شرح التحليل بالتجميع

Factorising by Grouping

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Grouping Is

بعض التعابير فيها أربعة حدود ولا يوجد شيء مشترك بينها كلها، ومع ذلك يمكن تحليلها بالتجميع. قسّم الحدود إلى زوجين، وحلّل كل زوج بإخراج عامل مشترك. إذا أعطى الزوجان القوس نفسه، فأخرج هذا القوس مرة واحدة. الإجابة دائمًا قوسان مضروبان. وتحقّق بالفك: يجب أن يعيد القوسان الحدود الأربعة كلها.

Some expressions have four terms and nothing shared by all four. You can still factorise them.

Split them into two pairs. Factorise each pair. If both pairs give the same bracket, that bracket comes out once.

Rule

Pairs first, then the shared bracket. The answer is always two brackets multiplied.

Key idea

Check by expanding: your two brackets must give all four terms back.

2. Two Pairs, One Bracket

هذا سؤال الدرجتين المعتاد: حلّل تعبيرًا من أربعة حدود. أولًا قسّمه إلى زوجين بحيث يشترك كل زوج في شيء. أخرج العامل المشترك من الزوج الأول، ثم من الزوج الثاني، فيظهر القوس نفسه مرتين. بعد ذلك أخرج القوس المشترك مرة واحدة، وما كان أمامه في المرتين يوضع في القوس الآخر. لماذا ينجح هذا؟ لأن عددًا من القوس زائد عددًا آخر منه يساوي مجموعهما من القوس. الخطأ الشائع: التوقف عند سطر الزوجين، وهو ما زال مجموعًا لا حاصل ضرب. واكتب هذا السطر دائمًا، فهو وحده يأخذ درجة.

The usual 2-mark question: factorise four terms like $5 x y + 10 x + 3 y + 6$ .

Worked example

1
$(5 x y + 10 x) + (3 y + 6)$ — Split the four terms into two pairs. The first two both contain 5x. The last two both contain 3.
2
$5 x (y + 2) + (3 y + 6)$ — Take 5x out of the first pair: $5 x y \div 5 x = y$ and $10 x \div 5 x = 2$ .
3
$5 x (y + 2) + 3 (y + 2)$ — Take 3 out of the second pair: $3 y \div 3 = y$ and $6 \div 3 = 2$ . The same bracket appears twice.
4
$(5 x + 3) (y + 2)$ — The bracket is now shared, so take it out once. What stood in front of it, 5x and 3, goes in the other bracket.
5
$(5 x + 3) (y + 2) = 5 x y + 10 x + 3 y + 6 ✓$ — Check by expanding: 5x × y, 5x × 2, 3 × y and 3 × 2 give all four terms back.

Why it works: $5 x$ lots of the bracket plus $3$ lots of it is $5 x + 3$ lots of it.

Common mistake

Stopping at $5 x (y + 2) + 3 (y + 2)$ . That is still a sum. Take the bracket out to finish.

Key idea

Always write the line $5 x (y + 2) + 3 (y + 2)$ . In a 2-mark question that line earns 1 mark on its own, even if the last step slips.

3. When the Third Term Is Negative

في السؤال الأصعب تكون إشارة الحدّ الثالث سالبة. السالب ملك لهذا الحدّ، فيذهب معه إلى الزوج الثاني. من الزوج الأول أخرج العامل المشترك كالمعتاد، ومن الزوج الثاني أخرج العامل بإشارة سالبة، حتى يتطابق القوسان. ثم أخرج القوس المشترك مرة واحدة، والعامل السالب يدخل القوس الآخر بإشارته. تحقّق من الإشارة: ضرب السالبين يجب أن يعيد الحدّ الأخير موجبًا. الخطأ الشائع: إخراج العامل بإشارة سالبة مع ترك الإشارة داخل القوس كما هي، فلا يتطابق القوسان. القوسان يجب أن يكونا متطابقين تمامًا.

The harder question has a minus in the middle, like $4 pq - 8 p - 3 q + 6$ . Take the minus out with the second pair.

Worked example

1
$(4 pq - 8 p) + (- 3 q + 6)$ — Split into two pairs. The minus belongs to the 3q, so it goes into the second pair with it.
2
$4 p (q - 2) + (- 3 q + 6)$ — First pair: take out 4p. $4 pq \div 4 p = q$ and $- 8 p \div 4 p = - 2$ .
3
$- 3 q + 6 = - 3 (q - 2)$ — Second pair: take out −3, not 3, so the bracket matches. $- 3 q \div (- 3) = q$ and $6 \div (- 3) = - 2$ .
4
$4 p (q - 2) - 3 (q - 2)$ — Put the two pairs back together. Both now have (q − 2).
5
$(4 p - 3) (q - 2)$ — Take the bracket out once. The 4p and the −3 go in the other bracket, minus sign and all.

Check the sign: $- 3 \times - 2 = + 6$ , which is the last term.

Common mistake

Writing $- 3 (q + 2)$ . That expands to $- 3 q - 6$ , not $- 3 q + 6$ . The two brackets must be exactly the same.

4. Swap the Order First

أحيانًا لا يشترك الحدّان الأولان في أي شيء، فلا يفيد جمعهما في زوج. الحل: أعد ترتيب الحدود أولًا، فضع الحدّين اللذين فيهما الحرف نفسه بجانب بعضهما. هذا مسموح لأن الجمع بأي ترتيب يعطي الناتج نفسه. بعد الترتيب قسّم إلى زوجين، وأخرج العامل المشترك من كل زوج، فيظهر القوس نفسه مرتين، ثم أخرجه مرة واحدة.

Sometimes the first two terms share nothing, like $ab + 12$ in $ab + 12 + 3 a + 4 b$ . Move the terms around first.

Worked example

1
$ab + 12 + 3 a + 4 b$ — The question. ab and 12 share no factor except 1, so pairing them goes nowhere.
2
$ab + 3 a + 4 b + 12$ — Reorder: put the two terms with a next to each other, then the two with b. Adding in any order gives the same total.
3
$(ab + 3 a) + (4 b + 12)$ — Now split into two pairs. Each pair shares something.
4
$a (b + 3) + (4 b + 12)$ — First pair: take out a. $ab \div a = b$ and $3 a \div a = 3$ .
5
$a (b + 3) + 4 (b + 3)$ — Second pair: take out 4. $4 b \div 4 = b$ and $12 \div 4 = 3$ . The same bracket appears twice.
6
$(a + 4) (b + 3)$ — Take the bracket out once. The a and the 4 go in the other bracket.

Key idea

Adding is allowed in any order, so swapping terms does not change the expression.

5. When a Pair Shares Only 1

أحيانًا لا يكون في الزوج الثاني شيء يُخرج، فهو أصلًا القوس نفسه. في هذه الحالة اكتب واحدًا أمامه، لأن مرة واحدة من القوس هي القوس. بعد ذلك أخرج القوس المشترك، ويدخل الواحد في القوس الآخر. الخطأ الشائع: نسيان هذا الواحد، فيضيع حدّان عند الفك. وإذا بدأ الزوج الثاني بإشارة سالبة فأخرج سالب واحد، فتنقلب الإشارات داخل القوس ويتطابق مع القوس الأول.

Sometimes the second pair has nothing to take out, like $y - 4$ in $3 x y - 12 x + y - 4$ . It is still a bracket: one lot of it.

Worked example

1
$(3 x y - 12 x) + (y - 4)$ — Split into two pairs. The first pair shares 3x. The second pair shares only 1.
2
$3 x (y - 4) + (y - 4)$ — First pair: take out 3x. $3 x y \div 3 x = y$ and $- 12 x \div 3 x = - 4$ .
3
$3 x (y - 4) + 1 (y - 4)$ — The second pair already is the bracket. Write a 1 in front, because one lot of (y − 4) is just (y − 4).
4
$(3 x + 1) (y - 4)$ — Take the bracket out once. The 3x and the 1 go in the other bracket.
5
$(3 x + 1) (y - 4) = 3 x y - 12 x + y - 4 ✓$ — Check by expanding: 3x × y, 3x × (−4), 1 × y and 1 × (−4).

Common mistake

Writing $(3 x) (y - 4)$ and losing the 1. That expands to $3 x y - 12 x$ only, so two terms are missing.

When the pair starts with a minus. Take out −1 instead, so the signs inside flip.

Worked example

1
$(5 ab - 10 a) + (- b + 2)$ — From $5 ab - 10 a - b + 2$ : split into two pairs. The minus belongs to the b, so it goes into the second pair with it.
2
$5 a (b - 2) + (- b + 2)$ — First pair: take out 5a. $5 ab \div 5 a = b$ and $- 10 a \div 5 a = - 2$ .
3
$- b + 2 = - 1 (b - 2)$ — Take out −1: $- b \div (- 1) = b$ and $2 \div (- 1) = - 2$ . Now the bracket matches.
4
$5 a (b - 2) - 1 (b - 2)$ — Both pairs now have (b − 2).
5
$(5 a - 1) (b - 2)$ — Take the bracket out once. The 5a and the −1 go in the other bracket.

6. Take Out a Common Factor First

«حلّل تحليلًا كاملًا» تعني ألا يبقى شيء يمكن تحليله. إذا اشتركت الحدود الأربعة في عدد، فأخرجه أولًا من كل الحدود. ثم جمّع ما داخل القوس في زوجين كالمعتاد، وأخرج القوس المشترك، وأبقِ العدد الذي أخرجته في المقدمة. الخطأ الشائع: البدء بالتجميع مباشرة فيبقى عدد مشترك داخل أحد القوسين؛ الإجابة صحيحة لكنها غير مكتملة، فأخرج ذلك العدد.

“Factorise completely” means nothing may be left that still factorises. If all four terms share a number, take it out first.

Worked example

1
$6 x y + 12 x + 3 y + 6$ — The question. 6, 12, 3 and 6 all divide by 3, so 3 is shared by every term.
2
$3 (2 x y + 4 x + y + 2)$ — Take the 3 out of every term: $6 x y \div 3 = 2 x y$ , $12 x \div 3 = 4 x$ , $3 y \div 3 = y$ , $6 \div 3 = 2$ .
3
$3 [2 x (y + 2) + 1 (y + 2)]$ — Now group inside the bracket. Take 2x out of the first pair. The second pair, y + 2, is one lot of the bracket.
4
$3 (2 x + 1) (y + 2)$ — Take out the shared (y + 2). Keep the 3 in front.

Common mistake

Stopping at $(6 x + 3) (y + 2)$ . It is correct, but not complete: 6x and 3 still share 3. Take it out to get $3 (2 x + 1) (y + 2)$ .

7. A Bracket Is Already There

بعض الأسئلة تعطيك جزءًا من الإجابة جاهزًا: قوس موجود في الجزء الأول. عامل هذا القوس كحرف واحد، واجعل باقي الحدود تطابقه: أخرج من الحدّين الأخيرين العامل المناسب، بإشارة سالبة إن لزم، حتى يظهر القوس نفسه، ثم أخرجه مرة واحدة. وإذا كان القوسان معكوسي الترتيب فهما ليسا متساويين، فأخرج سالب واحد لتقلب أحدهما، وعندها تتغير الإشارة التي أمامه أيضًا. الخطأ الشائع: قلب القوس مع نسيان قلب الإشارة التي أمامه.

Some questions give you part of the answer already, like $4 x (p + 2 q) - pq - 2 q^{2}$ . Treat the bracket like one letter and make the rest match it.

Worked example

1
$4 x (p + 2 q) - pq - 2 q^{2}$ — The question. The first part already has the bracket. Only the last two terms need work.
2
$- pq - 2 q^{2} = - q (p + 2 q)$ — Take out −q so the bracket matches: $- pq \div (- q) = p$ and $- 2 q^{2} \div (- q) = 2 q$ .
3
$4 x (p + 2 q) - q (p + 2 q)$ — Put it back. Both parts now have (p + 2q).
4
$(4 x - q) (p + 2 q)$ — Take the bracket out once. The 4x and the −q go in the other bracket.

Back-to-front brackets. (p − 5) and (5 − p) look alike but are not equal. Take out −1 to flip one of them.

Worked example

1
$3 x (p - 5) + 2 (5 - p)$ — The question. The brackets are back to front, so they do not match yet.
2
$5 - p = - (p - 5)$ — Flip it by taking out −1. Check: $- (p - 5) = - p + 5$ , which is 5 − p.
3
$3 x (p - 5) - 2 (p - 5)$ — So $+ 2 (5 - p)$ becomes $- 2 (p - 5)$ . The sign in front changes from + to −.
4
$(3 x - 2) (p - 5)$ — Take out the shared (p − 5) once.

Common mistake

Writing $(3 x + 2) (p - 5)$ . Flipping the bracket always flips the sign in front of it too.

8. A Squared Bracket

القوس المربع هو القوس مكتوبًا مرتين، لذلك يشترك بنسخة واحدة منه مع أي حدّ آخر فيه القوس نفسه. الطريقة: اكتب المربع على صورة القوس مضروبًا في نفسه حتى ترى النسخة التي ستخرجها. أخرج نسخة واحدة من القوس من كل حدّ، وضع ما تبقّى داخل قوس كبير: من الحدّ الأول ما كان أمام القوس، ومن الثاني العدد مع النسخة الباقية من القوس. ثم فُكّ ما داخل القوس الكبير واجمع الحدود المتشابهة. اكتب سطر القوس الكبير، فهو يأخذ درجة حتى لو أخطأت في الترتيب بعده.

A squared bracket is the bracket written twice. So it shares one copy with any other term that has that bracket.

Worked example

1
$3 x (x + 4 y) + 2 (x + 4 y)^{2}$ — The question. Both terms contain (x + 4y).
2
$3 x (x + 4 y) + 2 (x + 4 y) (x + 4 y)$ — Write the square as the bracket times itself, so you can see the copy to take out.
3
$(x + 4 y) [3 x + 2 (x + 4 y)]$ — Take one (x + 4y) out of each term. What is left: 3x from the first, 2(x + 4y) from the second.
4
$(x + 4 y) (3 x + 2 x + 8 y)$ — Expand inside the square bracket: $2 (x + 4 y) = 2 x + 8 y$ .
5
$(x + 4 y) (5 x + 8 y)$ — Collect like terms: $3 x + 2 x = 5 x$ . Done.

Key idea

Write the line $(x + 4 y) [3 x + 2 (x + 4 y)]$ . It earns a mark for working even if the tidying after it goes wrong.

9. Which Method? Read the Question

عُدّ الحدود أولًا ثم انظر إلى الإشارات. أربعة حدود بلا عامل مشترك بينها كلها: زوجان ثم القوس المشترك. سالب قبل الحدّ الثالث: أخرج السالب مع الزوج الثاني. زوج لا يشترك في شيء: غيّر ترتيب الحدود. زوج يشترك في الواحد فقط: اكتبه واحدًا في القوس، أو سالب واحد في القوس. الحدود الأربعة تشترك في عدد: أخرجه أولًا ثم جمّع. قوس موجود أصلًا: عامله كحرف واحد واجعل الباقي يطابقه. قوسان معكوسا الترتيب: اقلب أحدهما بإخراج سالب واحد. عامل واحد في كل الحدود، أو ثلاثة حدود فيها مربع المجهول، أو مربع ناقص مربع: لها دروسها الخاصة. إذا لم يتطابق القوسان فجرّب تجميعًا آخر أو راجع الإشارات؛ وأي تجميع صحيح يعطي الإجابة نفسها، وترتيب القوسين لا يهم.

Count the terms first, then look at the signs.

You see	You do
Four terms, nothing shared by all	Two pairs, then the shared bracket
A minus before the third term	Take out the minus with the second pair
A pair that shares nothing	Swap the order of the terms
A pair that shares only 1	Write it as 1(bracket), or −1(bracket)
All four terms share a number	Take it out first, then group
A bracket is already there	Treat it as one letter; make the rest match
(p − 5) and (5 − p)	Flip one: 5 − p = −(p − 5)
One factor in every term	Simple Factorising
Three terms with x²	Factorising Quadratic Expressions
Square minus square	Difference of Two Squares

Key idea

If the two brackets do not match, try a different pairing or check your signs. Any pairing that works gives the same answer, and the brackets can go in either order: $(a + 4) (b + 3) = (b + 3) (a + 4)$ .

تدرّب على التحليل بالتجميع

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح التحليل بالتجميع

1. What Grouping Is

2. Two Pairs, One Bracket

3. When the Third Term Is Negative

4. Swap the Order First

5. When a Pair Shares Only 1

6. Take Out a Common Factor First

7. A Bracket Is Already There

8. A Squared Bracket

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على التحليل بالتجميع

أسئلة امتحانات سابقة على التحليل بالتجميع، محلولة ومشروحة بالعربي