شرح الجذور التربيعية

Square Roots

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Square Root Is

الجذر التربيعي عكس التربيع. يسأل: ما العدد الذي إذا ضربته في نفسه أعطاك هذا العدد؟ ويُكتب بعلامة الجذر. في المثال نربّع عددًا أولًا، ثم نرى أن الجذر يرجع بنا خطوة إلى الوراء إلى العدد الأصلي. تخيّل مربعًا مكوّنًا من نقاط، فالجذر التربيعي هو طول ضلعه. الخطأ الشائع أن تقسم العدد على اثنين، والنصف أكبر بكثير من الجذر. تحقق دائمًا بتربيع إجابتك لترجع إلى العدد الأصلي.

A square root undoes squaring. It asks: which number, times itself, makes this? It is written with the root sign: $49$ .

Worked example

1
$7 \times 7 = 49$ — Start with 7 and square it: 7 times itself is 49.
2
$49 = 7$ — The square root goes backwards: 7 is the number that makes 49 when you multiply it by itself.

Rule

Think of a square made of 49 dots. The square root is the length of one side.

Common mistake

Halving. $49 \div 2 = 24.5$ , but $24.5 \times 24.5$ is far more than 49. Always square back to check.

2. Between Two Whole Numbers

معظم الجذور التربيعية ليست أعدادًا صحيحة، وسؤال شائع يطلب العددين الصحيحين اللذين يقع الجذر بينهما. هذا مفيد للتقدير، ولترتيب الجذور، وللتحقق من الآلة الحاسبة. الطريقة: أوجد أكبر عدد مربع أصغر من العدد، وأصغر عدد مربع أكبر منه. العدد يقع بين هذين المربعين، والعدد الأكبر جذره أكبر، فالجذر يقع بين جذري المربعين. ثم تحقق بالآلة الحاسبة. الخطأ الشائع قسمة العدد على اثنين، والجذر ليس النصف، فربّع الأعداد الصحيحة حتى تتجاوز العدد.

Most square roots are not whole numbers. A common question asks which two whole numbers a root lies between. You need it to estimate, to put roots in order, and to check your calculator.

Between which two whole numbers is $90$ ?

Worked example

1
$9^{2} = 81$ — Find the biggest square number below 90. It is 81, which is 9 squared.
2
$1 0^{2} = 100$ — Find the square just above 90. 100 is 10 squared.
3
$81 < 90 < 100$ — 90 sits between the two squares. A bigger number has a bigger root, so the roots keep the same order.
4
$9 < 90 < 10$ — Take the root of each part. So √90 is between 9 and 10.
5
$90 = 9.486 \dots$ — Check with the root key: 9.486… is between 9 and 10, as expected.

Common mistake

Answering 45 and 46, because 90 ÷ 2 = 45. A square root is not half. Square the whole numbers until you pass 90.

3. Square Root of a Big Number

سؤال الدرجة الواحدة: أوجد الجذر التربيعي لعدد صحيح كبير. مع الآلة الحاسبة اضغط زر الجذر ثم ربّع الناتج للتحقق. وبدونها احصر الجذر بين العشرات: ربّع مضاعفات العشرة لتعرف في أي عشرة يقع الجذر. ثم انظر إلى آخر رقم في العدد لتعرف بماذا ينتهي الجذر، فلا ينتهي المربع بهذا الرقم إلا إذا انتهى الجذر برقمين محددين. للاختيار بينهما ربّع العدد الذي في المنتصف: إن كان مربعه أكبر من العدد فالجذر هو الأصغر، وإلا فهو الأكبر. ثم تحقق بالتربيع. الخطأ الشائع كتابة نصف العدد، والجذر أصغر بكثير من النصف.

The 1-mark question: find the square root of a big whole number. With a calculator, press the root key and square back to check. Without one, trap it between tens.

Find $1764$ without a calculator.

Worked example

1
$4 0^{2} = 1600$ — 1764 is more than 1600, so its root is more than 40.
2
$5 0^{2} = 2500$ — 1764 is less than 2500, so its root is less than 50. The answer is in the 40s.
3
$ends in 4 : 2 or 8$ — Look at the last digit. Only 2 × 2 = 4 and 8 × 8 = 64 end in 4, so the root ends in 2 or 8.
4
$4 5^{2} = 2025$ — Choose between 42 and 48 by squaring the middle, 45. 2025 is bigger than 1764, so the root is below 45: it is 42.
5
$42 \times 42 = 1764$ — Check by squaring back. It gives 1764, so $1764 = 42$ .

Common mistake

Writing 882, which is 1764 halved. A square root is much smaller than half.

4. Square Root of a Decimal

سؤال الدرجة الواحدة: أوجد الجذر التربيعي لكسر عشري. قدّر أولًا: أوجد المربعين الصحيحين اللذين يقع العدد بينهما، فتعرف أن الجذر بين عددين صحيحين متتاليين. ثم استخدم زر الجذر في الآلة الحاسبة، وتأكد أن الناتج يتفق مع تقديرك. وأخيرًا ربّع الناتج لترجع إلى العدد الأصلي. الخطأ الشائع وضع الفاصلة العشرية في المكان الخطأ، والتقدير يخبرك أين تضعها.

The 1-mark question: find the square root of a decimal like 70.56. Estimate first, use the root key, then square back to check.

Worked example

1
$8^{2} = 64$ — 70.56 is more than 64, so its root is more than 8.
2
$9^{2} = 81$ — 70.56 is less than 81, so its root is less than 9. The answer is 8 point something.
3
$70.56 = 8.4$ — Press the root key, then type 70.56. 8.4 is between 8 and 9, so it fits the estimate.
4
$8.4 \times 8.4 = 70.56$ — Check: square it back. It gives 70.56, the number you started with, so 8.4 is right.

Common mistake

Writing 0.84 or 84. The estimate says 8 to 9, so the decimal point goes after the 8.

5. Roots Without a Calculator

في ورقة بدون آلة حاسبة، قد يكون للكسر أو للكسر العشري جذر تربيعي دقيق. القاعدة: جذر الكسر يساوي جذر البسط على جذر المقام، فخذ جذر كل منهما وحده ثم أعدهما كسرًا. تحقق بضرب الناتج في نفسه. ومع الكسر العشري اكتبه أولًا ككسر مقامه مئة، لأن المئة عدد مربع، ثم خذ جذر البسط وجذر المقام، ثم أرجع الناتج إلى كسر عشري. الخطأ الشائع وضع الفاصلة في مكان خاطئ فيصبح الناتج صغيرًا جدًا. تذكّر أن الجذر له نصف عدد الخانات العشرية التي في العدد الأصلي.

On a non-calculator paper, a fraction or a decimal can still have an exact root. Take the root of the top and of the bottom separately.

Formula

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

$a$ is the top of the fraction and $b$ is the bottom. Find each square root on its own, then put them back as a fraction.

Worked example

1
$\frac{16}{49} = \frac{16}{49}$ — Split into the top and the bottom. Both are square numbers.
2
$16 = 4$ — 4 × 4 = 16, so the root of the top is 4.
3
$49 = 7$ — 7 × 7 = 49, so the root of the bottom is 7.
4
$\frac{16}{49} = \frac{4}{7}$ — Put them back together. Check: $\frac{4}{7} \times \frac{4}{7} = \frac{16}{49}$ .

For a decimal, write it as a fraction over 100 first.

Worked example

1
$1.69 = \frac{169}{100}$ — 1.69 has 2 decimal places, so it is 169 hundredths. 100 is a square: 10 × 10.
2
$\frac{169}{100} = \frac{13}{10}$ — Root of the top is 13, because 13 × 13 = 169. Root of the bottom is 10.
3
$\frac{13}{10} = 1.3$ — Change back to a decimal. Check: 1.3 × 1.3 = 1.69.

Common mistake

Writing 0.13. Check it: $0.13 \times 0.13 = 0.0169$ , far too small. The root has half as many decimal places: 1.69 has 2, so its root has 1.

6. Multiplying Square Roots

بعض الأسئلة تضرب جذرين، أو تطلب جذر حاصل ضرب. القاعدة: جذر عدد في جذر عدد آخر يساوي جذر حاصل ضربهما، لأي عددين موجبين، وتعمل في الاتجاهين. إذا كان العددان ليسا مربعين فاجمعهما تحت جذر واحد، فقد يصبح حاصل الضرب عددًا مربعًا ويخرج جذره عددًا صحيحًا. وإذا كان تحت الجذر حاصل ضرب عددين مربعين فافصله إلى جذرين وخذ جذر كل منهما ثم اضرب، فهذا أسهل من حساب حاصل الضرب الكبير. الخطأ الشائع استخدام هذه القاعدة مع الجمع أو الطرح، فجذر مجموع عددين لا يساوي مجموع جذريهما. الجذور تُدمج فقط عند الضرب أو القسمة.

Some questions multiply two roots, or take the root of a product. Two roots multiplied can join under one root sign.

Formula

a \times b = a \times b

$a$ and $b$ are any two positive numbers. It works both ways: join two roots into one, or split one root into two.

Work out $2 \times 32$ .

Worked example

1
$2 \times 32 = 2 \times 32$ — Neither 2 nor 32 is a square, so join them under one root sign.
2
$= 64$ — 2 × 32 = 64, which is a square number.
3
$= 8$ — 8 × 8 = 64. Check on a calculator: 1.414… × 5.656… = 8.

Work out $16 \times 81$ without a calculator.

Worked example

1
$16 \times 81 = 16 \times 81$ — Both 16 and 81 are squares, so split it into two roots. This avoids working out 16 × 81.
2
$= 4 \times 9$ — 4 × 4 = 16 and 9 × 9 = 81.
3
$= 36$ — Check: 36 × 36 = 1296, and 16 × 81 = 1296 too.

Common mistake

Using it for + or −. $9 + 16 = 3 + 4 = 7$ , but $25 = 5$ . Roots join only when they are multiplied (or divided).

7. Solving x² = a Number

لإلغاء التربيع نأخذ الجذر التربيعي. تحتاج هذا لحل معادلة فيها مربع المجهول، أو لإيجاد ضلع مربع من مساحته. أولًا اجعل مربع المجهول وحده في طرف، فإذا كان مضروبًا في عدد فاقسم الطرفين عليه. ثم خذ الجذر التربيعي للطرفين. انتبه: يوجد حلّان، موجب وسالب، لأن السالب في السالب موجب. أما ضلع المربع فهو الجذر التربيعي للمساحة، لأن المساحة هي الضلع في نفسه، وهنا نرفض الحل السالب لأن الطول لا يكون سالبًا، والوحدة تصبح وحدة طول بدل وحدة مساحة. تحقق دائمًا بالتربيع. الخطأ الشائع القسمة على اثنين بدل أخذ الجذر.

To undo a square, take the square root. You need this to solve $3 x^{2} = 48$ , or to find the side of a square from its area.

Worked example

1
$3 x^{2} = 48$ — The equation. The $x^{2}$ has a 3 in front, so get $x^{2}$ alone first.
2
$x^{2} = 16$ — Divide both sides by 3, because 48 ÷ 3 = 16.
3
$x = 4$ — Take the square root of both sides: 4 × 4 = 16.
4
$(- 4)^{2} = (- 4) \times (- 4) = 16$ — But −4 works too, because minus times minus is plus.
5
$x = 4 or x = - 4$ — So there are two answers. Check: 3 × 16 = 48.

For a square, the side is the square root of the area.

Formula

l = A

$l$ is the length of one side and $A$ is the area. It comes from $A = l \times l = l^{2}$ .

A square has an area of 56.25 cm². Find the length of one side.

Worked example

1
$l^{2} = 56.25$ — Area of a square = side × side. Put in the area.
2
$l = 7.5 or l = - 7.5$ — Take the square root of both sides. Both 7.5 and −7.5 square to 56.25.
3
$l = 7.5 cm$ — A length cannot be negative, so reject −7.5. The area is in cm², so the side is in cm.
4
$7.5 \times 7.5 = 56.25$ — Check by squaring back. It matches the area.

Common mistake

Dividing by 2: 16 ÷ 2 = 8. Squared means times itself, so undo it with a square root, not by halving.

8. Which Method? Read the Question

ابحث عن كلمة «الجذر التربيعي» أو علامة الجذر. جذر عدد: استخدم زر الجذر ثم ربّع للتحقق. عدد كبير بدون آلة حاسبة: احصره بين العشرات واستخدم آخر رقم فيه. «بين أي عددين صحيحين؟»: ربّع الأعداد الصحيحة على جانبيه. كسر أو كسر عشري بدون آلة حاسبة: جذر البسط وجذر المقام. جذران مضروبان: اجمعهما تحت جذر واحد. مربع المجهول يساوي عددًا، أو مساحة مربع: خذ الجذر للطرفين، والطول لا يكون سالبًا أبدًا. أما الجذر فوق عملية حسابية كاملة، وحساب المربعات، والجذر التكعيبي، والجذور الأعلى، فلكل منها درس خاص. وتذكّر أن التربيع والجذر يلغي أحدهما الآخر، فتحقق بالعملية العكسية.

Look for the words square root, or the root sign.

You see	You do
Square root of a number	root key, then square to check
No calculator, big number	trap it between tens, use the last digit
Which two whole numbers is it between?	square the whole numbers either side
No calculator: a fraction or a decimal	root of the top and of the bottom
Two roots multiplied	join them under one root sign
x² equals a number, or a square's area	square root both sides; a length is never negative
A root over a whole calculation	Using a Calculator
Work out a square, or pick a square from a list	Square Numbers
Cube root	Cube Roots
Fourth or fifth root	Further Powers and Roots

Key idea

Squaring and square rooting undo each other. Whichever you do, do the other one to check.

تدرّب على الجذور التربيعية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الجذور التربيعية

1. What a Square Root Is

2. Between Two Whole Numbers

3. Square Root of a Big Number

4. Square Root of a Decimal

5. Roots Without a Calculator

6. Multiplying Square Roots

7. Solving x² = a Number

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على الجذور التربيعية

أسئلة امتحانات سابقة على الجذور التربيعية، محلولة ومشروحة بالعربي