شرح تكامل eˣ والدوال المثلثية و(ax+b)ⁿ

Integrating eˣ, Trig and (ax+b)ⁿ

يأتي في امتحانات IGCSE Additional Maths 0606 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Rewind the chain rule

الامتحان يطلب تكامل دوال مثل الدالة الأسية لثلاثة أمثال السين أو جيب ضعف السين، وفكرة واحدة تحلّها كلها. عند اشتقاق دالة لعبارة خطية في السين تضرب قاعدة السلسلة في معامل السين، فعند الإرجاع يجب أن تقسم عليه. القاعدة: تكامل دالة لعبارة خطية يساوي تكامل الدالة الأصلية للعبارة نفسها مقسومًا على معامل السين، والعدد المضاف داخل العبارة يبقى في مكانه. في المثال نتحقق باشتقاق الجواب: قاعدة السلسلة تُخرج معامل السين فيُختصر مع القسمة ونعود إلى البداية. هذا يعمل فقط حين يكون ما بالداخل خطيًا، أي عددًا في السين زائد عدد. احفظ نتائج هذا الدرس؛ كامبريدج لا تعطي قوانين التكامل، وإدكسل تطلب حفظ تكامل الجيب وجيب التمام والدالة الأسية بالصورة دون عدد مضاف. الاشتقاق يضرب في المعامل، والتكامل يقسم عليه.

You can now integrate powers of $x$ . But exam papers also ask you to integrate functions such as $e^{3 x}$ or $sin 2 x$ . One small idea handles all of them.

When you differentiate a function of $3 x$ , the chain rule multiplies by 3. So when you rewind it, you must divide by 3.

Example

$\frac{d}{d x} (e^{3 x}) = 3 e^{3 x}$ . The 3 appears because of the chain rule. So to rewind $e^{3 x}$ , you take $\frac{1}{3}$ of $e^{3 x}$ .

Formula

\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + c

$a$ — the number in front of $x$ inside the bracket. You divide by it.
$b$ — the number added inside. It just stays where it is.
$F$ — what the plain function integrates to. For example, $\int cos x d x = sin x$ , so when f is cos, F is sin.

Worked example

1
Check that $\int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} e^{3 x} + c$ .
2
$\frac{d}{d x} (\frac{1}{3} e^{3 x}) = \frac{1}{3} \times 3 e^{3 x}$ — Differentiate. The chain rule brings out a 3.
3
$= e^{3 x}$ — The third and the 3 cancel. We are back where we started, so the answer is right.

Rule

This only works when the inside is linear: a number times $x$ , plus a number. For anything else, this rule does not apply.

Rule

Learn every result in this lesson. 0606 and 4037 give no calculus formulas. 4PM1 lists $sin a x$ , $cos a x$ and $e^{a x}$ as integrals to learn, and uses only the form $a x$ , with no $+ b$ .

Key idea

Differentiating multiplies by $a$ . Integrating divides by $a$ .

2. Exponentials

الدالة الأسية للعدد النيبيري مميزة: ميلها يساوي نفسها، فتكاملها هو نفسها. وإذا كان في الأس عبارة خطية فاقسم على معامل السين، والعدد المضاف في الأس يبقى. في المثال الأول نقسم المعامل الأمامي على معامل السين في الأس، والأس لا يتغير؛ وحين يكون معامل السين سالب واحد تنقلب الإشارة. وفي الثاني نقسّم الكسر أولًا: قسمة قوى العدد النيبيري تعني طرح الأسس، والمقلوب يصبح أسًّا سالبًا، ثم نكامل كل حد ونضيف الثابت. احذر خطأين: تغيير الأس أو استعمال قاعدة الأس مع الدالة الأسية، فالأس يبقى كما هو؛ والضرب في معامل السين بدل القسمة عليه، فهذا اشتقاق لا تكامل. والحرف المستعمل لهذا العدد جاء من أويلر. القاعدة: الدالة الأسية تبقى، والأس يبقى، واقسم على معامل السين.

$e^{x}$ is special: its gradient is itself. So $e^{x}$ integrates to $e^{x}$ . With $a x + b$ in the power, divide by $a$ .

Formula

\int e^{a x + b} d x = \frac{1}{a} e^{a x + b} + c

$a$ — the number in front of $x$ in the power. Divide by it.
$b$ — the number added in the power. It stays.

Worked example

1
Find $\int (4 e^{2 x} - e^{- x}) d x$ .
2
$4 e^{2 x} \to \frac{4}{2} e^{2 x} = 2 e^{2 x}$ — Here $a = 2$ . Divide the 4 by 2. The power does not change.
3
$- e^{- x} \to \frac{- 1}{- 1} e^{- x} = e^{- x}$ — Here $a = - 1$ . Dividing by −1 changes the sign.
4
$\int (4 e^{2 x} - e^{- x}) d x = 2 e^{2 x} + e^{- x} + c$ — Put the terms together and add + c.

Worked example

1
Find $\int \frac{e ^{2 x} + 3}{e ^{x}} d x$ .
2
$\frac{e ^{2 x}}{e ^{x}} + \frac{3}{e ^{x}} = e^{x} + 3 e^{- x}$ — Split the fraction. Dividing powers of e means subtracting: 2x − x = x. And 1 over $e^{x}$ is $e^{- x}$ .
3
$e^{x} + 3 e^{- x} \to e^{x} - 3 e^{- x}$ — Integrate each term. For $3 e^{- x}$ , divide by −1.
4
$\int \frac{e ^{2 x} + 3}{e ^{x}} d x = e^{x} - 3 e^{- x} + c$ — Add + c.

Common mistake

Changing the power. $\int e^{2 x} d x$ is $\frac{1}{2} e^{2 x} + c$ . The power stays $2 x$ . Do not use the power rule on $e$ .

Common mistake

Multiplying by $a$ instead of dividing. $4 e^{2 x}$ is the derivative of $2 e^{2 x}$ , not the integral.

Key idea

The letter e for this number comes from Leonhard Euler, a Swiss mathematician of the 1700s. It is the only base whose curve has a gradient equal to its own height.

Key idea

e stays e. Keep the power, divide by the number in front of $x$ .

3. Sine and cosine

تذكّر: مشتقة الجيب جيب التمام، ومشتقة جيب التمام سالب الجيب. اعكسهما واقسم على معامل السين: تكامل جيب التمام هو الجيب مقسومًا على المعامل، وتكامل الجيب هو سالب جيب التمام مقسومًا على المعامل. الإشارة السالبة ضرورية لأن مشتقة سالب جيب التمام هي الجيب الموجب. الاشتقاق يدور في اتجاه، والتكامل يدور في الاتجاه المعاكس. في المثال الأول نكامل حد جيب التمام بالقسمة على معامله، وحد الجيب المسبوق بسالب يعطي سالبًا في سالب فيصير موجبًا. وفي المثال الثاني نكامل الميل لنجد المنحنى، ثم نعوّض بالنقطة ونستعمل القيمة الدقيقة لجيب تمام باي دون آلة، فنجد الثابت. الخطأ الشائع خطأ الإشارة، فتحقق بالاشتقاق. والخطأ الثاني استعمال الدرجات؛ في التفاضل والتكامل الزوايا دائمًا بالراديان.

Recall: $sin x$ differentiates to $cos x$ , and $cos x$ differentiates to $- sin x$ . Rewind these, and divide by $a$ .

Formula

\int cos (a x + b) d x = \frac{1}{a} sin (a x + b) + c

$a$ — the number in front of $x$ . Divide by it.

Formula

\int sin (a x + b) d x = - \frac{1}{a} cos (a x + b) + c

$-$ — the minus sign. $cos$ differentiates to $- sin$ , so to get back to $+ sin$ you need $- cos$ .

Memory trick

Differentiating goes round: sin → cos → −sin → −cos → sin. Integrating goes round the other way.

Worked example

1
Find $\int (6 cos 3 x - 4 sin 2 x) d x$ .
2
$6 cos 3 x \to \frac{6}{3} sin 3 x = 2 sin 3 x$ — Cosine integrates to sine. Divide by 3.
3
$- 4 sin 2 x$ $\to - 4 \times (- \frac{1}{2} cos 2 x) = 2 cos 2 x$ — Sine integrates to minus cosine, divided by 2. Two minus signs make a plus.
4
$\int (6 cos 3 x - 4 sin 2 x) d x$ $= 2 sin 3 x + 2 cos 2 x + c$ — Put together and add + c.

Worked example

1
A curve has $\frac{d y}{d x} = 6 sin 3 x$ and passes through $(\frac{π}{3}, 1)$ . Find the equation of the curve.
2
$y = - 2 cos 3 x + c$ — Sine gives minus cosine. 6 divided by 3 is 2.
3
$1 = - 2 cos π + c$ — Put in the point: $3 \times \frac{π}{3} = π$ .
4
$1 = - 2 (- 1) + c, c = - 1$ — $cos π = - 1$ , an exact value. No calculator needed.
5
$y = - 2 cos 3 x - 1$ — The full equation of the curve.

Common mistake

Getting the sign wrong. Check by differentiating: $- cos x$ gives $+ sin x$ .

Common mistake

Using degrees. In calculus, angles are always in radians. On the non-calculator paper, use exact values such as $cos π = - 1$ .

Key idea

Cosine to sine: no sign change. Sine to cosine: put a minus in front.

4. (ax + b) to a power

هذه البطاقة لطلاب كامبريدج، أما في إدكسل فافكّ القوس قبل التكامل. فكّ قوس خطي مرفوع لقوة كبيرة بطيء، ومع الجذر مستحيل. بدلًا من ذلك عامل القوس كأنه السين وطبّق قاعدة الأس: زد الأس واحدًا مع إبقاء القوس كما هو، واقسم على الأس الجديد، ثم اقسم على معامل السين داخل القوس. في المثال الثاني ننقل القوس من المقام فيصبح أسّه سالبًا، ثم نكامل ونقسم على الأس الجديد السالب وعلى معامل السين. وفي الثالث نكتب الجذر أسّ نصف، ونكامل، ثم نعوّض بالنقطة لإيجاد الثابت، ونحسب قوة ثلاثة أنصاف بالجذر أولًا ثم التكعيب. على القوس بأسّه الجديد مع أي معامل درجة طريقة، فاكتبه دائمًا. الخطأ الشائع نسيان القسمة على معامل السين؛ اشتق جوابك لتتأكد. والخطأ الثاني استعمال هذه القاعدة مع قوس غير خطي، فهذا يجب فكّه أولًا.

Rule

This step is for 0606 and 4037. In 4PM1, expand a bracket before you integrate.

You could expand $(2 x + 3)^{4}$ , but that is slow, and for $4 x + 1$ it is impossible. Instead, treat the bracket like $x$ and use the power rule. Then divide by $a$ .

Formula

\int (a x + b)^{n} d x = \frac{( a x + b ) ^{n + 1}}{a ( n + 1 )} + c

$n$ — the power. Any rational number except −1.
$a$ — the number in front of $x$ inside the bracket.

Worked example

1
Find $\int (2 x + 3)^{4} d x$ .
2
$(2 x + 3)^{5}$ — Add 1 to the power. Keep the bracket exactly as it is.
3
$\frac{( 2 x + 3 ) ^{5}}{5 \times 2}$ — Divide by the new power, 5, and by $a = 2$ .
4
$= \frac{( 2 x + 3 ) ^{5}}{10} + c$ — Tidy and add + c.

Worked example

1
Find $\int \frac{6}{( 3 x - 1 ) ^{3}} d x$ .
2
$6 (3 x - 1)^{- 3}$ — Bring the bracket up: the power becomes −3.
3
$\frac{6 ( 3 x - 1 ) ^{- 2}}{3 \times ( - 2 )}$ — Power −3 + 1 = −2. Divide by −2 and by $a = 3$ .
4
$= - (3 x - 1)^{- 2} + c = - \frac{1}{( 3 x - 1 ) ^{2}} + c$ — 6 ÷ (−6) = −1.

Worked example

1
A curve has $\frac{d y}{d x} = 4 x + 1$ and passes through $(2, 10)$ . Find the equation of the curve.
2
$y = \int (4 x + 1)^{\frac{1}{2}} d x$ — Write the root as a power.
3
$y = \frac{( 4 x + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{4 \times \frac{3}{2}} + c = \frac{( 4 x + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{6} + c$ — Power one half + 1 = 3/2. Divide by 3/2 and by 4.
4
$10 = \frac{9 ^{\frac{3}{2}}}{6} + c = \frac{27}{6} + c$ — Put in the point. $9^{\frac{3}{2}} = (9)^{3} = 27$ .
5
$c = 10 - \frac{9}{2} = \frac{11}{2}$ — Solve for c.
6
$y = \frac{( 4 x + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{11}{2}$ — The full equation.

Mark schemes give a method mark for $k (a x + b)^{n + 1}$ with any number $k$ , then an accuracy mark for the right $k$ . So always write the bracket with its new power.

Common mistake

Forgetting to divide by $a$ . Differentiate your answer: if you do not get back exactly what you started with, a factor is missing.

Common mistake

Using this on a bracket that is not linear. $\int (x^{2} + 1)^{3} d x$ is NOT $\frac{( x ^{2} + 1 ) ^{4}}{4}$ divided by anything. Expand it first.

Key idea

Treat the bracket like $x$ : up one, divide by the new power, then divide by $a$ .

5. 1 over (ax + b) gives ln

هذه البطاقة لطلاب كامبريدج، وإدكسل لا تطلب تكامل مقلوب السين. قاعدة الأس تفشل مع الأس سالب واحد، وتعرف أن تكامل مقلوب السين هو اللوغاريتم الطبيعي. والفكرة نفسها مع قوس خطي: تكامل مقلوب القوس هو اللوغاريتم الطبيعي للقوس مقسومًا على معامل السين، والقوس يجب أن يكون موجبًا. السبب: اشتقاق لوغاريتم القوس بقاعدة السلسلة يُخرج معامل السين في البسط. في المثال الأول العدد في البسط ينتظر أمام الجواب، ثم نقسم على معامل السين. وفي الثاني معامل السين سالب، فانتبه للإشارة، والشرط المعطى يجعل القوس موجبًا. احذر خطأين: استعمال اللوغاريتم حين يكون القوس مربعًا، فهذا أسّ سالب اثنين ويُكامل بقاعدة الأس؛ وضياع الإشارة السالبة حين يكون معامل السين سالبًا.

Rule

This step is for 0606 and 4037. 4PM1 does not ask you to integrate $\frac{1}{x}$ .

The power rule fails for the power −1, because you would divide by 0. You met the fix already: $\int \frac{1}{x} d x = ln x + c$ . The same idea works with a bracket, and you divide by $a$ .

Formula

\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{1}{a} ln (a x + b) + c

$a$ — the number in front of $x$ on the bottom. Divide by it.
$a x + b$ — must be positive here, because ln only works on positive numbers.

Why? Differentiate $ln (a x + b)$ with the chain rule: you get $\frac{a}{a x + b}$ . So rewinding $\frac{1}{a x + b}$ needs $\frac{1}{a}$ in front.

Worked example

1
Find $\int \frac{6}{2 x + 5} d x$ .
2
$6 \times \frac{1}{2 x + 5}$ — The 6 waits in front.
3
$6 \times \frac{1}{2} ln (2 x + 5)$ — One over a linear bracket gives ln of the bracket. Divide by $a = 2$ .
4
$= 3 ln (2 x + 5) + c$ — Tidy and add + c.

Worked example

1
Find $\int \frac{4}{1 - 2 x} d x$ , for $x < \frac{1}{2}$ .
2
$a = - 2$ — The number in front of $x$ is −2. Watch the sign.
3
$4 \times \frac{1}{- 2} ln (1 - 2 x)$ — ln of the bracket, divided by −2.
4
$= - 2 ln (1 - 2 x) + c$ — Tidy and add + c. The condition $x < \frac{1}{2}$ keeps the bracket positive.

Common mistake

Using ln when the bracket is squared. $\int \frac{1}{( 2 x + 1 ) ^{2}} d x$ is a power −2, so use the power rule: $- \frac{1}{2 ( 2 x + 1 )} + c$ .

Common mistake

Losing the minus sign when $a$ is negative, as in $1 - 2 x$ .

Key idea

Only the power −1 gives ln. Leave ln answers exact on the non-calculator paper.

6. sec² and using identities

جزء مربع القاطع لطلاب كامبريدج فقط. مشتقة الظل هي مربع القاطع، فتكامل مربع القاطع لعبارة خطية هو ظل العبارة مقسومًا على معامل السين. في المثال الأول نقسم المعامل الأمامي على معامل السين. وبعض الدوال ليس لها قاعدة خاصة، مثل مربع الظل أو مربع الجيب، فنستعمل متطابقة تحوّلها إلى دوال نعرف تكاملها. في مثال كامبريدج نكتب مربع الظل مربع القاطع ناقص واحد، من المتطابقة المطبوعة في قائمة القوانين، ثم نكامل الحدين. وفي مثال إدكسل نستخرج من قانون جيب تمام المجموع، بجعل الزاويتين متساويتين، أن ضعف مربع الجيب يساوي واحدًا ناقص جيب تمام ضعف الزاوية، ثم نكامل. الخطأ الشائع تطبيق قاعدة الأس على مربع الظل أو مربع الجيب؛ القاعدة تعمل فقط على قوى السين أو قوس خطي. لا قاعدة؟ غيّر الصورة بمتطابقة أولًا.

Rule

The sec² part is for 0606 and 4037 only. 4PM1 does not ask you to integrate $sec^{2}$ .

You know $\frac{d}{d x} (tan x) = sec^{2} x$ . Rewind it, and divide by $a$ .

Formula

\int sec^{2} (a x + b) d x = \frac{1}{a} tan (a x + b) + c

$a$ — the number in front of $x$ . Divide by it.

Worked example

1
Find $\int 4 sec^{2} (2 x + 1) d x$ .
2
$4 \times \frac{1}{2} tan (2 x + 1)$ — sec² rewinds to tan. Divide by $a = 2$ .
3
$= 2 tan (2 x + 1) + c$ — Tidy and add + c.

Some functions have no rule of their own, such as $tan^{2} x$ or $sin^{2} x$ . Use an identity to turn them into functions you can integrate.

Worked example

1
0606 and 4037: find $\int tan^{2} 3 x d x$ .
2
$tan^{2} 3 x = sec^{2} 3 x - 1$ — From $sec^{2} A = 1 + tan^{2} A$ , given in the List of formulas.
3
$\int (sec^{2} 3 x - 1) d x$ — Now both terms have a rule.
4
$= \frac{1}{3} tan 3 x - x + c$ — Divide by 3 for the sec² term. The −1 becomes −x.

Worked example

1
4PM1: find $\int 4 sin^{2} x d x$ .
2
$cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ — Put $A = B = x$ in $cos (A + B)$ from the formula sheet: $cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x$ . Then use $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ .
3
$4 sin^{2} x = 2 - 2 cos 2 x$ — Rearrange: $2 sin^{2} x = 1 - cos 2 x$ , then double it.
4
$\int (2 - 2 cos 2 x) d x = 2 x - sin 2 x + c$ — 2 becomes 2x. Cosine gives sine, divided by 2.

Common mistake

Writing $\int tan^{2} x d x = \frac{t a n ^{3} x}{3}$ . The power rule only works on powers of $x$ or of a linear bracket, not on powers of tan or sin.

Key idea

No rule for it? Change it with an identity first, then integrate.

7. Which method? Read the question

انظر إلى الدالة لتعرف ما تفعل. الدالة الأسية لعبارة خطية: أبقِ الأس واقسم على معامل السين. جيب تمام عبارة خطية: الجيب مقسومًا على المعامل. جيب عبارة خطية: سالب جيب التمام مقسومًا على المعامل. قوس خطي مرفوع لقوة في كامبريدج: زد الأس واحدًا واقسم على الأس الجديد وعلى المعامل. مقلوب قوس خطي في كامبريدج: اللوغاريتم الطبيعي للقوس مقسومًا على المعامل. مربع القاطع في كامبريدج: الظل مقسومًا على المعامل. مربع الظل في كامبريدج، أو مربع الجيب أو مربع جيب التمام في إدكسل: استعمل متطابقة أولًا. ميل ونقطة: كامل مع الثابت ثم عوّض بالنقطة. الخطأ الشائع الضرب في المعامل بحكم عادة الاشتقاق؛ في التكامل نقسم. كل قاعدة هنا هي قاعدة السلسلة معكوسة، فاشتق جوابك لتتحقق.

Look at the function. What you see tells you what to do.

You see	You do
$e^{a x + b}$	Keep the power, divide by $a$
$cos (a x + b)$	$\frac{1}{a} sin (a x + b)$
$sin (a x + b)$	$- \frac{1}{a} cos (a x + b)$
$(a x + b)^{n}$ (0606 / 4037)	Up one, divide by the new power and by $a$
$\frac{1}{a x + b}$ (0606 / 4037)	$\frac{1}{a} ln (a x + b)$
$sec^{2} (a x + b)$ (0606 / 4037)	$\frac{1}{a} tan (a x + b)$
$tan^{2} x$ (0606 / 4037), $sin^{2} x$ or $cos^{2} x$ (4PM1)	Use an identity first
A gradient and a point	Integrate with + c, then put in the point

Common mistake

Multiplying by $a$ out of differentiation habit. When you integrate, you divide.

Key idea

Every rule in this lesson is the chain rule run backwards. Differentiate your answer to check it.

تدرّب على تكامل eˣ والدوال المثلثية و(ax+b)ⁿ

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح تكامل eˣ والدوال المثلثية و(ax+b)ⁿ

1. Rewind the chain rule

2. Exponentials

3. Sine and cosine

4. (ax + b) to a power

5. 1 over (ax + b) gives ln

6. sec² and using identities

7. Which method? Read the question

تدرّب على تكامل eˣ والدوال المثلثية و(ax+b)ⁿ

أسئلة امتحانات سابقة على تكامل eˣ والدوال المثلثية و(ax+b)ⁿ، محلولة ومشروحة بالعربي