شرح الفائدة المركبة

Compound Interest

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Compound Interest Is

في الفائدة المركبة تُضاف الفائدة إلى المبلغ في نهاية كل سنة، فتُحسب فائدة السنة التالية على المجموع الجديد الأكبر، ولذلك تكبر الفائدة سنة بعد سنة. أما الفائدة البسيطة فتُحسب دائمًا على المبلغ الأول فقط، فتبقى ثابتة كل سنة. في الجدول لاحظ أن بداية كل سنة هي نهاية السنة التي قبلها. وهناك حيلة سريعة اسمها «قاعدة الاثنين والسبعين»: اقسم اثنين وسبعين على النسبة السنوية لتعرف تقريبًا عدد السنوات حتى يتضاعف المال.

With compound interest, the interest is added on at the end of each year. Next year you earn interest on the new total, so the interest grows.

Year	Start	Interest 5%	End
1	$2000	$100	$2100
2	$2100	$105	$2205
3	$2205	$110.25	$2315.25

Key idea

Simple interest pays $100 every year, because it only uses the first $2000. Compound interest pays interest on the interest too.

Key idea

Quick trick: how long until money doubles? Divide $72$ by the yearly rate. At 6%, $72 \div 6 = 12$ years, and indeed $1.0 6^{12} \approx 2.01$ . This rule of 72 was already printed by Luca Pacioli in Italy in 1494.

2. Amount After n Years: The Multiplier

في سؤال الفائدة المركبة لا تحسب سنة بسنة، بل استخدم مضاعفًا واحدًا. أولًا حوّل النسبة إلى مضاعف: تحتفظ بالمبلغ كله أي مئة بالمئة وتضيف إليه النسبة، ثم تكتب الناتج عددًا عشريًا. بعد ذلك اضرب المبلغ الأول في هذا المضاعف مرفوعًا لأسّ يساوي عدد السنوات. احسب القوة أولًا بالآلة الحاسبة، ولا تقرّب إلا في النهاية، والمال يُكتب لأقرب سنت أي لمنزلتين عشريتين. الخطأ الشائع: كتابة المضاعف بشكل خاطئ، أو الضرب في عدد السنوات بدل جعله أسًّا. اكتب دائمًا سطر الحساب قبل الجواب لأن معظم الدرجات عليه، وإذا كانت النسبة شهرية فالأسّ هو عدد الأشهر.

The 3-mark question: "invests ... at r% per year compound interest. How much after n years?" Do not work year by year. Use one multiplier.

Formula

A = P (1 + \frac{r}{100})^{n}

$P$ is the money at the start, $r$ is the rate each year, $n$ is the number of years and $A$ is the final amount.

Worked example

1
$$7500 at 3.2%, 3 years$ — The question. The interest is added on each year, so each year earns 3.2% of a bigger total.
2
$1 + \frac{3.2}{100} = 1.032$ — Find the multiplier for one year: you keep 100% and gain 3.2%, so you have 103.2%, which is 1.032.
3
$7500 \times 1.032^{3}$ — Multiply by 1.032 once for each year, so the power is the number of years, 3.
4
$1.03 2^{3} = 1.099104768$ — Work out the power first on your calculator. Do not round it yet.
5
$7500 \times 1.099104768 = 8243.28576$ — Now multiply by the starting $7500.
6
$\approx $8243.29$ — Round only at the very end. Money is given to the nearest cent, so 2 decimal places.

Common mistake

Using 1.32 or 0.032 as the multiplier. For 3.2% the multiplier is 1.032. Also, the power is the years: do not multiply by 3.

Key idea

Always write the line $7500 \times 1.03 2^{3}$ before the answer. Most of the marks are for that line, so you still score if you slip on the calculator.

Key idea

If the rate is per month, the power counts months. 2 years at 0.5% per month is $P \times 1.00 5^{24}$ , because 2 years is 24 months.

3. Depreciation: Value Going Down

الاستهلاك يعني أن الشيء يفقد من قيمته كل سنة، لذلك يكون المضاعف أقل من واحد. إذا فقد نسبة معينة فالباقي هو مئة بالمئة ناقص هذه النسبة، فحوّل الباقي إلى عدد عشري وهذا هو المضاعف. ثم اضرب القيمة الأولى في المضاعف مرفوعًا لعدد السنوات، واحسب القوة أولًا. تأكد في النهاية أن الجواب أصغر من القيمة الأولى. الخطأ الشائع: طرح النسبة مضروبة في عدد السنوات مرة واحدة، وهذا خطأ لأن كل سنة تخسر النسبة من قيمة أصغر. وإذا طُلبت صيغة فاكتب: القيمة الأولى ضرب المضاعف أسّ عدد السنوات، وهي تصلح أيضًا لعدد سكان أو كتلة تتناقص بالنسبة نفسها.

The 3-mark question: "a car depreciates by 15% each year". Depreciate means it loses value. The multiplier is less than 1.

Worked example

1
$$18 000, loses 15% a year, 3 years$ — The question. Depreciates means it loses value, so the multiplier will be less than 1.
2
$1 - \frac{15}{100} = 0.85$ — Losing 15% leaves 85% of the value each year, and 85% is 0.85.
3
$18000 \times 0.85^{3}$ — Multiply by 0.85 once for each of the 3 years, so the power is 3.
4
$0.8 5^{3} = 0.614125$ — Work out the power first. The car keeps about 61% of its value after 3 years.
5
$18000 \times 0.614125 = 11054.25$ — Multiply by the starting value of $18 000.
6
$$11 054.25$ — Check: it is less than $18 000, as a value going down must be.

Common mistake

Taking off 45% in one go. That gives $9900, which is wrong: each year loses 15% of a smaller value.

Key idea

Asked for a formula? Write the start × the multiplier to the power n. A $25 000 machine losing 20% a year is worth $V = 25000 \times 0. 8^{n}$ after n years. The same works for a population or a mass that decreases by the same percentage each year or each day.

4. Simple or Compound: How Much More?

هذا السؤال يقارن بين بنكين ويسأل: كم يدفع أحدهما من الفائدة أكثر من الآخر؟ احسب الفائدة لكل بنك ثم اطرح. في البنك ذي الفائدة المركبة اضرب في المضاعف مرفوعًا لعدد السنوات فتحصل على المبلغ الكلي، ثم اطرح منه المبلغ الأول لتحصل على الفائدة. وفي البنك ذي الفائدة البسيطة احسب النسبة من المبلغ الأول ثم اضربها في عدد السنوات لأنها ثابتة كل سنة. تذكّر أن الفائدة هي المبلغ النهائي ناقص المبلغ الأول. الخطأ الشائع: مقارنة مبلغ كلي بفائدة؛ قارن فائدة بفائدة أو مجموعًا بمجموع.

The 4 or 5-mark question compares two banks and asks how much more interest one pays. Work out the interest for each bank, then subtract.

Worked example

1
$A: 5000 \times 1.0 3^{2}$ — Bank A pays 3% compound, so use the multiplier 1.03 once for each of the 2 years.
2
$= 5304.50$ — 1.03² = 1.0609, and 5000 × 1.0609 = 5304.50. This is Bank A's total, not its interest.
3
$5304.50 - 5000 = 304.50$ — Bank A's interest: take away the $5000 that was put in.
4
$B: 5000 \times \frac{3.2}{100} = 160$ — Bank B pays 3.2% simple interest: 3.2% of the first $5000, every year.
5
$160 \times 2 = 320$ — Simple interest is the same each year, so Bank B's interest for 2 years is 2 × 160.
6
$320 - 304.50 = $15.50$ — Both numbers are interests now, so subtract. Bank B pays $15.50 more.

Rule

Interest is the final amount take away the starting amount.

Common mistake

Comparing a total with an interest. Get both interests, or both totals, before you subtract.

5. Finding the Rate (Extended/Higher)

هنا تعرف المبلغ في البداية وفي النهاية وعدد السنوات، والمطلوب النسبة. سمِّ المضاعف السنوي مجهولًا، وهو مرفوع لأسّ يساوي عدد السنوات. اقسم الطرفين على المبلغ الأول ليبقى المجهول مع أسّه وحده، ثم تخلّص من الأسّ بالجذر المناسب: الجذر التكعيبي يلغي التكعيب، والجذر التربيعي يلغي التربيع. بعدها حوّل المضاعف إلى نسبة مئوية، فما زاد على الواحد هو النسبة. وإذا كانت للسنة الأولى نسبة مختلفة فاحسب قيمتها أولًا ثم أكمل بالطريقة نفسها. الخطأ الشائع: القسمة على عدد السنوات بدل أخذ الجذر، لأن السنوات أسّ وليست ضربًا.

The 3-mark question: you know the start, the end and the years. Find the rate $x$ . Undo the power with a root.

Worked example

1
$4000 \times m^{3} = 4370.91$ — Call the yearly multiplier m. 3 years means m is used 3 times, so it is cubed.
2
$m^{3} = 4370.91 \div 4000$ — Divide both sides by the starting $4000, to get m³ on its own.
3
$m^{3} = 1.0927275$ — This is the growth over all 3 years together.
4
$m = 3 1.0927275 = 1.03$ — A cube is undone by a cube root. Do not divide by 3: the years are a power, not a times.
5
$1.03 = 1 + \frac{3}{100}$ — A multiplier of 1.03 means 103%, so the money grows by 3% a year. x = 3.

If the first year has a different rate, take that year out first.

Worked example

1
$2000 \times 1.05 \times m^{2} = 2271.36$ — Year 1 pays 5%, so it uses 1.05. The next 2 years use the unknown m, so m is squared.
2
$2100 \times m^{2} = 2271.36$ — Do the known part: 2000 × 1.05 = 2100, the value after year 1.
3
$m^{2} = 2271.36 \div 2100 = 1.0816$ — Divide both sides by 2100, to get m² on its own.
4
$m = 1.0816 = 1.04$ — A square is undone by a square root.
5
$x = 4$ — 1.04 means 104%, so the rate for those 2 years is 4%.

Common mistake

Dividing 1.0927 by 3. The years are a power, so undo them with a root.

Key idea

Money doubles in 12 years? Then $m^{12} = 2$ , so $m = 122 = 1.0595$ and the rate is 5.95%. You do not need the amount.

6. Finding the Start (Extended/Higher)

أحيانًا تعرف القيمة في النهاية والمطلوب القيمة في البداية. وصلنا إلى النهاية بالضرب في المضاعف، فنرجع إلى البداية بالقسمة عليه. احسب المضاعف مرفوعًا لعدد السنوات أولًا، ثم اقسم القيمة النهائية عليه، وتحقق بالضرب. وبالطريقة نفسها تجد قيمة سيارة قبل سنة: اقسم قيمتها الآن على مضاعف النقصان. الخطأ الشائع: إضافة النسبة إلى القيمة الحالية، وهذا خطأ لأن النسبة أُخذت من قيمة السنة الماضية الأكبر، لا من القيمة الحالية.

Sometimes you know the value at the end and must find the start. Multiplying got you there, so divide to go back.

Worked example

1
$P \times 1.0 4^{3} = 5624.32$ — After 3 years at 4% compound, the account holds $5624.32. Call the unknown start P. 4% gives the multiplier 1.04.
2
$1.0 4^{3} = 1.124864$ — Work out the power first.
3
$P = 5624.32 \div 1.124864$ — P was multiplied by 1.124864, so divide by 1.124864 to undo it.
4
$P = $5000$ — Check: 5000 × 1.124864 = 5624.32. It matches.

Value one year ago: a car loses 10% a year and is worth $8100 now.

Worked example

1
$V \times 0.9 = 8100$ — Losing 10% multiplied last year's value V by 0.9.
2
$V = 8100 \div 0.9$ — Undo the × 0.9 by dividing by 0.9.
3
$V = $9000$ — Check: 10% of 9000 is 900, and 9000 − 900 = 8100.

Common mistake

Adding 10% to $8100 to get $8910. The 10% was taken from last year's bigger value, not from $8100.

7. Different Rates and Overall Change

إذا تغيرت النسبة من سنة لأخرى فاستخدم لكل سنة مضاعفها الخاص، واضرب المضاعفات واحدًا بعد الآخر، ثم قرّب في النهاية لأقرب سنت. ولإيجاد التغيّر الكلي بعد نقصانين متتاليين، حوّل كل نقصان إلى مضاعف ثم اضرب المضاعفين؛ الناتج هو ما بقي من القيمة، وما نقص عن الواحد هو نسبة النقصان الكلية. الخطأ الشائع: جمع النسبتين، وهذا خطأ لأن النقصان الثاني يُحسب من قيمة أصغر، فاضرب المضاعفات ولا تجمع النسب.

When the rate changes from year to year, use each year's own multiplier, one after another.

Worked example

1
$$6000 : 2% then 3.5% for 2 years$ — The question. Year 1 pays 2%. Years 2 and 3 pay 3.5% each.
2
$1.02 and 1.035$ — The multipliers: 2% gives 1.02 and 3.5% gives 1.035.
3
$6000 \times 1.02 \times 1.035^{2}$ — One multiplier per year: 1.02 once, then 1.035 twice.
4
$6000 \times 1.02 = 6120$ — The value at the end of year 1.
5
$6120 \times 1.071225 = 6555.897$ — 1.035² = 1.071225 covers years 2 and 3 together.
6
$\approx $6555.90$ — Round at the end, to the nearest cent.

Overall change: a price falls 20% one year, then 10% the next. What is the overall percentage decrease?

Worked example

1
$0.8 \times 0.9$ — Losing 20% keeps 0.8 of the value. Losing 10% keeps 0.9.
2
$= 0.72$ — Multiply the multipliers to get the change over both years.
3
$1 - 0.72 = 0.28$ — 0.72 means 72% is kept, so 28% is lost.
4
$28% decrease$ — Not 30%: the second 10% is taken from a smaller value.

Common mistake

Adding the percentages: 20% + 10% = 30%. Multiply the multipliers instead.

8. How Many Years? (Extended)

بعض الأسئلة تسأل: بعد كم سنة كاملة تتجاوز القيمة هدفًا معينًا لأول مرة؟ اكتب المتباينة: القيمة الأولى ضرب المضاعف مرفوعًا لعدد السنوات أكبر من الهدف. اقسم الطرفين على القيمة الأولى لتسهل التجارب، ثم جرّب أعدادًا صحيحة من السنوات حتى تتجاوز الهدف، والجواب هو أول عدد سنوات كامل ينجح. اكتب تجربتين، واحدة قبل الهدف وواحدة بعده، فهما تأخذان درجات الطريقة. الخطأ الشائع: إعطاء جواب فيه جزء من سنة، والسؤال يطلب سنوات كاملة. والقيمة المتناقصة تُحل بالطريقة نفسها حتى تنزل تحت الهدف لأول مرة.

Some questions ask after how many whole years a value will first pass a target. Try values of n until you cross it.

Worked example

1
$40000 \times 1.0 6^{n} > 60000$ — A town of 40 000 grows by 6% a year. Write what you want: the start × 1.06, n times, must be more than 60 000.
2
$1.0 6^{n} > 1.5$ — Divide both sides by 40 000 to make the trials quicker: 60 000 ÷ 40 000 = 1.5.
3
$n = 6 : 1.0 6^{6} = 1.4185$ — Try a value. 1.4185 is less than 1.5, so after 6 years it is not there yet.
4
$n = 7 : 1.0 6^{7} = 1.5036$ — Try the next one. 1.5036 is more than 1.5, so it has passed 60 000.
5
$n = 7 years$ — The first whole number of years that works. 7 years.

Key idea

Write both trials, one each side of the target. They earn the method marks even if the final answer slips.

Common mistake

Giving 6.96 years. The question asks for whole years, and after 6 years it is still short, so the answer is 7.

Key idea

A value going down works the same way: keep trying n until it first drops below the target.

9. Which Method? Read the Question

ابحث في السؤال عن كلمات مثل «كل سنة» أو «مركبة» أو «تستهلك». الجدول يربط ما تراه بما تفعله: الفائدة المركبة تعني الضرب في المضاعف مرفوعًا لعدد السنوات، والاستهلاك يعني مضاعفًا أقل من واحد، والسؤال عن الفائدة يعني المبلغ النهائي ناقص المبلغ الأول. لإيجاد النسبة اقسم ثم خذ الجذر، ولإيجاد البداية اقسم على المضاعف المرفوع للأسّ، وإذا اختلفت النسب فاضرب مضاعفًا لكل سنة، ولإيجاد عدد السنوات جرّب قيمًا على جانبي الهدف. أما الفائدة البسيطة والتغيّر لمرة واحدة والنسب العكسية والدوال الأسية فلها دروسها الخاصة. وتحقق دائمًا: النمو ينتهي أعلى من البداية، والاستهلاك ينتهي أقل منها.

Look for the words "each year", "compound" or "depreciates".

You see	You do
compound interest for n years	P × multiplier to the power n
depreciates by r% each year	multiplier 1 − r/100
total interest, how much more interest	final amount − start, for each
find x, the rate	divide, then take the root
final amount given, find the start	divide by the multiplier to the power n
a different rate in some years	one multiplier per year, multiplied together
how many years until it passes a value	try values of n, one each side
simple interest, same amount each year	Simple Interest
one increase or decrease only	Percentage Increases and Decreases
value after one change is given, find the start	Reverse Percentages
graph of y = a × b to the power x	Exponential Functions

Key idea

Check your answer: growth must end above the start, depreciation below it.

تدرّب على الفائدة المركبة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الفائدة المركبة

1. What Compound Interest Is

2. Amount After n Years: The Multiplier

3. Depreciation: Value Going Down

4. Simple or Compound: How Much More?

5. Finding the Rate (Extended/Higher)

6. Finding the Start (Extended/Higher)

7. Different Rates and Overall Change

8. How Many Years? (Extended)

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على الفائدة المركبة

أسئلة امتحانات سابقة على الفائدة المركبة، محلولة ومشروحة بالعربي