شرح الحدان الأعلى والأدنى

Upper and Lower Bounds

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Bound Is

العدد المقرّب يخفي مدى من القيم، فالقيمة الحقيقية يمكن أن تكون أي عدد يُقرّب إليه. الطريقة: حدّد الوحدة التي قُرّب إليها العدد من آخر خانة فيه، ثم خذ نصف هذه الوحدة. الحد الأدنى هو العدد ناقص نصف الوحدة، وهو أصغر قيمة ما زالت تُقرّب إليه. والحد الأعلى هو العدد زائد نصف الوحدة، والقيمة الحقيقية أقل منه لأنه نفسه يُقرّب للأعلى. نكتب المدى بين الحدين ويُسمى فترة الخطأ.

A rounded number hides a range. A bag weighs 6.3 kg to 1 decimal place. Its real weight could be anything that rounds to 6.3.

Worked example

1
$6.3 kg, 1 d.p.$ — The last digit is in the tenths column, so it was rounded to the nearest 0.1.
2
$\frac{1}{2} \times 0.1 = 0.05$ — Halve the unit. The real weight is at most half a unit away from 6.3, or it would have rounded to 6.2 or 6.4.
3
$6.3 - 0.05 = 6.25$ — Take half a unit away. This is the lower bound: the smallest weight that still rounds to 6.3.
4
$6.3 + 0.05 = 6.35$ — Add half a unit. This is the upper bound: 6.35 itself rounds up to 6.4, so the weight stays just below it.
5
$6.25 \leq w < 6.35$ — Put both together. This range is called the error interval.

Rule

Lower bound: take away half a unit. Upper bound: add half a unit.

2. Writing Down a Bound

سؤال الدرجة الواحدة: «اكتب الحد الأعلى». أولًا حدّد الوحدة التي قُرّب إليها العدد، ثم خذ نصفها. الجدول يبيّن نصف الوحدة لكل نوع من التقريب. اطرح نصف الوحدة للحد الأدنى، وأضفه للحد الأعلى. مع الأرقام المعنوية عُدّ الأرقام لتعرف في أي خانة يقع آخر رقم محفوظ، فتلك هي الوحدة. وإذا كان التقريب لأقرب خمسة فالوحدة هي خمسة نفسها ونصفها اثنان ونصف. الخطأ الشائع: كتابة قيمة أقل قليلًا من الحد الأعلى أو قيمة مقرّبة، والصحيح أن الحد الأعلى هو العدد زائد نصف الوحدة تمامًا.

The 1-mark question: “Write down the upper bound”. First find the unit it was rounded to, then halve it.

Rounded to	Half a unit
nearest whole number	$0.5$
1 decimal place	$0.05$
2 decimal places	$0.005$
nearest 5	$2.5$
nearest 10	$5$
nearest 100	$50$

Worked example

1
$7.8 cm, 1 d.p.$ — The last digit is tenths, so the unit is 0.1 and half a unit is 0.05.
2
$7.8 - 0.05 = 7.75$ — Take half a unit away for the lower bound.
3
$7.8 + 0.05 = 7.85$ — Add half a unit for the upper bound.
4
$260, 2 s.f.$ — Count two figures from the left: 2, then 6. The 6 is in the tens column, so the unit is 10.
5
$\frac{1}{2} \times 10 = 5$ — Half of the unit 10 is 5.
6
$260 - 5 = 255, 260 + 5 = 265$ — Take 5 away for the lower bound, add 5 for the upper bound.
7
$40, nearest 5$ — Here the unit is 5 itself, so half a unit is 2.5.
8
$40 - 2.5 = 37.5, 40 + 2.5 = 42.5$ — Take 2.5 away and add 2.5. Both bounds sit 2.5 from 40.

Common mistake

Writing 7.84 or 7.9 as the upper bound. The upper bound is exactly 7.85, half a unit up.

3. Complete the Statement

أكثر أسئلة الحدود شيوعًا: «أكمل العبارة» بالحد الأدنى على اليسار والحد الأعلى على اليمين. إذا كانت دقة التقريب بوحدة مختلفة عن وحدة الإجابة، مثل الجرامات والكيلوجرامات، فحوّل الوحدة أولًا. ثم خذ نصف الوحدة واطرحه وأضفه. على اليسار نستخدم «أصغر من أو يساوي» لأن الحد الأدنى يُقرّب إلى العدد، وعلى اليمين نستخدم «أصغر من» لأن الحد الأعلى يُقرّب للأعلى. الخطأ الشائع: كتابة قيمة أقل قليلًا من الحد الأعلى، والصحيح كتابته تمامًا. وانتبه: القيم المقرّبة قد يتبدل ترتيبها الحقيقي.

The most common bounds question: “Complete this statement: …… ≤ m < ……”. The lower bound goes on the left, the upper bound on the right.

A suitcase weighs 5.6 kg, correct to the nearest 100 g. Complete the statement for its mass, m kg.

Worked example

1
$100 g = 0.1 kg$ — The accuracy is in grams but the answer is in kg, so change the unit first. 1000 g = 1 kg.
2
$\frac{1}{2} \times 0.1 = 0.05$ — Halve the unit, in kg.
3
$5.6 - 0.05 = 5.55$ — Take half a unit away: the lower bound. It goes on the left.
4
$5.6 + 0.05 = 5.65$ — Add half a unit: the upper bound. It goes on the right.
5
$5.55 \leq m < 5.65$ — Use ≤ on the left, because 5.55 rounds up to 5.6. Use < on the right, because 5.65 rounds up to 5.7.

Common mistake

Writing 5.64 or 5.649 on the right. Write exactly 5.65. The < sign already says m never reaches it.

Key idea

Rounded values can swap order. Box A is 420 kg to the nearest 10 kg, so it could be as light as 415 kg. Box B is 417 kg to the nearest kg, so it is at least 416.5 kg. 416.5 > 415, so B may be heavier than A, even though 417 < 420.

4. Bounds in One Calculation (Extended/Higher)

في سؤال الحد الأعلى لسرعة أو كثافة أو مساحة، اختر لكل عدد الحد الذي يرفع الناتج. للجمع والضرب: أعلى مع أعلى. للطرح: الأعلى ناقص الأدنى. للقسمة: الأعلى مقسومًا على الأدنى. في مثال الكثافة: الكتلة في البسط نأخذ حدها الأعلى، والحجم في المقام نأخذ حده الأدنى، لأن المقام الأصغر يعطي ناتجًا أكبر. نقسم ونحتفظ بكل الأرقام ونقرّب في النهاية فقط. الخطأ الشائع: قسمة الأعلى على الأعلى. اكتب كل حد قبل الحساب، فكل حد صحيح يأخذ عادة درجة.

The 3 or 4 mark question: find the upper bound of a speed, density or area. Pick the bound of each number that pushes the answer up.

To make it biggest	Use
a sum $a + b$	upper + upper
a product $a \times b$	upper × upper
a difference $a - b$	upper − lower
a quotient $\frac{a}{b}$	upper ÷ lower

Mass 60 grams to the nearest 10 grams. Volume 8.0 cm³ to 1 decimal place. Upper bound of the density?

Worked example

1
$mass: 60 + 5 = 65$ — Nearest 10 means half a unit is 5. Mass is on the top of mass ÷ volume, so use its upper bound: a bigger top gives a bigger answer.
2
$volume: 8.0 - 0.05 = 7.95$ — 1 d.p. means half a unit is 0.05. Volume is on the bottom, so use its lower bound: a smaller bottom gives a bigger answer.
3
$\frac{65}{7.95} = 8.1761 \dots$ — Density = mass ÷ volume. Keep all the digits for now.
4
$= 8.18 g/cm^{3}$ — Round only at the end, here to 3 significant figures.

Common mistake

Using upper ÷ upper, 65 ÷ 8.05. A bigger bottom makes the answer smaller.

Key idea

Write down each bound before you calculate. Each correct bound usually earns a mark, even if the final answer slips.

5. Sums and Products (Extended/Higher)

في المجموع أو المحيط أو المساحة، أكبر ناتج يأتي من أكبر الأعداد، وأصغر ناتج من أصغرها. فنأخذ الأعلى مع الأعلى، والأدنى مع الأدنى. في المثال المطلوب الحد الأدنى لمساحة المستطيل، فنأخذ الحد الأدنى للطول والحد الأدنى للعرض ثم نضربهما. إذا كان الناتج قصيرًا فاكتبه كما هو دون تقريب. والمجموع يعمل بالطريقة نفسها: أقصى مجموع هو مجموع الحدود العليا.

For a total, a perimeter or an area, the biggest answer comes from the biggest numbers. So it is upper with upper, and lower with lower.

A rectangle is 7.4 cm by 3.6 cm, both to 1 decimal place. Find the lower bound of its area.

Worked example

1
$7.4 - 0.05 = 7.35$ — For the smallest area, take the shortest length: its lower bound.
2
$3.6 - 0.05 = 3.55$ — Take the narrowest width too: its lower bound.
3
$7.35 \times 3.55 = 26.0925$ — Area = length × width. Multiply the two lower bounds.
4
$lower bound = 26.0925 cm^{2}$ — Give this exact value. It is short, so there is nothing to round.

Key idea

A sum works the same way. Two paths are 12 m and 7 m, each to the nearest metre. Together they are at most 12.5 + 7.5 = 20 m.

6. Bounds of a Difference (Extended/Higher)

الفرق حالة خاصة. لجعل ناتج الطرح أكبر ما يمكن نجعل العدد الأول كبيرًا والعدد المطروح صغيرًا. في المثال: لأكبر طول متبقٍّ نأخذ الحد الأعلى للوح الخشب، والحد الأدنى للقطعة المقطوعة، لأن قطع جزء أقل يُبقي أكثر. وللحد الأدنى للمتبقي نعكس الاختيارين: أقصر لوح ناقص أطول قطعة. انتبه لنصف الوحدة عندما يختلف التقريب بين العددين. الخطأ الشائع: طرح الحد الأعلى من الحد الأعلى.

A difference is the odd one out. To make a − b as big as possible, make a big and b small.

A plank is 2.4 m long, to 1 decimal place. A piece 0.85 m long, to 2 decimal places, is cut off. Find the bounds of the length left.

Worked example

1
$2.4 + 0.05 = 2.45$ — The upper bound of the plank: the longest it could be.
2
$0.85 - 0.005 = 0.845$ — 2 d.p. means half a unit is 0.005. Take the lower bound of the piece: cutting off less leaves more.
3
$2.45 - 0.845 = 1.605$ — Upper − lower gives the upper bound of what is left: 1.605 m.
4
$2.35 - 0.855 = 1.495$ — For the lower bound, swap both: shortest plank − longest piece. So 1.495 m.

Common mistake

Using upper − upper, 2.45 − 0.855 = 1.595. Cutting off a longer piece leaves less, so that is not the upper bound.

7. Which Method? Read the Question

هذه شاشة مراجعة: حدّد أولًا ما قُرّب إليه كل عدد، ثم اقرأ المطلوب. لكتابة الحد الأعلى أضف نصف الوحدة، وللحد الأدنى اطرحه. في عبارة «أكمل» ضع الحد الأدنى على اليسار والأعلى على اليمين. للحد الأعلى لمجموع أو حاصل ضرب: أعلى مع أعلى. لخارج القسمة: الأعلى على الأدنى. للفرق: الأعلى ناقص الأدنى. والصيغ الأطول ودرجة الدقة المناسبة لها درس الحساب بالحدود. وللحد الأدنى اعكس كل اختيار.

Find what each number was rounded to, then read what the question wants.

You see	You do
Write down the upper bound	add half a unit
Write down the lower bound	take away half a unit
Complete …… ≤ x < ……	lower bound on the left, upper bound on the right
Upper bound of $a + b$ or $a \times b$	upper and upper
Upper bound of $a \div b$	upper ÷ lower
Upper bound of $a - b$	upper − lower
A longer formula, or "a suitable degree of accuracy"	Calculating with Bounds
Round the answer to 3 s.f.	Significant Figures

Key idea

For a lower bound, swap every choice: lower ÷ upper, lower − upper, lower × lower.

تدرّب على الحدان الأعلى والأدنى

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الحدان الأعلى والأدنى

1. What a Bound Is

2. Writing Down a Bound

3. Complete the Statement

4. Bounds in One Calculation (Extended/Higher)

5. Sums and Products (Extended/Higher)

6. Bounds of a Difference (Extended/Higher)

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على الحدان الأعلى والأدنى

أسئلة امتحانات سابقة على الحدان الأعلى والأدنى، محلولة ومشروحة بالعربي