ممكن أو أصغر ناتج ممكن. خذ كل عدد وحده واسأل نفسك: إذا كبر هذا العدد، هل يكبر الناتج أم يصغر؟ للحصول على الحد الأعلى للناتج: العدد المضاف أو المضروب أو المربّع أو المكعّب أو الموجود في البسط نأخذ حده الأعلى، أما العدد المطروح أو الموجود في المقام فنأخذ حده الأدنى. وللحصول على الحد الأدنى للناتج اعكس كل هذه الاختيارات.

Calculating with bounds means a formula with two, three or more rounded numbers. You want the biggest or the smallest answer it could give.

Go one number at a time. Ask: if this number gets bigger, does the answer go up or down?

Where the number is	For the upper bound
added on	its upper bound
taken away	its lower bound
multiplied in	its upper bound
squared or cubed (a length, a radius)	its upper bound
on top of a fraction	its upper bound
on the bottom	its lower bound

Rule

For the lower bound of the answer, swap every choice.

2. Bounds of a Formula

هذا سؤال الحدود في صيغة فيها كسر، والمطلوب الحد الأعلى للناتج. نقرر لكل عدد أي حد نأخذ: العدد الموجود في البسط ويُضاف نأخذ حده الأعلى، والعدد المطروح نأخذ حده الأدنى لأن طرح الأصغر يُبقي أكثر، والعدد في المقام نأخذ حده الأدنى لأن القسمة على عدد أصغر تعطي ناتجًا أكبر. بعد ذلك نعوّض الحدود المختارة في الصيغة، نحسب البسط أولًا ثم نقسم، ونحتفظ بكل الأرقام على الآلة الحاسبة، ولا نقرّب إلا في النهاية كما يطلب السؤال. الخطأ الشائع: أخذ الحد الأعلى للعدد المطروح لمجرد أن السؤال عن الحد الأعلى.

The 3-mark question: a formula like $a = \frac{p - q}{t}$ . Here $p = 9.6$ , $q = 4.1$ and $t = 0.35$ , all to 2 significant figures. Find the upper bound of $a$ , to 1 decimal place.

Worked example

1
$p : 9.65$ — 9.6 to 2 s.f. can be 0.05 either way. p is on top, so its upper bound makes the answer biggest.
2
$q : 4.05$ — q is taken away. Taking away the smallest q leaves the most, so use its lower bound.
3
$t : 0.345$ — 0.35 to 2 s.f. can be 0.005 either way. t is on the bottom, and dividing by a smaller number gives a bigger answer.
4
$a = \frac{9.65 - 4.05}{0.345}$ — Put the three chosen bounds into the formula.
5
$= \frac{5.6}{0.345}$ — Work out the top first: 9.65 − 4.05 = 5.6.
6
$= 16.231 \dots$ — Divide. Keep every figure on your calculator for now.
7
$= 16.2$ — Round only at the end, to 1 decimal place as the question asks.

Key idea

The 2-mark version is a plain difference. The lower bound of $e - f$ is the lower bound of $e$ minus the upper bound of $f$ .

Common mistake

Using 4.15 because it is an upper bound question. $q$ is taken away, so its lower bound makes the answer bigger.

3. Squares, Cubes and Exact Numbers

في أسئلة الكثافة والحجم يُرفع طول مقرّب إلى القوة الثالثة. القاعدة: أوجد حد الطول أولًا ثم كعّبه أو ربّعه. في المثال: الكثافة تساوي الكتلة مقسومة على الحجم، فالكتلة في البسط نأخذ حدها الأعلى، والحجم في المقام فنأخذ أقصر ضلع ممكن ليصغر الحجم ويكبر الناتج. نكعّب الحد لا العدد المقرّب، ثم نقسم ونقرّب في النهاية. انتبه: الأعداد الدقيقة مثل عدد الصناديق أو الثابت باي ليس لها حدود فاستخدمها كما هي. الخطأ الشائع: التكعيب أولًا ثم طرح نصف الوحدة.

Density and volume questions often cube a rounded length. Find the length's bound first, then cube it.

Formula

UB (x^{3}) = (UB (x))^{3}

$x$ is a rounded length, and UB means upper bound. The same works for a square, and for the lower bound: $LB (x^{3}) = (LB (x))^{3}$ .

A metal cube has mass 52.3 g and side 1.9 cm, both to 1 decimal place. Find the upper bound of its density, to 3 s.f.

Worked example

1
$m : 52.35$ — 1 d.p. means 0.05 either way. Mass is on top of density = mass ÷ volume, so use its upper bound.
2
$side : 1.85$ — The volume is on the bottom. The shortest side gives the smallest volume, and a smaller bottom gives a bigger answer.
3
$V = 1.85^{3} = 6.331625$ — Cube the bound, not the rounded 1.9. Volume of a cube is side × side × side.
4
$\frac{52.35}{6.331625} = 8.268 \dots$ — Divide mass by volume, keeping every figure.
5
$= 8.27 g/cm^{3}$ — Round at the end, to 3 s.f.

Key idea

Exact numbers have no bounds: a count like 8 boxes, “exactly 2 hours”, π, or the 2 in 2a. Use them as they are. Eight boxes of 12 kg, to the nearest kg, weigh at least $8 \times 11.5 = 92$ kg.

Common mistake

Cubing first, then taking off 0.05: $1. 9^{3} = 6.859$ , then 6.809. Bound the side first, then cube it.

4. A Suitable Degree of Accuracy

عندما يطلب السؤال القيمة «بدرجة دقة مناسبة»، نوجد الحد الأعلى والحد الأدنى للناتج ثم نقرّبهما بالطريقة نفسها حتى يتفقا. في مثال سرعة العدّاء: أكبر مسافة في أقل زمن تعطي أسرع سرعة ممكنة، وأقل مسافة في أكبر زمن تعطي أبطأ سرعة. نقرّب الحدّين لعدد من الأرقام المعنوية، فإن اختلفا نجرّب رقمًا معنويًا أقل حتى يتطابقا، وتلك هي الإجابة. اكتب الحدّين واذكر السبب: كلاهما يُقرّب إلى القيمة نفسها. الخطأ الشائع: تقريب حد واحد فقط أو إعطاء دقة أكبر من اللازم.

The 4-mark question: "work out the value to a suitable degree of accuracy". Find both bounds, then round both until they agree.

A runner covers 452 metres, to the nearest metre, in 51.3 seconds, to 1 decimal place. Find the speed.

Worked example

1
$451.5 \leq d < 452.5$ — To the nearest metre means half a metre either way.
2
$51.25 \leq t < 51.35$ — To 1 decimal place means 0.05 either way.
3
$UB = \frac{452.5}{51.25} = 8.829 \dots$ — The most distance in the least time gives the fastest possible speed.
4
$LB = \frac{451.5}{51.35} = 8.792 \dots$ — The least distance in the most time gives the slowest possible speed.
5
$3 s.f.: 8.83 and 8.79$ — Round both the same way. They differ, so 3 s.f. is not safe.
6
$2 s.f.: 8.8 and 8.8$ — Try one figure fewer. Now they agree, so the true speed must round to 8.8.
7
$speed = 8.8 m/s$ — Give the answer with the reason: both bounds round to 8.8 to 2 s.f.

Rule

Round the upper and the lower bound the same way. Your answer is the most accurate rounding where they agree.

Common mistake

Giving 8.83, or rounding only one bound. Write both bounds and say they both round to 8.8.

5. Bounds in a Triangle

هنا مثلث فيه ضلع مقرّب وزوايا مقرّبة، ونستخدم قاعدة الجيب ثم نختار حد كل قيمة. الضلع في البسط نأخذ حده الأعلى. الزاوية التي جيبها في البسط نأخذ حدها الأعلى، لأن الزاوية الأكبر (الأقل من القائمة) لها جيب أكبر. الزاوية التي جيبها في المقام نأخذ حدها الأدنى، لأن القسمة على عدد أصغر تعطي ناتجًا أكبر. نعوّض ونحسب والآلة على وضع الدرجات، ونقرّب في النهاية فقط. تذكّر أن جيب التمام عكس ذلك: الزاوية الأكبر لها جيب تمام أصغر.

The 4-mark question: a triangle with a rounded side and rounded angles. Use the sine rule, then choose each bound.

Formula

b = \frac{c sin B}{sin C}

Here $b$ and $c$ are sides, and $B$ and $C$ are the angles opposite them.

Side $c = 9.5$ cm to 1 decimal place. Angles $B = 7 0^{\circ}$ and $C = 5 5^{\circ}$ to the nearest degree. Find the upper bound of $b$ .

Worked example

1
$c : 9.55$ — 9.5 to 1 d.p. can be 0.05 either way. c is on top, so use its upper bound.
2
$B : 70. 5^{\circ}$ — To the nearest degree means 0.5° either way. sin B is on top, and a bigger angle (below 90°) has a bigger sine.
3
$C : 54. 5^{\circ}$ — sin C is on the bottom. The smaller angle gives a smaller sine, and dividing by less gives more.
4
$b = \frac{9.55 s i n 70. 5 ^{\circ}}{s i n 54. 5 ^{\circ}}$ — Put the three chosen bounds into the sine rule.
5
$= \frac{9.002 \dots}{0.8141 \dots}$ — Work out the top and the bottom on your calculator, in degree mode.
6
$= 11.05 \dots$ — Divide. Keep every figure for now.
7
$= 11.1 cm$ — Round only at the end, to 3 significant figures.

Key idea

For angles below 90°, a bigger angle gives a bigger sine. Cosine goes the other way: a bigger angle gives a smaller cosine.

Common mistake

Using 55.5° on the bottom. A bigger bottom makes the answer smaller.

6. Bounds of an Angle

بعض الأسئلة تطلب حد زاوية نجدها بمعكوس الجيب أو معكوس الظل. أوجد حد الكسر أولًا، فالكسر الأكبر يعطي زاوية أكبر. في مثال المنحدر نريد أصغر زاوية، فنجعل الكسر أصغر ما يمكن: الارتفاع في البسط نأخذ حده الأدنى، والطول المائل (الوتر) في المقام نأخذ حده الأعلى. نقسم ثم نستخدم زر معكوس الجيب، ونقرّب في النهاية. انتبه: مع معكوس جيب التمام ينعكس الأمر، فالكسر الأكبر يعطي زاوية أصغر، فاعكس اختياراتك.

Some questions want the bound of an angle found with $sin^{- 1}$ or $tan^{- 1}$ . Bound the fraction first: a bigger fraction gives a bigger angle.

A ramp is 1.8 m high and its sloping length is 7.4 m, both to 1 decimal place. Find the lower bound of the angle the ramp makes with the ground.

Worked example

1
$sin θ = \frac{opp}{hyp}$ — The height is opposite the angle and the slope is the hypotenuse. To make the angle smallest, make this fraction smallest.
2
$opp : 1.75$ — The height is on top, so use its lower bound. 1 d.p. means 0.05 either way.
3
$hyp : 7.45$ — The slope is on the bottom, so use its upper bound. A bigger bottom makes the fraction smaller.
4
$sin θ = \frac{1.75}{7.45} = 0.23489 \dots$ — Divide, keeping every figure.
5
$θ = sin^{- 1} (0.23489 \dots) = 13.585 \dots^{\circ}$ — Use the inverse sine key to turn the fraction into an angle.
6
$θ = 13. 6^{\circ}$ — Round at the end, to 3 s.f.

Key idea

An angle found as $18 0^{\circ} - x - y$ works like a difference. Its upper bound uses the lower bounds of x and y.

Common mistake

Making the same choice with $cos^{- 1}$ . For cosine a bigger fraction gives a smaller angle, so swap your choices.

7. How Many Fit? Round Down or Up

أسئلة «ما أكبر عدد من القطع؟» أو «كم علبة يجب أن تشتري؟» تحتاج عددًا صحيحًا في النهاية. لأكبر عدد من القطع: نأخذ أطول حبل ممكن (الحد الأعلى) وأقصر قطعة ممكنة (الحد الأدنى)، ثم نقسم ونقرّب للأسفل، لأن جزء القطعة لا يُحسب قطعة كاملة. أما لأقل عدد من العلب المؤكد: نأخذ أكبر مساحة وأقل ما تغطيه العلبة، ثم نقرّب للأعلى لأن العلبة المستعملة جزئيًا يجب شراؤها. الخطأ الشائع: التقريب للأعلى في سؤال القطع.

“What is the largest number of pieces?” and “how many tins must she buy?” need a whole number at the end. Choose the bounds, then round the right way.

A rope is 95 m long, to the nearest metre. It is cut into pieces 1.6 m long, to the nearest 10 cm. Find the largest possible number of pieces.

Worked example

1
$rope : 95.5 m$ — To the nearest metre means half a metre either way. The longest rope gives the most pieces.
2
$piece : 1.55 m$ — To the nearest 10 cm means 5 cm, or 0.05 m, either way. The shortest pieces give the most pieces.
3
$\frac{95.5}{1.55} = 61.61 \dots$ — Divide the most rope by the shortest piece.
4
$n = 61$ — Round down. The 0.61 is only part of a piece, so it does not count.

Key idea

For the least number of tins of paint you must buy to be sure, use the biggest area and the least that one tin covers. Then round up: a part-used tin still has to be bought.

Common mistake

Rounding 61.61 to 62. You cannot cut 62 whole pieces, so the answer is 61.

8. Which Method? Read the Question

هذه شاشة مراجعة تساعدك على اختيار الطريقة. ابدأ دائمًا بإيجاد حدود كل عدد مقرّب، ثم اقرأ ما يطلبه السؤال. للحد الأعلى لصيغة اختر لكل عدد الحد الذي يرفع الناتج، وللحد الأدنى اعكس كل الاختيارات. للفرق: الحد الأدنى يساوي الحد الأدنى للأول ناقص الحد الأعلى للثاني. لدرجة الدقة المناسبة قرّب الحدّين حتى يتفقا. في المثلث احصر كل زاوية ثم قاعدة الجيب، وفي المكعب احصر الطول ثم كعّبه، وفي الزاوية من المعكوس احصر الكسر أولًا، وفي عدد القطع اقسم الأكبر على الأصغر ثم قرّب للأسفل. احتفظ بكل الأرقام حتى النهاية، واكتب كل حد تستخدمه لأن كل حد صحيح قد يكسبك درجة.

Take each rounded number, find its bounds, then read what the question wants.

You see	You do
Upper bound of a formula	each number: which bound pushes it up
Lower bound of a formula	swap every choice
Lower bound of $e - f$	lower e, upper f
A suitable degree of accuracy	both bounds, round until they agree
A triangle with rounded angles	bound each angle, then the sine rule
A cube or square of a rounded length	bound the length, then cube or square it
An angle from $sin^{- 1}$ or $tan^{- 1}$	bound the fraction first
The largest number of pieces	most ÷ least, then round down
A time in minutes, a speed in km/h	bound the minutes, then divide by 60
Write down one bound	Upper and Lower Bounds

Key idea

Keep every figure on your calculator until the end. Round only the final answer.

Key idea

Write down every bound you use before you calculate. Each correct bound can earn a mark, even if the final answer goes wrong.

تدرّب على الحساب باستخدام الحدود

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الحساب باستخدام الحدود

1. What Changes in a Longer Formula

2. Bounds of a Formula

3. Squares, Cubes and Exact Numbers

4. A Suitable Degree of Accuracy

5. Bounds in a Triangle

6. Bounds of an Angle

7. How Many Fit? Round Down or Up

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على الحساب باستخدام الحدود

أسئلة امتحانات سابقة على الحساب باستخدام الحدود، محلولة ومشروحة بالعربي