شرح إنشاء المثلثات

Constructing Triangles

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Construct Means Show the Arcs

كلمة «أنشئ» تعني أن ترسم الشكل بدقة بالمسطرة والفرجار، والمصحح يتحقق من أقواسك، فلا تمسحها أبدًا. المسطرة للخطوط المستقيمة والأطوال، والفرجار لتحديد مسافة ثابتة من نقطة، والمنقلة فقط عندما تكون الزاوية معطاة. احتفظ بكل خطوط الإنشاء، ففي السؤال ذي الدرجتين تكون إحداهما على الأقواس، والرسم الكامل بلا أقواس يأخذ درجة واحدة فقط. وارسم بعناية، فالأطوال يجب أن تكون دقيقة في حدود مليمترات قليلة والزوايا في حدود درجات قليلة، فاستعمل قلمًا مبريًّا وفرجارًا لا ينزلق.

"Construct" means draw it exactly with a ruler and compasses. The examiner checks your arcs, so never rub them out.

Tool	Use it for
Ruler	straight lines and lengths
Compasses	a fixed distance from a point
Protractor	only when an angle is given

Rule

Keep every construction line. In a 2-mark question, one mark is for the arcs. A perfect drawing with no arcs scores only 1 mark.

Key idea

Draw carefully. Your lengths must be within a couple of millimetres and your angles within a couple of degrees, so use a sharp pencil and compasses that do not slip.

2. The Perpendicular Bisector

أشهر سؤال إنشاء هو المنصّف العمودي لقطعة مستقيمة، وهو خط يقسمها نصفين ويصنع معها زاوية قائمة. افتح الفرجار أكثر من نصف طول القطعة، وثبّت هذه الفتحة طوال العمل. من أحد الطرفين ارسم قوسًا فوق القطعة وقوسًا تحتها، ثم من الطرف الآخر ارسم قوسين يقطعان الأولين. بعد ذلك صِل نقطتي التقاطع بخط مستقيم بالمسطرة. الخطأ الشائع أن تفتح الفرجار أقل من النصف، فلا تلتقي الأقواس ولا تجد ما تصله. وكل نقطة على هذا الخط تبعد المسافة نفسها عن الطرفين، ولذلك يُستعمل في أسئلة «على بعد متساوٍ من النقطتين».

The most common 2-mark question: construct the perpendicular bisector of $A B$ . It cuts $A B$ in half at a right angle.

Steps

1
Open the compasses to more than half of $A B$ . Keep this radius the whole time.
2
From $A$ , draw an arc above the line and an arc below it.
3
From $B$ , draw arcs that cross the first two.
4
Rule a straight line through the two crossing points.

Common mistake

Setting the compasses to less than half of $A B$ . The arcs never meet, so there is nothing to join.

Key idea

Every point on this line is the same distance from $A$ as from $B$ . That is why it answers "equidistant from A and B".

3. Perpendicular Through a Point

العمودي يعني أنه يصنع زاوية قائمة. منتصف القطعة المستقيمة هو النقطة التي يقطعها عندها المنصّف العمودي، فأنشئ المنصّف ثم علّم نقطة التقاطع. ولإقامة عمود من نقطة على مستقيم: افتح الفرجار قليلًا، ومن النقطة علّم المستقيم مرة على كل جانب. هاتان العلامتان على بعد متساوٍ من النقطة، فأنشئ المنصّف العمودي لهما، وسيمر بالنقطة نفسها. إذا قال السؤال «ارسم» فقط فالمنقلة على زاوية قائمة تكفي، أما «أنشئ» فتعني الفرجار مع ترك الأقواس. ولا تحدد المنتصف بالنظر، بل قس الطول بالمسطرة وخذ نصفه.

Short questions say "draw a line through M perpendicular to AB" or "mark the midpoint". Perpendicular means at a right angle, $9 0^{\circ}$ .

Steps

1
The midpoint of $A B$ is where the perpendicular bisector crosses $A B$ . Construct it, then mark the crossing $M$ .
2
For a perpendicular through a point $P$ on a line: open the compasses a little. From $P$ , mark the line once on each side.
3
Those two marks are the same distance from $P$ . Construct the perpendicular bisector of the two marks. It passes through $P$ .

Key idea

If the question only says "draw", a protractor set at $9 0^{\circ}$ is fine. "Construct" means compasses, with the arcs left in.

Common mistake

Measuring the midpoint by eye. Use the ruler: for $A B = 9$ cm, $M$ is 4.5 cm from $A$ .

4. Three Sides: Two Arcs

لإنشاء مثلث معلوم أضلاعه الثلاثة: ارسم أحد الأضلاع بالمسطرة أولًا، أو استعمل الخط المرسوم. ثم افتح الفرجار بطول الضلع الذي يبدأ من الطرف الأول وارسم قوسًا منه، ثم افتحه بطول الضلع الذي يبدأ من الطرف الثاني وارسم قوسًا يقطع الأول. نقطة التقاطع هي الرأس الثالث، فصِلها بالطرفين. الخطأ الشائع هو تبديل الطولين بين الطرفين، فتحقق من أن كل ضلع يبدأ من الطرف الصحيح. وفي المثلث المتساوي الأضلاع اترك الفرجار على طول الضلع نفسه للقوسين، فتكون كل زاوية ستين درجة تمامًا.

The 2-mark question: construct triangle $A B C$ with $A B = 8$ cm, $B C = 6$ cm and $A C = 7$ cm.

Steps

1
Draw $A B = 8$ cm with a ruler, or use the line already drawn.
2
Set the compasses to 7 cm. Draw an arc from $A$ .
3
Set them to 6 cm. Draw an arc from $B$ that crosses the first.
4
The crossing is $C$ . Join it to $A$ and $B$ .

Common mistake

Swapping the radii: 6 cm from $A$ and 7 cm from $B$ . Check which side each arc makes: $A C$ starts at $A$ .

Key idea

Equilateral triangle. All three sides are equal, so keep the compasses at the side length. For sides of 7 cm: draw $A B = 7$ cm, then a 7 cm arc from $A$ and a 7 cm arc from $B$ . Every angle is then exactly $6 0^{\circ}$ .

5. A Point From Two Distances

أسئلة كثيرة تخفي مثلثًا، مثل منارة تبعد مسافة معلومة عن نقطتين. موقعها هو تقاطع قوسين، تمامًا مثل الرأس الثالث للمثلث. ابدأ بمقياس الرسم: حوّل كل مسافة حقيقية إلى طول على الورق بقسمتها على ما يمثله السنتيمتر الواحد. ثم ارسم قوسًا من النقطة الأولى بنصف القطر المحوَّل، فكل نقطة عليه تبعد المسافة الحقيقية المطلوبة عنها، وارسم قوسًا من النقطة الثانية طويلًا بما يكفي ليقطع الأول. يتقاطع القوسان مرتين، مرة على كل جانب من الخط، فعلّم النقطة التي يطلبها السؤال وسمِّها. لا تستعمل المسافة الحقيقية نصف قطر قبل تحويلها بالمقياس، وأعد قراءة الاتجاه لأن النقطة على الجانب الخطأ تأخذ درجة واحدة فقط.

Many questions hide a triangle: "the lighthouse is 3 km from A and 2.4 km from B". The point is where two arcs cross, exactly like the third corner of a triangle.

Worked example

1
$1 cm : 0.5 km$ — The scale. Each centimetre on the drawing stands for 0.5 km, and $A B$ is already drawn.
2
$3 \div 0.5 = 6 cm$ — Turn the real distance from $A$ into drawing length: divide by 0.5 because every 0.5 km is 1 cm.
3
$2.4 \div 0.5 = 4.8 cm$ — Do the same for the distance from $B$ , so this arc has radius 4.8 cm.
4
$arc from A, r = 6 cm$ — Every point on this arc is 3 km from $A$ in real life.
5
$arc from B, r = 4.8 cm$ — Every point on this arc is 2.4 km from $B$ . Make it long enough to cross the first arc.
6
$the arcs cross twice$ — One crossing is on each side of $A B$ . Mark the one the question asks for, for example east of $A B$ , and label it.

Common mistake

Using the real distance as the radius. 3 km is not 3 cm: convert with the scale first.

Common mistake

Picking the wrong crossing. A drawing on the wrong side of the line usually scores only 1 mark, so reread the direction.

6. Rhombus and Square: Two Triangles

المعيّن ومتوازي الأضلاع والمربع كل منها مثلثان متلاصقان على خط واحد، فأنشئ مثلثًا ثم الآخر. في مثال المعيّن القطر مرسوم لك، فتأكد أولًا أن المثلثين ممكنان، أي أن مجموع ضلعين أكبر من القطر. وبما أن أضلاع المعيّن الأربعة متساوية، ارسم من أحد طرفي القطر قوسًا فوقه وقوسًا تحته بطول الضلع، ثم افعل الشيء نفسه من الطرف الآخر، فتتقاطع الأقواس عند الرأسين الباقيين. صِل الرؤوس الأربعة واترك الأقواس كلها، ثم تحقق بقياس القطر الآخر. وفي متوازي الأضلاع أو المربع الأضلاع المتقابلة متساوية، فالرأس الرابع يبعد عن كل رأس مجاور بطول الضلع المقابل، فارسم القوسين.

A rhombus, parallelogram or square is just two triangles joined along a line. Construct one triangle, then the other.

Worked example

1
$P R = 8 cm$ — A rhombus has sides of 5 cm, and the diagonal PR is drawn for you.
2
$5 + 5 = 10 > 8$ — Check the triangles are possible: the two 5 cm sides together beat the 8 cm diagonal.
3
$arcs from P, r = 5 cm$ — A rhombus has four equal sides, so draw one arc above $P R$ and one below it.
4
$arcs from R, r = 5 cm$ — Same radius from the other end. These cross the first two arcs, giving corners $Q$ and $S$ .
5
$join P, Q, R, S$ — Rule the four sides, and leave all four arcs in.
6
$QS = 6 cm$ — Check by measuring: the other diagonal should be 6 cm, because $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ .

Key idea

Parallelogram or square. Opposite sides are equal. With $A B$ and $B C$ drawn, corner $D$ is $B C$ away from $A$ and $A B$ away from $C$ . Draw those two arcs.

7. The Angle Bisector

منصّف الزاوية خط يقسمها نصفين متساويين تمامًا. من رأس الزاوية ارسم قوسًا واحدًا يقطع الذراعين. ثم من كل نقطة تقاطع ارسم قوسًا بنصف القطر نفسه حتى يتقاطع القوسان. بعدها صِل رأس الزاوية بنقطة التقاطع بالمسطرة. في المثال نقيس الزاوية أولًا لنعرف ماذا نتوقع، فكل نصف يجب أن يكون نصفها، وبعد الإنشاء نقيس النصفين للتحقق. الخطأ الشائع تغيير فتحة الفرجار بين القوسين المرسومين من الذراعين، فيميل الخط إلى جانب.

The 2-mark question: construct the bisector of angle $A B C$ . It cuts the angle exactly in half.

Steps

1
From the corner $B$ , draw one arc that crosses both arms.
2
From each of those two crossing points, draw an arc with the same radius, so the two arcs cross.
3
Rule a line from $B$ through that crossing.

Worked example

1
$angle A B C = 6 0^{\circ}$ — Measure the angle with a protractor before you start, so you know what the answer should look like.
2
$6 0^{\circ} \div 2 = 3 0^{\circ}$ — Bisect means cut into two equal halves, so each half should be 30°.
3
$measure both halves = 3 0^{\circ}$ — After you construct the line, measure each half. If they differ by more than a degree or two, one arc's radius slipped.

Common mistake

Changing the radius between the two arcs from the arms. Those two must be equal, or the line leans to one side.

8. Two Sides and the Angle Between

عندما يعطيك السؤال ضلعين والزاوية بينهما تحتاج المنقلة. ارسم الضلع الأول بالمسطرة، ثم ضع مركز المنقلة على الطرف الذي عنده الزاوية وعلّم الزاوية المطلوبة بدءًا من الضلع المرسوم. ارسم خطًا من ذلك الطرف عبر العلامة وقس عليه طول الضلع الثاني لتحصل على الرأس الثالث، ثم صِله بالطرف الآخر. الخطأ الشائع قراءة التدريج الخطأ في المنقلة، فابدأ دائمًا من الصفر الواقع على خطك. وتحقق بقياس الضلع الثالث ومقارنته بالقيمة المتوقعة. وإذا أُعطيت زاويتين والضلع بينهما فارسم الضلع وقس زاوية عند كل طرف، فيتقاطع الخطان عند الرأس الثالث.

The 2-mark question gives a sketch with an angle, such as $A B = 8$ cm, angle $A = 5 0^{\circ}$ , $A C = 6$ cm. Now you need a protractor.

Steps

1
Draw $A B = 8$ cm.
2
Put the protractor's centre on $A$ . Mark $5 0^{\circ}$ from the line $A B$ .
3
Draw a line from $A$ through the mark, and measure 6 cm along it to get $C$ .
4
Join $C$ to $B$ .

Common mistake

Reading the wrong scale on the protractor and drawing $13 0^{\circ}$ . Start from the 0 that sits on your line.

Key idea

Check: $B C$ should measure about 6.2 cm. If it does, your angle and lengths are right.

Key idea

Two angles and the side between. Draw the side. Measure one angle at each end with the protractor. The two new lines cross at the third corner.

9. Measure, Then Calculate

كثيرًا ما يأتي بعد الإنشاء طلب قياس أو حساب المحيط أو المساحة من قياساتك. اكتب كل قياس، لأن الدرجات التالية تعتمد على أعدادك أنت. في المثال نقيس الضلع الثالث بالمسطرة لأقرب مليمتر، ثم نجمع الأضلاع الثلاثة للمحيط لأنه الطول حول الشكل كله. وللمساحة نحتاج ارتفاعًا: ارسم من الرأس خطًا يلاقي القاعدة بزاوية قائمة وقسه، ثم المساحة نصف القاعدة في الارتفاع. قرّب الجواب تقريبًا معقولًا، ولا بأس إن اختلف قليلًا ما دمت قست بعناية. والخطأ الشائع أن تستعمل ضلعًا مائلًا ارتفاعًا، بينما الارتفاع يجب أن يكون عموديًا على القاعدة.

A construction is often followed by "measure" or "by taking measurements, find the perimeter or area". Write each measurement down: the next marks follow from your own numbers.

Worked example

1
$A B = 7, A C = 6, ∠ A = 4 0^{\circ}$ — You have constructed this triangle with a ruler and protractor.
2
$B C \approx 4.5 cm$ — Measure the third side with a ruler, to the nearest millimetre. Write it down.
3
$7 + 6 + 4.5 = 17.5 cm$ — Perimeter means all the way round, so add the three sides.
4
$h \approx 3.9 cm$ — For area you need a height. Draw a line from $C$ that meets $A B$ at a right angle, and measure it.
5
$\frac{1}{2} \times 7 \times 3.9 = 13.65$ — Area of a triangle is half × base × height. The base is $A B$ because the height meets it at a right angle.
6
$\approx 13.7 cm^{2}$ — Round sensibly. Your answer may differ a little, and that is fine if you measured carefully.

Common mistake

Using a slanted side as the height. The height must meet the base at $9 0^{\circ}$ .

10. Which Method? Read the Question

كلمات السؤال تخبرك أي إنشاء تستعمل. المنصّف العمودي لقطعة يعني أقواسًا متساوية من طرفيها، وعبارة «على بعد متساوٍ من نقطتين» تعني الشيء نفسه. العمود من نقطة يعني علامتين متساويتين على جانبيها ثم التنصيف. الأضلاع الثلاثة المعطاة تعني ضلعًا ثم قوسين، ونقطة على مسافتين معلومتين من نقطتين تعني قوسًا من كل نقطة. المعيّن ومتوازي الأضلاع والمربع مثلثان ثم قوسان لكل رأس. منصّف الزاوية قوس من الرأس ثم قوسان آخران، و«على بعد متساوٍ من خطين» تعني منصّف الزاوية. وإن كانت في الرسم زاوية فاستعمل المنقلة لها. وقبل البدء تحقق أن مجموع الضلعين الأقصر أكبر من الضلع الأطول، وإلا فلا يمكن رسم المثلث.

The words tell you which construction to use.

You see	You do
Perpendicular bisector of AB	equal arcs from A and B
Equidistant from A and B	the same: perpendicular bisector
Perpendicular through a point	equal marks either side, then bisect
Three sides given	one side, then two arcs
A point given distances from two points	an arc from each point
Rhombus, parallelogram, square	two triangles, then two arcs per corner
Bisector of an angle	arc from the corner, then two more
Equidistant from two lines	the same: angle bisector
An angle in the sketch	protractor for the angle
Bisector's equation on a graph	Extended lesson: The Perpendicular Bisector

Key idea

Before you start, check the three sides can make a triangle: the two shorter ones must add up to more than the longest.

تدرّب على إنشاء المثلثات

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح إنشاء المثلثات

1. Construct Means Show the Arcs

2. The Perpendicular Bisector

3. Perpendicular Through a Point

4. Three Sides: Two Arcs

5. A Point From Two Distances

6. Rhombus and Square: Two Triangles

7. The Angle Bisector

8. Two Sides and the Angle Between

9. Measure, Then Calculate

10. Which Method? Read the Question

تدرّب على إنشاء المثلثات

أسئلة امتحانات سابقة على إنشاء المثلثات، محلولة ومشروحة بالعربي