شرح القسمة بنسبة معطاة

Dividing in a Given Ratio

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Dividing in a Ratio Means

النسبة تخبرك كم جزءًا يأخذ كل طرف، وكل الأجزاء متساوية في الحجم. في مثال التفاح والكمثرى نجمع عددَي النسبة لنعرف عدد الأجزاء كلها، ونصيب التفاح منها هو عدده في النسبة. لذلك يكون كسر التفاح هو أجزاؤه مقسومة على مجموع الأجزاء، وكذلك الكمثرى. القاعدة: أوجد قيمة الجزء الواحد أولًا، ثم كل نصيب هو عدد أجزائه مضروبًا في قيمة الجزء الواحد.

A ratio tells you how many parts each person gets. All the parts are the same size.

If apples to pears is $5 : 7$ , there are $5 + 7 = 12$ parts in all. Apples have 5 of them.

Question	Answer
How many parts?	$5 + 7 = 12$
Fraction that are apples	$\frac{5}{12}$
Fraction that are pears	$\frac{7}{12}$

Rule

Find the size of one part first. Every share is a number of parts times one part.

2. Writing a Ratio in Simplest Form

كثير من الأسئلة تبدأ بطلب كتابة النسبة في أبسط صورة. اجعل الطرفين بالوحدة نفسها أولًا، ثم اقسم حتى لا يبقى بينهما عامل مشترك. في المثال أحد الطرفين بالكيلوغرام والآخر بالغرام، فلا تصح المقارنة بعد؛ نحوّل الكيلوغرام إلى غرام بالضرب في ألف، وعندما تتطابق الوحدتان نحذفهما. ثم نقسم الطرفين على أكبر عامل مشترك بينهما، فنصل إلى عددين لا عامل مشترك بينهما فنتوقف. والطريقة الكاملة مع الكسور والأعداد العشرية في درس النسبة في أبسط صورة.

Many questions start with “write this ratio in its simplest form”. Put both parts in the same units, then divide until they share no common factor.

Worked example

1
$1.5 kg : 600 g$ — The question. The units are different, so you cannot compare yet.
2
$1500 : 600$ — Change kg to g: 1.5 × 1000 = 1500. Now the units match, so drop them.
3
$5 : 2$ — Divide both by 300. 5 and 2 share no factor, so you are done.

Key idea

The full method, with fractions and decimals, is in the lesson Ratios in Simplest Form.

3. Sharing a Total

سؤال الثلاث درجات: تقسيم كمية بنسبة معيّنة، أو إيجاد الفرق بين نصيبين. أولًا اجمع أعداد النسبة لتعرف عدد الأجزاء كلها، وهي متساوية ومجموعها هو الكمية الكاملة. ثانيًا اقسم الكمية على عدد الأجزاء لتعرف قيمة الجزء الواحد. ثم اضرب قيمة الجزء في أجزاء أصغر نصيب وأجزاء أكبر نصيب، واطرح لتعرف الفرق، وتحقق أن الأنصبة كلها مجموعها الكمية الأصلية. وطريقة أسرع: الفرق بين عددي النسبة هو عدد أجزاء الفرق، فاضربه في قيمة الجزء. الخطأ الشائع: قسمة الكمية على كل عدد من أعداد النسبة وحده؛ يجب أن تجمع الأجزاء أولًا ثم تقسم مرة واحدة. واكتب سطر قسمة الكمية على مجموع الأجزاء، فهو يكسبك درجة حتى لو أخطأت بعده.

The 3-mark question: share an amount in a ratio, or find the gap between two shares.

Share 360 in the ratio $2 : 3 : 7$ . Find the difference between the largest and smallest shares.

Worked example

1
$2 + 3 + 7 = 12 parts$ — Add the ratio numbers. All 12 parts are the same size, and together they make 360.
2
$360 \div 12 = 30$ — Share 360 equally between the 12 parts, so one part is 30.
3
$2 \times 30 = 60$ — The smallest share has 2 parts, so it is 2 lots of 30.
4
$7 \times 30 = 210$ — The largest share has 7 parts, so it is 7 lots of 30.
5
$210 - 60 = 150$ — Subtract to find how much more the largest share gets.
6
$60 + 90 + 210 = 360 ✓$ — Check: the middle share is 3 × 30 = 90, and all three add back to 360.

Key idea

Quicker: the gap is $7 - 2 = 5$ parts, and $5 \times 30 = 150$ .

Common mistake

Dividing 360 by 2, 3 and 7. You must add the parts first, then divide once.

Key idea

Write the line 360 ÷ 12 = 30. It earns a mark for working even if a later line slips.

4. When You Know One Share or the Gap

في هذا السؤال يُعطى نصيب واحد، أو كم يزيد أحدهما على الآخر، فارجع منه إلى الجزء الواحد. في المثال الفرق بين عددي النسبة هو عدد الأجزاء الزائدة عند الثاني، وهذه الأجزاء الزائدة تساوي المبلغ الزائد، فنقسم المبلغ الزائد على عددها لنجد الجزء الواحد. بعدها نجمع عددي النسبة لنعرف كل الأجزاء، ونضرب في قيمة الجزء لنعرف المبلغ كله، ثم نتحقق من الفرق. الخطأ الشائع: قسمة الفرق على مجموع الأجزاء، والصحيح أن الفرق يقابل أجزاء الفرق فقط. القاعدة: طابِق المال مع الأجزاء دائمًا، النصيب مع أجزائه، والفرق مع فرق الأجزاء.

The 3-mark question gives one share, or how much more one person has. Work back to one part.

Ali and Ben share money in the ratio $3 : 8$ . Ben gets £35 more than Ali. How much do they share?

Worked example

1
$8 - 3 = 5 parts$ — Ben has 8 parts and Ali has 3, so Ben has 5 parts more.
2
$5 parts = £35$ — Those 5 extra parts are the £35 extra that Ben gets.
3
$one part = 35 \div 5 = £7$ — Divide by 5 to find one part.
4
$3 + 8 = 11 parts$ — Together they share 11 parts.
5
$11 \times 7 = £77$ — 11 parts at £7 each is the whole amount shared.
6
$8 \times 7 - 3 \times 7 = 56 - 21 = 35 ✓$ — Check: Ben gets £56 and Ali £21, and the gap is £35.

Common mistake

Dividing 35 by 11. The £35 is the gap, so it matches the 5 extra parts, not all 11.

Key idea

Always match money to parts: a share to its own parts, a gap to the gap in parts.

5. Ratio, Then Fractions

سؤال الخمس درجات: قسّم أولًا بالنسبة، ثم خذ كسرًا أو نسبة مئوية من كل نصيب. في المثال نجمع أجزاء البنات والبنين، ونقسم عدد الطلاب عليها لنعرف الجزء الواحد، ثم نحسب عدد البنات وعدد البنين قبل أخذ أي كسر. بعد ذلك نأخذ الكسر الخاص بالبنات من البنات فقط، والكسر الخاص بالبنين من البنين فقط، ونجمع الناتجين لنعرف كل من يمشون. السؤال يطلب كسرًا من كل الطلاب، فنضع عدد الماشين في البسط وعدد الطلاب كلهم في المقام، ثم نبسّط الكسر حتى لا يبقى عامل مشترك. الخطأ الشائع: جمع الكسرين مباشرة، وهما كسران من مجموعتين مختلفتين، فأوجد أعداد الأشخاص أولًا.

The 5-mark question: share first, then take a fraction or a percentage of each share.

96 students, girls to boys $5 : 7$ . $\frac{3}{5}$ of the girls and $\frac{1}{4}$ of the boys walk. What fraction of students walk?

Worked example

1
$5 + 7 = 12 parts$ — Girls and boys together make 12 parts.
2
$96 \div 12 = 8$ — Share 96 students equally between 12 parts, so one part is 8 students.
3
$girls 5 \times 8 = 40$ — Girls have 5 parts. Find the people before you take any fraction.
4
$boys 7 \times 8 = 56$ — Boys have 7 parts. Check: 40 + 56 = 96.
5
$\frac{3}{5} \times 40 = 24$ — The 3/5 is of the girls only: 40 ÷ 5 = 8, then 3 × 8 = 24 girls walk.
6
$\frac{1}{4} \times 56 = 14$ — The 1/4 is of the boys only: 56 ÷ 4 = 14 boys walk.
7
$24 + 14 = 38$ — Add them to get everyone who walks.
8
$\frac{38}{96}$ — The question asks for a fraction of all students, so put the walkers over all 96.
9
$= \frac{19}{48}$ — Divide top and bottom by 2. 19 is prime and does not divide 48, so it is fully simplified.

Common mistake

Adding the fractions: $\frac{3}{5} + \frac{1}{4}$ . They are fractions of different groups, so find the numbers of people first.

6. Joining Two Ratios

هذا السؤال يعطي نسبتين تشتركان في شيء واحد، والمطلوب أن تجعل هذا الشيء المشترك بالعدد نفسه في النسبتين. في المثال الكلاب موجودة في النسبتين بعددين مختلفين، فنضاعف النسبة الأولى حتى يتساوى عدد أجزاء الكلاب، وعندها تصبح كل الأجزاء بالحجم نفسه ونستطيع دمج النسبتين في نسبة ثلاثية. ثم نستخدم عدد الأرانب المعلوم مع أجزائها لنجد الجزء الواحد، ونضرب في أجزاء القطط، ونتحقق أن الأعداد تحقق النسبتين الأصليتين. الخطأ الشائع: كتابة النسبة الثلاثية فورًا دون توحيد الشيء المشترك، فتكون الأجزاء بأحجام مختلفة.

The 3 or 4-mark question gives two ratios that share one thing. Make that shared thing the same number.

Cats to dogs is $3 : 2$ . Dogs to rabbits is $4 : 5$ . There are 30 rabbits. How many cats?

Worked example

1
$3 : 2 = 6 : 4$ — Dogs are 2 in the first ratio and 4 in the second. Double the first ratio so dogs are 4 in both.
2
$cats : dogs : rabbits = 6 : 4 : 5$ — Now the dog parts match, so all the parts are the same size and you can join the ratios.
3
$5 parts = 30$ — Rabbits are 5 parts, and there are 30 rabbits.
4
$one part = 30 \div 5 = 6$ — Divide by 5, so one part is 6 animals.
5
$cats = 6 \times 6 = 36$ — Cats are 6 parts, so there are 36 cats.
6
$dogs = 4 \times 6 = 24$ — Check: 36 : 24 is 3 : 2, and 24 : 30 is 4 : 5. Both match the question.

Common mistake

Writing $3 : 2 : 5$ straight away. The dogs are 2 parts in one ratio and 4 in the other, so the parts are different sizes.

7. A Fraction First, Then a Ratio

بعض الأسئلة تأخذ كسرًا أو نسبة مئوية أولًا، ثم تقسّم الباقي فقط بالنسبة، فالتزم بهذا الترتيب. في المثال الكسر مأخوذ من الكمية الكاملة، فنحسبه أولًا ونطرحه، والباقي وحده هو الذي يُقسم. ثم نجمع أعداد النسبة، ونقسم الباقي على عدد الأجزاء لنجد الجزء الواحد، ونضرب فرق الأجزاء في قيمة الجزء لنعرف كم يزيد المحل الثاني، ونتحقق أن النصيبين مجموعهما الباقي. الخطأ الشائع: تقسيم الكمية الكاملة بالنسبة، والنسبة هنا للباقي بعد البيع فقط. وإذا خُصم أكثر من شيء أولًا، مثل نسبة مئوية ثم مبلغ ثابت، فاخصمها كلها قبل التقسيم.

Some questions take a fraction or a percentage away first, and share only what is left. Do it in that order.

A farmer has 720 kg of potatoes. He sells $\frac{3}{8}$ of them. He shares the rest between two shops in the ratio $2 : 7$ . How much more does the second shop get?

Worked example

1
$\frac{3}{8} \times 720 = 270$ — The fraction is of the whole 720, so work it out first: 720 ÷ 8 = 90, and 3 × 90 = 270 kg sold.
2
$720 - 270 = 450$ — Take it away. Only the 450 kg left is shared.
3
$2 + 7 = 9 parts$ — Add the ratio numbers to get the parts.
4
$450 \div 9 = 50$ — Share the 450, not the 720. One part is 50 kg.
5
$7 - 2 = 5 parts$ — The second shop has 5 more parts than the first.
6
$5 \times 50 = 250 kg$ — 5 parts at 50 kg each is how much more the second shop gets.
7
$100 + 350 = 450 ✓$ — Check: the shares are 2 × 50 = 100 and 7 × 50 = 350, and they add to the 450 left.

Common mistake

Sharing all 720 in the ratio: 720 ÷ 9 = 80. The ratio is only for what is left after the sale.

Key idea

If several things come off first, such as 40% and then $300, take off every one before you share.

8. When the Amounts Change

بعض الأسئلة تقسّم مبلغًا، ثم يعطي شخص جزءًا من ماله لآخر، وتطلب النسبة الجديدة. أوجد المبالغ الحقيقية أولًا، ثم غيّرها، ثم بسّط. في المثال نجمع الأجزاء ونجد قيمة الجزء الواحد، ثم نحسب مبلغ كل شخص قبل أي تغيير. من يستلم المال نضيف إليه، ومن يعطيه نطرح منه المبلغ نفسه، والثالث لا يتغير، والمجموع يبقى كما هو. ثم نكتب المبالغ الجديدة بالترتيب نفسه ونقسمها على عامل مشترك حتى تصل إلى أبسط صورة. الخطأ الشائع: تغيير أعداد النسبة نفسها، كأن تضيف المبلغ إلى عدد الأجزاء؛ المبلغ مال وليس أجزاء، فغيّر المال لا النسبة. وفي أسئلة الأعمار تذكّر أن الجميع يكبرون بعدد السنوات نفسه: ارجع إلى الزمن الذي كانت فيه النسبة صحيحة، وأوجد الجزء الواحد من عمر الشخص المعلوم، ثم احسب عمر الآخر في ذلك الوقت، وأضف السنوات لتصل إلى عمره الآن.

Some questions share an amount, then someone gives money away, and ask for the new ratio. Find real amounts first, change them, then simplify.

Ann, Bo and Cy share £180 in the ratio $2 : 3 : 4$ . Then Cy gives £15 to Ann. Find the new ratio.

Worked example

1
$2 + 3 + 4 = 9 parts$ — Add the ratio numbers.
2
$180 \div 9 = 20$ — Share the £180 equally between 9 parts, so one part is £20.
3
$Ann 40, Bo 60, Cy 80$ — 2, 3 and 4 parts, each times 20. These are the amounts before anyone gives money.
4
$Ann 40 + 15 = 55$ — Ann receives £15, so add it.
5
$Cy 80 - 15 = 65$ — Cy gives the same £15 away, so take it off. Bo does not change.
6
$55 : 60 : 65$ — The new amounts, in the order Ann : Bo : Cy. They still add to 180.
7
$11 : 12 : 13$ — Divide all three by 5. 11, 12 and 13 share no factor, so this is the simplest form.

Common mistake

Changing the ratio numbers, e.g. adding 15 to the 2. The 15 is pounds, not parts. Change the money, not the ratio.

Ages. Everyone gets older by the same number of years. 4 years ago, Sam and Lee’s ages were in the ratio $3 : 5$ . Sam is 16 now. How old is Lee now?

Worked example

1
$16 - 4 = 12$ — Go back 4 years. Sam was 12 when the ratio was true.
2
$12 \div 3 = 4$ — Sam had 3 parts, so one part is 4 years.
3
$5 \times 4 = 20$ — Lee had 5 parts, so Lee was 20 then.
4
$20 + 4 = 24$ — Add the 4 years back. Lee is 24 now.

9. Coins and Tickets in a Ratio

عندما تكون للعملات أو التذاكر قيم مختلفة، فالنسبة تعدّ القطع لا قيمتها من المال. أوجد قيمة مجموعة واحدة أولًا. في المثال المجموعة الواحدة فيها عدد من العملات الصغيرة وعدد من العملات الكبيرة حسب النسبة، فنحسب قيمة كل نوع ونجمعهما لنعرف قيمة المجموعة. ثم نحوّل المبلغ الكلي إلى الوحدة الصغيرة نفسها، ونقسمه على قيمة المجموعة لنعرف عدد المجموعات في الجرة، ونضرب في عدد كل نوع في المجموعة، ونجمع لنعرف عدد العملات كلها، ونتحقق من القيمة. الخطأ الشائع: تقسيم المبلغ نفسه بالنسبة، والنسبة تعدّ العملات، والعملة الكبيرة قيمتها خمسة أضعاف الصغيرة. والتذاكر بالطريقة نفسها: أوجد ثمن مجموعة واحدة من تذاكر الكبار والصغار حسب النسبة.

When coins or tickets have different values, the ratio counts them, not their money. Find the value of one set first.

A jar has only 10c and 50c coins, in the ratio $3 : 2$ by number. They are worth $7.80 in total. How many coins are there?

Worked example

1
$3 \times 10 = 30 c$ — One set has 3 coins of 10c. Their value is 30c.
2
$2 \times 50 = 100 c$ — The same set has 2 coins of 50c, worth 100c.
3
$30 + 100 = 130 c$ — So one set of 5 coins is worth 130c.
4
$$7.80 = 780 c$ — Change dollars to cents so both amounts use the same unit.
5
$780 \div 130 = 6$ — The jar holds 6 sets of coins.
6
$3 \times 6 = 18, 2 \times 6 = 12$ — 18 coins of 10c and 12 coins of 50c, still in the ratio 3 : 2.
7
$18 + 12 = 30 coins$ — Add them. Check: 180c + 600c = 780c.

Common mistake

Sharing $7.80 in the ratio 3 : 2. The 3 : 2 counts coins, and a 50c coin is worth five times a 10c coin.

Key idea

Tickets work the same way. Adult : child tickets 1 : 3 at $12 and $5 means one set costs 12 + 15 = $27.

10. Which Method? Read the Question

حدّد ما يعطيك إياه السؤال: المجموع، أو نصيب واحد، أو فرق، ثم أوجد الجزء الواحد. الجدول يلخّص: «قسّم بنسبة» المجموع على كل الأجزاء؛ «يأخذ أكثر من غيره بمبلغ» الفرق على فرق الأجزاء؛ «يستلم شخص مبلغًا» نصيبه على أجزائه؛ ثم كسر أو نسبة مئوية من كل نصيب قسّم أولًا ثم خذ الكسر؛ نسبتان تشتركان في شيء وحّد هذا الشيء ثم ادمج؛ «اكتب في أبسط صورة» وحّد الوحدات ثم اقسم على العوامل المشتركة؛ كسر يُخصم أولًا اخصمه ثم قسّم الباقي؛ شخص يعطي آخر أوجد المبالغ وغيّرها وبسّط؛ عملات أو تذاكر بقيم مختلفة أوجد قيمة مجموعة واحدة. أما خلط المكونات والسبائك ففي درس مسائل الخلط بالنسبة، وتكبير الوصفات وأفضل شراء في درس التناسب الطردي في الحياة. وتحقق في النهاية أن الأنصبة مجموعها الكمية الكلية وأنها تحافظ على النسبة.

Find what you are told: the total, one share, or a gap. Then find one part.

You see	You do
“Share … in the ratio …”	total ÷ all the parts
“gets £35 more than …”	gap ÷ the gap in parts
“Sarah receives 20”	her share ÷ her parts
Then a fraction or a percentage of each	share first, then take the fraction
Two ratios with one thing in both	make that thing match, then join
“Write … in its simplest form”	same units, then divide by common factors
A fraction or % is taken first	take it off, then share what is left
Someone gives some to another	find the amounts, change them, simplify
Coins or tickets of different values	find the value of one set
Mixing ingredients or alloys	See Ratio Mixture Problems
Scaling a recipe or best buy	See Direct Proportion in Real Life

Key idea

Check at the end: your shares should add up to the total and keep the ratio.

تدرّب على القسمة بنسبة معطاة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح القسمة بنسبة معطاة

1. What Dividing in a Ratio Means

2. Writing a Ratio in Simplest Form

3. Sharing a Total

4. When You Know One Share or the Gap

5. Ratio, Then Fractions

6. Joining Two Ratios

7. A Fraction First, Then a Ratio

8. When the Amounts Change

9. Coins and Tickets in a Ratio

10. Which Method? Read the Question

تدرّب على القسمة بنسبة معطاة

أسئلة امتحانات سابقة على القسمة بنسبة معطاة، محلولة ومشروحة بالعربي