شرح نسبة الجيب

The Sine Ratio

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Sine Uses the Longest Side

الجيب يقارن الضلع المقابل للزاوية بالوتر، أي أن جيب الزاوية يساوي المقابل مقسومًا على الوتر. الوتر هو أطول ضلع في المثلث القائم، لذلك يكون الكسر دائمًا أقل من واحد. إذا حصلت على جيب أكبر من واحد فاعلم أنك قلبت الكسر، فالمقابل في البسط والوتر في المقام. ومن الطريف أن كلمة الجيب الإنجليزية جاءت من الكلمة العربية «جيب» بعد أن تُرجمت إلى اللاتينية.

Sine compares the side across from the angle with the hypotenuse.

Formula

sin x = \frac{opposite}{hypotenuse}

The hypotenuse is the longest side, so the fraction is always less than 1.

Key idea

If you ever get a sine bigger than 1, you have the fraction upside down.

Key idea

The word sine began as the Sanskrit jyā, 'bowstring'. Arabic writers spelt it jība, written without vowels, so it was later read as jayb, 'pocket' or 'fold'. In the 12th century it was translated into Latin as sinus, 'fold' — and that became 'sine'.

2. Find the Opposite: Multiply

هنا نعرف الوتر والزاوية ونريد الضلع المقابل. أولًا حدّد الأضلاع: الارتفاع يقابل الزاوية فهو المقابل، والسلّم هو أطول ضلع فهو الوتر، والمقابل مع الوتر يعني أن نستخدم الجيب. اكتب معادلة الجيب، ثم اضرب الطرفين في طول الوتر لأن المجهول مقسوم عليه، فيبقى المجهول وحده. احسب بالآلة الحاسبة وهي على وضع الدرجات، ثم قرّب إلى ثلاثة أرقام معنوية وأضف الوحدة. الخطأ الشائع استخدام جيب التمام، وهو يعطي بُعد قاعدة السلّم عن الحائط لا الارتفاع. واكتب سطر المعادلة قبل الحساب، فهو يمنحك درجات الطريقة حتى لو أخطأت في الحساب.

The 2-mark question: you know the hypotenuse and the angle. A 6 metre ladder leans against a wall at $7 0^{\circ}$ to the ground. How high does it reach?

Worked example

1
$sin 7 0^{\circ} = \frac{h}{6}$ — The height h is across from the 70° angle, so it is the opposite. The ladder is the longest side, the hypotenuse. Opposite and hypotenuse mean sin.
2
$h = 6 \times sin 7 0^{\circ}$ — h is divided by 6, so multiply both sides by 6 to leave h on its own.
3
$h = 5.638 \dots$ — Type 6 × sin 70 into the calculator, set to degrees. Keep the whole number on the display for now.
4
$h = 5.64 m$ — Round to 3 significant figures, the usual accuracy in exams, and put the unit on.

Common mistake

Using cos: $6 \times cos 7 0^{\circ} = 2.05$ . That is how far the foot is from the wall, not the height.

Key idea

Check your calculator is in degree mode, with a small D or DEG on the screen. In radian mode, 6 × sin 70 gives 4.64, which is wrong. Write the sin line before you press anything: it earns method marks even if the arithmetic slips.

3. Find the Hypotenuse: Divide

هنا نعرف الضلع المقابل والزاوية ونريد الوتر. الضلع المعلوم يقابل الزاوية والمجهول هو الوتر، فنستخدم الجيب. المجهول هنا في مقام الكسر، فنضرب الطرفين فيه ليصعد إلى الأعلى، ثم نقسم الطرفين على جيب الزاوية ليبقى المجهول وحده. أي أننا نقسم المقابل على جيب الزاوية، ثم نقرّب إلى ثلاثة أرقام معنوية. تحقّق دائمًا: الوتر يجب أن يكون أطول من المقابل، فإذا ضربت بدل أن تقسم ستحصل على عدد أصغر، وهذا خطأ.

The 3-mark question: you know the opposite side and want the hypotenuse. The opposite side is 11 cm and the angle is $2 4^{\circ}$ .

Worked example

1
$sin 2 4^{\circ} = \frac{11}{x}$ — The 11 cm side is across from the 24° angle, so it is the opposite. x is the hypotenuse. Opposite and hypotenuse mean sin.
2
$x \times sin 2 4^{\circ} = 11$ — x is on the bottom of the fraction. Multiply both sides by x to bring it up.
3
$x = \frac{11}{s i n 2 4 ^{\circ}}$ — x is now multiplied by sin 24°. Divide both sides by sin 24° to leave x alone.
4
$x = 27.04 \dots$ — Type 11 ÷ sin 24 into the calculator.
5
$x = 27.0 cm$ — Round to 3 significant figures. It is longer than 11 cm, as a hypotenuse must be.

Common mistake

Multiplying: $11 \times sin 2 4^{\circ} = 4.47$ . The hypotenuse must be longer than 11, so 4.47 cannot be right.

4. Find the Angle: Inverse Sine

هنا نعرف المقابل والوتر ونريد الزاوية نفسها. أولًا اكتب جيب الزاوية يساوي المقابل على الوتر، ثم اقسم لتحصل على عدد أقل من واحد. بعد ذلك استخدم الجيب العكسي، فهو يعكس عمل الجيب ويعطيك الزاوية من قيمة جيبها. طبّق الجيب العكسي على الناتج الكامل في الآلة الحاسبة لا على عدد مقرّب، ثم قرّب الزاوية إلى منزلة عشرية واحدة وأضف علامة الدرجة. إذا قسمت الوتر على المقابل ستظهر رسالة خطأ، لأن الجيب لا يمكن أن يزيد على واحد.

The 3-mark question can also ask for the angle. The opposite side is 5 cm and the hypotenuse is 13 cm.

Worked example

1
$sin x = \frac{5}{13}$ — The 5 cm side is across from the angle, so it is the opposite. The 13 cm side is the longest, the hypotenuse. Opposite and hypotenuse mean sin.
2
$sin x = 0.3846 \dots$ — Divide 5 by 13. The answer is below 1, as a sine must be.
3
$x = sin^{- 1} (0.3846 \dots)$ — We know the sine and want the angle. Inverse sine, $sin^{- 1}$ , undoes sin.
4
$x = 22.62 \dots$ — Use the $sin^{- 1}$ key on the whole number from the calculator, not a rounded 0.385.
5
$x = 22. 6^{\circ}$ — Round to 1 decimal place, the usual accuracy for angles, and add the degree sign.

Common mistake

Typing $sin^{- 1} (13 \div 5)$ . The calculator shows Math ERROR, because a sine cannot be more than 1.

5. Which Method? Read the Question

قبل أن تبدأ، انظر إلى الأضلاع في السؤال وابحث عن الوتر والضلع المقابل للزاوية. إذا عرفت الوتر والزاوية وتريد المقابل فاضرب في الجيب. وإذا عرفت المقابل والزاوية وتريد الوتر فاقسم على الجيب. وإذا عرفت المقابل والوتر وتريد الزاوية فاستخدم الجيب العكسي. أما إذا كان الضلع مجاورًا للزاوية فاستخدم جيب التمام، وإذا لم يكن الوتر موجودًا أصلًا فاستخدم الظل. وتذكّر للتحقق أن الوتر هو دائمًا أطول ضلع.

Look for the hypotenuse and the side across from the angle.

You see	You do
Hypotenuse and angle, find the opposite	multiply by sin
Opposite and angle, find the hypotenuse	divide by sin
Opposite and hypotenuse, find the angle	inverse sine
Side next to the angle	The Cosine Ratio
No hypotenuse at all	The Tangent Ratio

Key idea

Sense check: the hypotenuse is always the longest side of the triangle.

تدرّب على نسبة الجيب

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح نسبة الجيب

1. Sine Uses the Longest Side

2. Find the Opposite: Multiply

3. Find the Hypotenuse: Divide

4. Find the Angle: Inverse Sine

5. Which Method? Read the Question

تدرّب على نسبة الجيب

أسئلة امتحانات سابقة على نسبة الجيب، محلولة ومشروحة بالعربي