شرح نسبة الظل

The Tangent Ratio

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · IGCSE Additional Maths 0606 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Tan Measures Steepness

الظل يقارن الضلعين اللذين يلتقيان عند الزاوية القائمة: المقابل مقسومًا على المجاور، ولا يستخدم الوتر أبدًا. يمكنك أن تفكر فيه كمقياس للانحدار: كم نصعد لكل خطوة أفقية. عند زاوية خمس وأربعين درجة يتساوى المقابل والمجاور فيكون الظل واحدًا، وكلما زاد انحدار الزاوية عن ذلك أصبح الظل أكبر من واحد.

Tan compares the two sides that meet at the right angle. It is how far up for each step across.

Formula

tan x = \frac{opposite}{adjacent}

$x$ is the marked angle. The hypotenuse is not used at all.

Angle	tan
$2 0^{\circ}$	0.364
$4 5^{\circ}$	1
$6 0^{\circ}$	1.73

Key idea

At 45 degrees the opposite and adjacent are equal, so tan is 1. Steeper than that, tan is bigger than 1.

2. Find an Angle From Two Sides

هنا نعرف الضلعين اللذين يلتقيان عند الزاوية القائمة ونريد الزاوية. الارتفاع يقابل الزاوية والمسافة الأفقية مجاورة لها، والظل هو المقابل على المجاور، فيكون الارتفاع في البسط. اقسم لتحصل على النسبة، ثم استخدم الظل العكسي ليحوّل النسبة إلى زاوية. احسب والآلة على وضع الدرجات واحتفظ بكل الأرقام، ثم قرّب إلى منزلة عشرية واحدة. الخطأ الشائع أن تحسب ظل النسبة نفسها، فهذا يعطي عددًا لا زاوية. واكتب سطر معادلة الظل أولًا، فعليه درجات حتى لو أخطأت بعده في الحساب.

The 3-mark question: you know the two sides that meet at the right angle, and want the angle. A slope rises 4.5 metres over 8 metres across.

Worked example

1
$tan x = \frac{4.5}{8}$ — The rise 4.5 is opposite the angle and the 8 across is adjacent to it. Tan is opposite over adjacent, so 4.5 goes on top.
2
$tan x = 0.5625$ — Divide 4.5 by 8 on the calculator to get the ratio.
3
$x = tan^{- 1} (0.5625)$ — Inverse tan undoes tan, so it turns the ratio back into an angle.
4
$x = 29.358 \dots^{\circ}$ — Type it in with the calculator in degrees mode and keep all the digits.
5
$x = 29. 4^{\circ}$ — Round to 1 d.p. The digit after the first decimal place is 5, so round up.

Common mistake

Typing $tan 0.5625$ . That gives a number, not an angle. Use the inverse, $tan^{- 1}$ .

Key idea

Check your calculator is set to degrees before you start.

Key idea

Write the line $tan x = \frac{4.5}{8}$ first. Marks are given for that line even if a calculator slip then spoils the angle.

3. Find the Opposite: Multiply

هنا نعرف الزاوية والضلع المجاور ونريد المقابل. الضلع المعلوم يلمس الزاوية فهو المجاور، والمجهول بعيد عنها فهو المقابل ويوضع في البسط. المجهول مقسوم على المجاور، فنضرب الطرفين في المجاور ليبقى وحده، أي أن المقابل يساوي المجاور مضروبًا في ظل الزاوية. احسب والآلة على وضع الدرجات، ثم قرّب إلى ثلاثة أرقام معنوية. للتحقق: إذا كانت الزاوية أقل من خمس وأربعين درجة فالمقابل أقصر من المجاور، فإذا قسمت بدل الضرب ستحصل على عدد أكبر وهذا خطأ.

The 2-mark question: you know the angle and the adjacent side. The adjacent side is 7 cm and the angle is $3 8^{\circ}$ .

Worked example

1
$tan 3 8^{\circ} = \frac{x}{7}$ — The 7 cm side touches the angle, so it is the adjacent. $x$ is across from the angle, so it is the opposite and goes on top.
2
$x = 7 \times tan 3 8^{\circ}$ — $x$ is divided by 7, so multiply both sides by 7 to get $x$ alone.
3
$x = 5.469 \dots$ — Type 7 × tan 38 into the calculator in degrees mode.
4
$x = 5.47 cm$ — Round to 3 s.f. The next digit is 9, so round the 6 up to 7.

Common mistake

Dividing: $7 \div tan 3 8^{\circ} = 8.96$ . Below 45 degrees the opposite must be shorter than the adjacent, so 8.96 cannot be right.

4. Find the Adjacent: Divide

عندما يكون المجهول هو الضلع المجاور فإنه يقع في مقام الكسر. أولًا حدّد: المعلوم يقابل الزاوية، والمجهول يلمسها فهو المجاور. اضرب الطرفين في المجهول لتنزله من المقام، ثم اقسم الطرفين على ظل الزاوية ليبقى وحده، أي نقسم المقابل على ظل الزاوية. احسب والآلة على وضع الدرجات وقرّب إلى ثلاثة أرقام معنوية. الخطأ الشائع أن تضرب في الظل، وكأن المجهول في البسط.

When the unknown is the adjacent side, it ends up on the bottom of the fraction. The opposite side is 9 cm and the angle is $5 2^{\circ}$ .

Worked example

1
$tan 5 2^{\circ} = \frac{9}{x}$ — The 9 cm side is opposite the angle. $x$ touches the angle, so it is the adjacent and goes on the bottom.
2
$x \times tan 5 2^{\circ} = 9$ — Multiply both sides by $x$ to bring it off the bottom.
3
$x = 9 \div tan 5 2^{\circ}$ — $x$ is multiplied by $tan 5 2^{\circ}$ , so divide both sides by $tan 5 2^{\circ}$ .
4
$x = 7.031 \dots$ — Work out 9 ÷ tan 52 on the calculator in degrees mode.
5
$x = 7.03 cm$ — Round to 3 s.f. The next digit is 1, so the 3 stays.

Common mistake

Working out $9 \times tan 5 2^{\circ} = 11.5$ . That treats the unknown as if it were on top.

5. Which Method? Read the Question

ابحث عن الضلعين في السؤال، فإذا لم يكن أيٌّ منهما الوتر فالحل بالظل. إذا عرفت الضلعين القصيرين وتريد الزاوية فاستخدم الظل العكسي للمقابل على المجاور. إذا عرفت الزاوية والمجاور وتريد المقابل فاضرب في الظل، وإذا عرفت الزاوية والمقابل وتريد المجاور فاقسم على الظل. أما إذا كان الوتر معطى أو مطلوبًا فاستخدم الجيب أو جيب التمام. وتذكّر أن الظل هو النسبة الوحيدة التي لا تستخدم الوتر أبدًا.

Find the two sides in the question. If neither is the hypotenuse, it is tan.

You see	You do
Two shorter sides, find the angle	inverse tan of opposite ÷ adjacent
Angle and adjacent, find the opposite	multiply by tan
Angle and opposite, find the adjacent	divide by tan
The hypotenuse is given or wanted	The Sine Ratio or The Cosine Ratio
Height of a tower from an angle	Angles of Elevation and Depression

Key idea

Tan is the only ratio that never uses the hypotenuse.

تدرّب على نسبة الظل

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح نسبة الظل

1. Tan Measures Steepness

2. Find an Angle From Two Sides

3. Find the Opposite: Multiply

4. Find the Adjacent: Divide

5. Which Method? Read the Question

تدرّب على نسبة الظل

أسئلة امتحانات سابقة على نسبة الظل، محلولة ومشروحة بالعربي