شرح الأعداد الموجبة والسالبة

Directed Numbers

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Are Directed Numbers?

العدد الموجّه هو عدد له إشارة: الموجب أكبر من الصفر، والسالب أصغر من الصفر، مثل درجة الحرارة تحت الصفر. تخيّل خط الأعداد: كلما اتجهت يمينًا كبر العدد، وكلما اتجهت يسارًا صغر. كلمات مثل «ترتفع» و«أدفأ» و«أعلى» تعني أن تتحرك يمينًا فتجمع، وكلمات مثل «تنخفض» و«أبرد» و«أقل» تعني أن تتحرك يسارًا فتطرح، أما «الفرق» فهو المسافة بين عددين. انتبه: العدد الأبعد إلى اليسار هو الأصغر، فسالب خمسة أصغر من سالب واحد مع أن خمسة أكبر من واحد. وقديمًا سمّى العالم الهندي براهماغوبتا الأعداد الموجبة «ثروات» والسالبة «ديونًا»، وقال إن الدَّين إذا طُرح من الصفر صار ثروة.

A directed number has a sign. Positive numbers are above zero, negative numbers are below zero. A temperature of $- 5^{\circ} C$ is 5 degrees below zero.

Picture a number line. Right is bigger, left is smaller.

You see	It means
rises, warmer, higher	move right: add
falls, colder, lower	move left: subtract
difference	the gap between two numbers

Rule

The further left a number is, the smaller it is. So $- 5$ is smaller than $- 1$ , even though 5 is bigger than 1.

Key idea

In the year 628, the Indian mathematician Brahmagupta wrote down rules for negative numbers. He called positive numbers fortunes and negative numbers debts. One rule: a debt taken away from zero is a fortune, just like $0 - (- 3) = 3$ .

2. A Temperature Rises or Falls

هذا أكثر سؤال شائع في الامتحان، ويأخذ درجة أو درجتين: درجة حرارة ترتفع أو تنخفض، أو مكان أبرد من مكان آخر بعدد من الدرجات، والمطلوب درجة الحرارة الجديدة. إذا قال السؤال «أعلى» فاجمع، وإذا قال «أقل» فاطرح. عند الجمع وأنت تحت الصفر اصعد أولًا حتى الصفر ثم أكمل الباقي فوقه، وعند الطرح وأنت تحت الصفر فأنت تنزل أكثر تحته. في سؤال الدرجتين: احسب أولًا عدد الساعات، ثم اضربه في مقدار الانخفاض كل ساعة لتعرف الانخفاض الكلي، ثم اطرحه من درجة البداية نزولًا إلى الصفر وما بعده. انتبه للإشارة: إذا نزلت تحت الصفر فالجواب سالب، ونسيان إشارة السالب يُضيّع عليك الدرجة.

The most common question, for 1 or 2 marks: a temperature goes up or down, or one place is so many degrees lower than another. Find the new temperature.

It is $- 4^{\circ} C$ in Oslo. Cairo is 19 degrees higher. Moscow is 6 degrees lower than Oslo.

Worked example

1
$- 4 + 19 = 15$ — Cairo is 19 degrees higher, so add 19 to Oslo's −4. Up 4 reaches zero, then 15 more: Cairo is 15°C.
2
$- 4 - 6 = - 10$ — Moscow is 6 degrees lower, so take 6 away. You are already below zero, so you go further down: Moscow is −10°C.

The 2-mark question adds a step. At 8 pm it is $5^{\circ} C$ . It falls 3 degrees every hour. What is it at midnight?

Worked example

1
$12 - 8 = 4$ — Count the hours from 8 pm to midnight (12 o'clock). That is how many falls there are.
2
$4 \times 3 = 12$ — It falls 3 degrees each hour, so 4 hours means a total fall of 12 degrees.
3
$5 - 12 = - 7$ — Take the whole fall from the start. 5 down reaches zero, then 7 more takes you below: −7°C.

Common mistake

Answering $7$ instead of $- 7$ . A fall of 12 from 5 goes 7 below zero, so the sign matters.

3. The Difference Between Two Temperatures

سؤال الفرق بين درجتي حرارة شائع جدًا ويأخذ درجة واحدة، والفكرة أن تحسب المسافة بينهما على خط الأعداد. ابدأ من الدرجة الأقل واصعد حتى الصفر، ثم من الصفر حتى الدرجة الأعلى، واجمع المسافتين. ويمكنك التحقق بطرح الأصغر من الأكبر، وتذكّر أن طرح العدد السالب يساوي جمعه. أما «المنتصف» بين درجتين فاجمع الدرجتين ثم اقسم الناتج على اثنين، والعدد السالب مقسومًا على موجب يبقى سالبًا، ثم تأكد أن جوابك يبعد المسافة نفسها عن الطرفين. الخطأ الشائع: إذا كانت إحدى الدرجتين تحت الصفر والأخرى فوقه فلا تطرح العددين، بل اجمعهما، لأن المسافة تمر عبر الصفر.

The 1-mark question, just as common: the difference between two temperatures, or how much lower one is. Count the gap on the number line.

Find the difference between $6^{\circ} C$ and $- 9^{\circ} C$ .

Worked example

1
$- 9 \to 0 : 9$ — Start at the lower temperature. It takes 9 degrees to climb up to zero.
2
$0 \to 6 : 6$ — Then 6 more degrees to climb from zero up to 6.
3
$9 + 6 = 15$ — Add the two climbs to get the whole gap. The difference is 15 degrees.
4
$6 - (- 9) = 6 + 9 = 15$ — Check with bigger minus smaller. Taking away −9 is adding 9, and it gives the same 15.

Halfway between two temperatures: add them and halve. Halfway between $7^{\circ}$ and $- 1 1^{\circ}$ :

Worked example

1
$7 + (- 11) = - 4$ — Add the two temperatures. Adding −11 means going down 11 from 7, which lands on −4.
2
$- 4 \div 2 = - 2$ — Halve the total to find the middle. A negative divided by a positive stays negative: −2°.
3
$7 - (- 2) = 9 and - 2 - (- 11) = 9$ — Check: −2 is 9 degrees from each end, so it really is halfway.

Common mistake

Answering $3$ for the gap between 6 and $- 9$ . That is $9 - 6$ . When one is below zero, the sizes add.

4. Decimals and Two-Step Changes

الامتحان يستخدم أيضًا الأعداد العشرية، وبعض أسئلة الدرجتين فيها تغييران متتاليان، لكن الطريقة نفسها: تحرّك صعودًا أو نزولًا، وتجاوز الصفر إذا لزم. في الفرق بين عددين عشريين: اصعد من الأقل إلى الصفر، ثم من الصفر إلى الأعلى، واجمع المسافتين مع محاذاة الفاصلة العشرية. في مسألة الأماكن اسأل نفسك دائمًا: أيّ المكانين أدفأ؟ الكوخ أدفأ من قمة التل، فالقمة أبرد، لذلك تطرح من درجة الكوخ. ثم القمة أبرد من الوادي، فالوادي أدفأ، لذلك تجمع. الخطأ الشائع أن تجمع لمجرد أنك رأيت كلمة «أدفأ» في السؤال. واكتب كل سطر من الحل، فالسطر الأول وحده قد يمنحك درجة الطريقة حتى لو أخطأت بعده.

Exams also use decimals, and some 2-mark questions chain two changes together. The method is the same: move up or down, past zero if needed.

Find the difference between $- 9. 4^{\circ} C$ and $16. 8^{\circ} C$ .

Worked example

1
$- 9.4 \to 0 : 9.4$ — Start at the lower temperature. It takes 9.4 degrees to climb up to zero.
2
$0 \to 16.8 : 16.8$ — Then 16.8 more to climb from zero up to 16.8.
3
$9.4 + 16.8 = 26.2$ — Add the two climbs, lining up the decimal points. The difference is 26.2 degrees.

A cabin is $1 8^{\circ} C$ . The cabin is $23. 5^{\circ} C$ warmer than the top of a hill. The top of the hill is $4. 2^{\circ} C$ colder than the valley. Find the temperature in the valley.

Worked example

1
$top = 18 - 23.5$ — The cabin is the warmer one, so the top of the hill is colder. Take 23.5 away from the cabin's 18.
2
$top = - 5.5$ — 18 down to zero, then 5.5 more below zero: the top is −5.5°C.
3
$valley = - 5.5 + 4.2$ — The top is colder than the valley, so the valley is warmer. Add 4.2.
4
$valley = - 1.3$ — Going up 4.2 from −5.5 does not reach zero, so the valley is −1.3°C.

Common mistake

Adding 23.5 to 18 because the question says “warmer”. Ask which place is warmer: the cabin is, so the top is 23.5 degrees lower.

Key idea

Show every line. On a 2-mark question the first line, like 18 − 23.5, earns a method mark even if a later slip spoils the answer.

5. Lowest, Highest and Signs

سؤال الدرجة الواحدة هنا: أيّ مكان كان الأبرد، أو أيّ رمز مقارنة تضعه في المربع. الأقل هو الأبعد إلى اليسار على خط الأعداد. رتّب درجات الحرارة من الأصغر إلى الأكبر، وتذكّر أنه كلما كبر العدد بعد إشارة السالب كان أبعد إلى اليسار وأصغر. إذا سأل عن المكان فاكتب اسم المكان لا العدد. وفي رمز المقارنة: الجهة المفتوحة تكون نحو العدد الأكبر، والرأس يشير إلى الأصغر، والصفر أكبر من أي عدد سالب. الخطأ الشائع تجاهل إشارة السالب عند المقارنة؛ فسالب ثلاثة عشر أبرد من سالب عشرة لأنه أبعد تحت الصفر.

The 1-mark question: which place was the coldest, or which sign goes in the box. The lowest is the one furthest left on the number line.

Place	Temperature
Oslo	$- 4^{\circ} C$
Moscow	$- 1 0^{\circ} C$
Cairo	$1 5^{\circ} C$
Quebec	$- 1 3^{\circ} C$
Lima	$0^{\circ} C$

Worked example

1
$- 13 < - 10 < - 4 < 0 < 15$ — Write the temperatures in order, smallest first. The bigger the number after a minus, the further left it sits.
2
$- 13$ — The lowest is the first in the order. The question asks for the place, so write Quebec, not the number.
3
$- 5 < - 1$ — −5 is further left than −1, so it is smaller. The sign opens towards the bigger number and points at the smaller one.
4
$0 > - 6$ — Zero is to the right of every negative number, so zero is the bigger one.

Common mistake

Ignoring the minus sign when you compare. 13 is bigger than 10, but $- 13$ is colder than $- 10$ : it is further below zero.

6. Signs When You Calculate

بدون آلة حاسبة قد تحتاج إلى الجمع والطرح والضرب والقسمة مع الأعداد السالبة، وتكفيك قاعدتان. الأولى للجمع والطرح: طرح عدد سالب يساوي جمعه، وجمع عدد سالب يساوي طرحه، ثم أكمل الحساب بالتحرك على خط الأعداد. الثانية للضرب والقسمة، وهي قاعدة الإشارات: الإشارتان المتشابهتان تعطيان ناتجًا موجبًا، والمختلفتان تعطيان ناتجًا سالبًا؛ اضرب أو اقسم الأعداد أولًا ثم حدّد الإشارة. إذا كان في السطر أكثر من عملية فابدأ بالضرب والقسمة ثم الجمع والطرح، وضع كل عدد سالب بين قوسين. وانتبه لخطأين شائعين: «سالب في سالب يعطي موجبًا» تصحّ في الضرب والقسمة فقط لا في الجمع، وتربيع العدد السالب داخل قوسين يعطي موجبًا، أما بدون قوسين فالتربيع يقع على العدد وحده وتبقى الإشارة سالبة.

Without a calculator you may need to add, take away, multiply or divide with negatives. Two rules do all the work.

Rule

Taking away a negative is the same as adding. Adding a negative is the same as taking away.

Worked example

1
$4 - (- 6) = 4 + 6$ — Taking away a negative is the same as adding, so the two minus signs become one plus.
2
$4 + 6 = 10$ — Now it is an ordinary addition.
3
$- 3 + (- 5) = - 3 - 5$ — Adding a negative is the same as taking away, so + (−5) becomes − 5.
4
$- 3 - 5 = - 8$ — Start at −3 and go down 5 more. You land on −8.

Rule

Multiply or divide: same signs give a positive answer, different signs give a negative answer.

Worked example

1
$(- 4) \times (- 6) = 24$ — 4 × 6 = 24. Both numbers are negative, same signs, so the answer is positive.
2
$- 20 \div 5 = - 4$ — 20 ÷ 5 = 4. One negative and one positive are different signs, so the answer is negative.
3
$(- 3) \times 5 = - 15$ — 3 × 5 = 15. Different signs again, so the answer is negative.

When a line has more than one operation, multiply or divide first, then add or take away. Keep each negative in brackets.

Worked example

1
$20 - 0.5 \times (- 8)$ — The question. Do the multiplication before the take-away.
2
$0.5 \times (- 8) = - 4$ — Different signs, so the answer is negative.
3
$20 - (- 4) = 20 + 4$ — Taking away a negative is adding.
4
$20 + 4 = 24$ — So the answer is 24.

Common mistake

Using the multiply rule when adding. $- 3 + (- 5)$ is $- 8$ , not $8$ . Two negatives make a positive only when you multiply or divide.

Common mistake

Squaring a negative. $(- 3)^{2} = (- 3) \times (- 3) = 9$ , but without brackets $- 3^{2}$ means $- (3 \times 3) = - 9$ . Only the 3 is squared.

7. Find the Missing Number

بعض الأسئلة تطلب العدد الذي تجمعه أو تطرحه لتصل إلى ناتج معيّن. اكتب السؤال كعملية فيها مربع مكان العدد المجهول، ثم اعكس العملية. إذا كان المجهول يُجمع، فهو الناتج مطروحًا منه عدد البداية. وإذا كان المجهول يُطرح، فهو عدد البداية مطروحًا منه الناتج. وتذكّر أن طرح عدد سالب يساوي جمعه. لاحظ: إذا صعدت على خط الأعداد والسؤال يقول «اطرح»، فلا بد أن العدد المطروح سالب. وفي النهاية تحقّق دائمًا بوضع جوابك في المربع والتأكد أنه يعطي الناتج المطلوب.

Some questions ask which number you add or take away to reach an answer. Write it with a box, then undo it.

Write down the number you add to $- 6$ to get $5$ .

Worked example

1
$- 6 + □ = 5$ — Write the question as a sum, with a box for the missing number.
2
$□ = 5 - (- 6)$ — Undo the adding by taking away: missing number = answer − start.
3
$□ = 5 + 6 = 11$ — Taking away −6 is the same as adding 6.
4
$- 6 + 11 = 5$ — Check by putting 11 back in the box. It gives 5, so 11 is right.

Write down the number you take away from $- 7$ to get $- 2$ .

Worked example

1
$- 7 - □ = - 2$ — Write the question as a take-away, with a box for the missing number.
2
$□ = - 7 - (- 2)$ — The amount taken away is the gap from the start to the answer: missing number = start − answer.
3
$□ = - 7 + 2 = - 5$ — Taking away −2 is the same as adding 2.
4
$- 7 - (- 5) = - 7 + 5 = - 2$ — Check by putting −5 back in the box. It gives −2, so −5 is right.

Key idea

Going from −7 up to −2 is a move up, yet the question says “take away”. The only way to go up by taking away is to take away a negative.

Common mistake

Answering 5 for the second one. Check it: −7 − 5 = −12, not −2. Always put your answer back in the box.

8. Biggest and Smallest Products

سؤال على قائمة أعداد: أوجد أكبر أو أصغر ناتج ضرب. القاعدة: عُدّ إشارات السالب عند الضرب؛ إذا كان عددها زوجيًا فالناتج موجب، وإذا كان فرديًا فالناتج سالب. أصغر عدد في القائمة هو الأبعد إلى اليسار. لأكبر ناتج ضرب لعددين: جرّب أكبر عددين موجبين، ثم جرّب أكثر عددين سالبين، لأن السالب في السالب موجب، واختر الأكبر. لأصغر ناتج ضرب لثلاثة أعداد: جرّب العدد الأكثر سالبية مع أكبر عددين موجبين، وجرّب أيضًا الأعداد السالبة الثلاثة، ثم اختر الناتج الأبعد إلى اليسار. الخطأ الشائع أن تنسى تجربة الأعداد السالبة فتفوتك الإجابة الأكبر.

A list question: find the highest or lowest product (the answer when you multiply). Two negatives multiply to a positive, so always try them too.

Rule

Count the minus signs when you multiply. An even number of them gives a positive answer; an odd number gives a negative answer.

Use this list: $- 8, - 5, - 2, 0, 1, 3, 4, 7$ .

1. The largest number times the smallest number.

Worked example

1
$7 \times (- 8) = - 56$ — The largest is 7 and the smallest is −8, the one furthest left. Different signs, so the answer is negative.

2. The highest product of two numbers.

Worked example

1
$7 \times 4 = 28$ — Try the two biggest positive numbers first.
2
$(- 8) \times (- 5) = 40$ — Now try the two most negative numbers. Same signs, so the answer is positive.
3
$40 > 28$ — Pick the bigger answer. The highest product of two is 40.

3. The lowest product of three numbers.

Worked example

1
$(- 8) \times 7 \times 4$ — For a big negative answer, use one minus sign: the most negative number with the two biggest positives.
2
$(- 8) \times 7 = - 56$ — Multiply the first two. Different signs, so negative.
3
$- 56 \times 4 = - 224$ — Multiply by the third. Still one minus sign, so still negative.
4
$(- 8) \times (- 5) \times (- 2) = - 80$ — Also try the three negatives: three minus signs is odd, so this is negative too.
5
$- 224 < - 80$ — −224 is further left on the number line, so the lowest product of three is −224.

Common mistake

Answering 28 for the highest product of two. $(- 8) \times (- 5) = 40$ is bigger, because two negatives make a positive.

9. Which Method? Read the Question

كلمات السؤال تخبرك بالاتجاه الذي تتحرك فيه. «أعلى، يرتفع، أدفأ»: اجمع. «أقل، ينخفض، أبرد»: اطرح، وتجاوز الصفر إذا لزم. «الفرق» أو «كم أقل»: احسب المسافة صعودًا إلى الصفر ثم ما بعده. «في المنتصف بين»: اجمع العددين ثم اقسم على اثنين. «الأدنى، الأبرد»: الأبعد إلى اليسار. ورمز المقارنة يشير إلى الأصغر. إذا ذُكرت عدة أماكن بعضها أدفأ من بعض فاحسب كل مكان بدوره، والأدفأ هو الأعلى. «العدد الذي تجمعه لتحصل على»: الناتج ناقص البداية، و«العدد الذي تطرحه لتحصل على»: البداية ناقص الناتج. وفي أكبر أو أصغر ناتج ضرب جرّب الأعداد السالبة وعُدّ إشاراتها. أما أسئلة الترتيب فلها درس «ترتيب القيم»، وأسئلة الأعداد الصحيحة والباقي لها درس «الأعداد الصحيحة». نصيحة أخيرة: ارسم خط أعداد سريعًا عليه الصفر، فمعظم الأخطاء تختفي حين ترى اتجاه حركتك.

The words in the question tell you which way to move.

You see	You do
higher, rises, warmer	add
lower, falls, colder	subtract, and go past zero if needed
difference, how much lower	count the gap: up to zero, then on
halfway between	add the two, then halve
lowest, coldest	the one furthest left
a sign in the box	the sign points at the smaller one
A is warmer than B, B is colder than C	work out each place in turn: the warmer one is higher
the number you add to get…	answer − start
the number you take away to get…	start − answer
highest or lowest product	try the negatives too, and count the minus signs
write these in order	Ordering Values
whole numbers, leftovers	Integers

Key idea

Sketch a quick number line with zero on it. Most mistakes with negatives vanish once you can see which way you are moving.

تدرّب على الأعداد الموجبة والسالبة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الأعداد الموجبة والسالبة

1. What Are Directed Numbers?

2. A Temperature Rises or Falls

3. The Difference Between Two Temperatures

4. Decimals and Two-Step Changes

5. Lowest, Highest and Signs

6. Signs When You Calculate

7. Find the Missing Number

8. Biggest and Smallest Products

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على الأعداد الموجبة والسالبة

أسئلة امتحانات سابقة على الأعداد الموجبة والسالبة، محلولة ومشروحة بالعربي