شرح اختيار النسبة المثلثية المناسبة

Choosing the Right Trigonometric Ratio

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Label, Tick, Pick

كل سؤال حساب مثلثات في المثلث القائم يستخدم ضلعين فقط: ضلعًا تعرفه وضلعًا تريده، وهذان الضلعان يختاران لك النسبة. أولًا سمِّ الأضلاع بالنسبة للزاوية المحددة: الوتر والمقابل والمجاور. ثانيًا ضع علامة على الضلع المعلوم والضلع المطلوب. ثالثًا اختر النسبة التي تجمع هذين الضلعين: الجيب للمقابل مع الوتر، وجيب التمام للمجاور مع الوتر، والظل للمقابل مع المجاور. الظل هو النسبة الوحيدة التي لا تستخدم الوتر، فإذا لم يظهر الوتر في السؤال إطلاقًا فالظل هو اختيارك.

Every right-angled trig question uses exactly two sides: one you know and one you want. Those two sides choose the ratio for you.

Steps

1
1. Label the sides hyp, opp and adj from the marked angle.
2
2. Tick the side you know and the side you want.
3
3. Pick the ratio that uses those two sides.

Memory trick

SOH CAH TOA. The two ticked sides are the last two letters of one of the three words.

Key idea

Tangent is the shy one of the three ratios: it never talks to the hypotenuse. So when the longest side is not in the question at all, tan is the one to call.

2. Find a Side

سؤال بثلاث درجات: تُعطى زاوية وضلعًا، والمطلوب ضلع آخر. سمِّ الأضلاع وضع علامة على المعلوم والمطلوب؛ في المثال الأول نعرف الوتر ونريد المجاور، فنستخدم جيب التمام. المجهول مقسوم على الوتر، فنضرب الطرفين في الوتر، ثم نحسب بالآلة الحاسبة بوضع الدرجات ونقرّب لثلاثة أرقام معنوية. في المثال الثاني الوتر هو المجهول فيقع في مقام الكسر: نضرب الطرفين في المجهول ثم نقسم على جيب تمام الزاوية، ونتحقق أن الوتر هو أطول ضلع. الخطأ الشائع هو اختيار الجيب لأنه يأتي أولًا فتحصل على الضلع الآخر؛ ضع العلامات قبل أن تختار.

The 3-mark question: one angle and one side are given, and you find another side. The hypotenuse is 18.6 cm, the angle is $5 2^{\circ}$ and you want the side next to the angle.

Worked example

1
$know hyp, want adj$ — 18.6 cm is the hypotenuse. The side we want touches the angle, so it is the adjacent. Tick those two.
2
$cos 5 2^{\circ} = \frac{x}{18.6}$ — Adjacent and hypotenuse are the CAH pair, so use cosine.
3
$x = 18.6 \times cos 5 2^{\circ}$ — $x$ is divided by 18.6, so multiply both sides by 18.6.
4
$x = 11.451 \dots$ — Type 18.6 × cos 52 into the calculator in degrees mode.
5
$x = 11.5 cm$ — Round to 3 s.f. The next digit is 5, so round up.

Common mistake

Picking sin because it comes first. $18.6 \times sin 5 2^{\circ} = 14.7$ is the other side. Tick the sides before you choose.

The hypotenuse can be the unknown too. It ends up on the bottom of the fraction, so you divide. The adjacent side is 7 cm and the angle is $4 0^{\circ}$ .

Worked example

1
$know adj, want hyp$ — 7 cm touches the angle and is not the hypotenuse, so it is the adjacent. The side we want is the hypotenuse. Tick those two.
2
$cos 4 0^{\circ} = \frac{7}{x}$ — Adjacent and hypotenuse are the CAH pair, so use cosine.
3
$x \times cos 4 0^{\circ} = 7$ — Multiply both sides by $x$ to bring it off the bottom.
4
$x = 7 \div cos 4 0^{\circ}$ — $x$ is multiplied by $cos 4 0^{\circ}$ , so divide both sides by $cos 4 0^{\circ}$ .
5
$x = 9.138 \dots = 9.14 cm$ — Round to 3 s.f. The hypotenuse is the longest side, and 9.14 is longer than 7, so it makes sense.

3. Find an Angle

قد يعطيك السؤال ضلعين ويطلب زاوية. ضع علامة على الضلعين، واختر النسبة، ثم استخدم الدالة العكسية. هنا أحد الضلعين مقابل للزاوية والآخر يلمسها، ولا أحد منهما هو الوتر، فنستخدم الظل. نقسم المقابل على المجاور، ثم يحوّل معكوس الظل هذه النسبة إلى زاوية، مع ضبط الآلة الحاسبة على الدرجات، ونقرّب لمنزلة عشرية واحدة. الخطأ الشائع هو استخدام معكوس الجيب، مع أن الجيب يحتاج الوتر وهو غير معطى هنا.

The 3-mark question can give two sides and ask for an angle. Tick both sides, pick the ratio, then use the inverse. The opposite side is 4.1 cm and the adjacent side is 6.3 cm.

Worked example

1
$know opp and adj$ — 4.1 cm is across from the angle and 6.3 cm touches it. Neither is the hypotenuse, so tick opposite and adjacent.
2
$tan x = \frac{4.1}{6.3}$ — Opposite and adjacent are the TOA pair, so use tangent.
3
$tan x = 0.6507 \dots$ — Divide 4.1 by 6.3 on the calculator.
4
$x = tan^{- 1} (0.6507 \dots)$ — Inverse tan turns the ratio back into an angle.
5
$x = 33.05 \dots^{\circ}$ — Type it in with the calculator in degrees mode.
6
$x = 33. 1^{\circ}$ — Round to 1 d.p. The next digit is 5, so round up.

Common mistake

Using inverse sine with 4.1 and 6.3 and getting $40. 6^{\circ}$ . Sine needs the hypotenuse, and 6.3 is not the hypotenuse here.

4. Two Triangles: Work Through the Shared Side

سؤال بأربع أو خمس درجات فيه مثلثان قائمان متجاوران. ابدأ بالمثلث الذي فيه معلومتان، فناتجه يصبح معلومة للمثلث التالي. في المثال نستخدم الظل في المثلث الصغير لإيجاد ضلعٍ مجهول، ثم نضيف إليه الجزء المعلوم لنحصل على الضلع الكامل في المثلث الكبير. بعدها نستخدم الظل ومعكوسه في المثلث الكبير لإيجاد الزاوية الكبيرة، ثم نطرح منها الزاوية الصغيرة لأنها تقع داخلها، فيبقى المطلوب. الخطأ الشائع هو تقريب الناتج الأوسط مبكرًا فيتغير الجواب النهائي؛ احتفظ بالقيمة الكاملة على الآلة الحاسبة حتى النهاية.

The 4 or 5-mark question has two right-angled triangles side by side. Solve the triangle that has two facts first. Its answer is a fact for the next one.

Triangle $A B D$ has a right angle at $D$ . $C$ is on $B D$ . $A D = 10$ cm, angle $C A D = 2 5^{\circ}$ and $B C = 6$ cm. Find angle $B A C$ .

Worked example

1
$tan 2 5^{\circ} = \frac{C D}{10}$ — Triangle $A C D$ has a right angle at $D$ . $A D$ touches the 25° angle and $C D$ is across from it, so use tangent.
2
$C D = 10 \times tan 2 5^{\circ} = 4.663 \dots$ — Multiply both sides by 10. Keep every digit on the calculator.
3
$B D = 4.663 \dots + 6 = 10.663 \dots$ — $C$ is on $B D$ , so $B D$ is $C D$ plus $B C$ .
4
$tan B A D = \frac{10.663 \dots}{10}$ — Now use triangle $A B D$ : $B D$ is opposite angle $B A D$ and $A D$ is adjacent to it.
5
$B A D = 46.84 \dots^{\circ}$ — Inverse tan turns the ratio back into an angle.
6
$B A C = 46.84 - 25 = 21. 8^{\circ}$ — Angle $C A D$ sits inside angle $B A D$ , so take it off to leave angle $B A C$ .

Common mistake

Rounding $C D$ to 4.7 too early. It gives $21. 9^{\circ}$ . Keep the full value on your calculator until the end.

5. Make a Right-Angled Triangle

بعض الأشكال تُخفي الزاوية القائمة، فنرسم خطًا واحدًا لنصنعها، ثم نسمّي الأضلاع ونضع العلامات ونختار النسبة كالمعتاد. في المثلث المتساوي الساقين نرسم خطًا من الرأس العلوي عموديًا إلى منتصف القاعدة، وفي شبه المنحرف نرسم خطًا عموديًا من أحد الرؤوس العلوية إلى القاعدة السفلية. في المثال يقسم هذا الخط القاعدة إلى نصفين، فالضلع المجاور لزاوية القاعدة هو نصف القاعدة، والساق هي الوتر، فنستخدم جيب التمام ثم معكوسه لإيجاد الزاوية، ونقرّب لمنزلة عشرية واحدة. الخطأ الشائع هو استخدام القاعدة كاملة على أنها المجاور، مع أن المثلث القائم يحتوي نصفها فقط.

Some shapes hide their right angle. Draw one line to make it, then label, tick and pick as usual.

Rule

Isosceles triangle: draw a line from the top corner straight down to the middle of the base. Trapezium: draw a line straight down from a top corner to the bottom.

An isosceles triangle has two equal sides of 8 cm and a base of 10 cm. Find a base angle $x$ .

Worked example

1
$draw the line from the top to the base$ — The line from the top corner to the middle of the base meets it at 90°. That makes a right-angled triangle.
2
$half the base = 10 \div 2 = 5$ — The line cuts the base in half, so the side touching $x$ is 5 cm.
3
$adj = 5, hyp = 8$ — The 5 cm side touches $x$ , so it is the adjacent. The 8 cm side faces the right angle, so it is the hypotenuse.
4
$cos x = \frac{5}{8}$ — Adjacent and hypotenuse are the CAH pair, so use cosine.
5
$x = cos^{- 1} (0.625)$ — Inverse cos turns the ratio back into an angle.
6
$x = 51.31 \dots = 51. 3^{\circ}$ — Round to 1 d.p. The next digit is 1, so the 3 stays.

Common mistake

Using the whole base, 10 cm, as the adjacent. The right-angled triangle only has half of the base.

6. Which Method? Read the Question

عُدّ ما هو معطى لك في كل مثلث قائم. إذا أُعطيت زاوية وضلعًا وطُلب ضلع: سمِّ الأضلاع وضع العلامات واختر النسبة ثم حُلّ. إذا أُعطيت ضلعين وطُلبت زاوية: اختر النسبة ثم استخدم الدالة العكسية. إذا كان هناك مثلثان يشتركان في ضلع: ابدأ بالمثلث الذي فيه معلومتان. في المثلث المتساوي الساقين أو شبه المنحرف ارسم خطًا يصنع مثلثًا قائمًا. إذا أُعطيت ضلعين بلا زاوية وطُلب ضلع فاستخدم نظرية فيثاغورس، وللنظر إلى أعلى أو أسفل من المستوى الأفقي استخدم زوايا الارتفاع والانخفاض، وإذا لم توجد زاوية قائمة فاستخدم قاعدة الجيب أو قاعدة جيب التمام. اكتب النسبة بالكلمات أولًا ثم ضع الأعداد.

Count what you are given in each right-angled triangle.

You see	You do
One angle and one side, find a side	label, tick, pick, then solve
Two sides, find an angle	pick the ratio, then the inverse
Two triangles sharing a side	solve the one with two facts first
Isosceles triangle or trapezium	draw a line to make a right-angled triangle
Two sides, no angle, find a side	Pythagoras' Theorem
Looking up or down from level	Angles of Elevation and Depression
No right angle	The Sine Rule or The Cosine Rule

Key idea

Write the ratio in words first, then put the numbers in. The Sine Ratio, The Cosine Ratio and The Tangent Ratio show each rearrangement.

تدرّب على اختيار النسبة المثلثية المناسبة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح اختيار النسبة المثلثية المناسبة

1. Label, Tick, Pick

2. Find a Side

3. Find an Angle

4. Two Triangles: Work Through the Shared Side

5. Make a Right-Angled Triangle

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على اختيار النسبة المثلثية المناسبة

أسئلة امتحانات سابقة على اختيار النسبة المثلثية المناسبة، محلولة ومشروحة بالعربي