شرح الأعداد الصحيحة

Integers

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Is an Integer?

العدد الصحيح هو عدد كامل بلا كسور ولا أجزاء عشرية، وقد يكون موجبًا أو سالبًا أو صفرًا، أما عدد مثل اثنين ونصف فليس عددًا صحيحًا. في سؤال الدرجة الواحدة تُعطى قائمة أعداد ويُطلب منك أن تختار منها نوعًا معينًا، فاحفظ معاني الكلمات في الجدول: الفردي، والزوجي، ومضاعفات العدد، وعوامل العدد، والأولي، والمربع، والمكعب. في المثال المحلول نختبر كل كلمة وحدها على أعداد القائمة: العدد الأولي لا يقبل القسمة إلا على الواحد وعلى نفسه، والمربع عدد مضروب في نفسه، والمكعب عدد مضروب في نفسه ثم في نفسه مرة أخرى، والعامل يقسم العدد دون باقٍ، والزوجي ينتهي برقم زوجي. انتبه: ليس كل عدد فردي أوليًا، فتسعة تساوي ثلاثة في ثلاثة، والواحد ليس عددًا أوليًا.

An integer is a whole number. It can be positive, negative or zero, like $- 3, 0, 17$ . A number like $2.5$ is not an integer.

The 1-mark question gives a list and asks you to pick a type of number. Know these words.

Word	Means
Odd	ends in 1, 3, 5, 7 or 9
Even	ends in 0, 2, 4, 6 or 8
Multiple of 12	in the 12 times table
Factor of 30	divides 30 exactly
Prime	exactly two factors: 1 and itself
Square	a number times itself
Cube	a number times itself, times itself again

Worked example

1
$6, 9, 15, 17, 27, 36, 40$ — The list. Test one word at a time against these numbers.
2
$17$ — Prime: no number from 2 to 16 divides 17 exactly, so its only factors are 1 and 17.
3
$27 = 3 \times 3 \times 3$ — A cube number: it is 3 times itself, times itself again.
4
$9 = 3 \times 3$ — A square number: it is 3 times itself.
5
$30 \div 15 = 2$ — So 15 is a factor of 30: it divides 30 with nothing left over.
6
$36 \div 4 = 9, 36 \div 6 = 6$ — Both divide exactly, so 36 is a multiple of both 4 and 6. It is in both times tables.
7
$40$ — Even: it ends in 0, so it divides by 2 exactly.

Common mistake

Picking 9 or 15 as prime because they are odd. $9 = 3 \times 3$ , so it is not prime. And 1 is not prime either.

2. Sharing and Leftovers

هذا سؤال الأربع درجات: توزّع أشياء بالتساوي بأكبر عدد ممكن لكل شخص، ثم تجد ما تبقّى. أولًا اضرب لتعرف العدد الكلي للأشياء. ثم اقسم الكلي على عدد الأشخاص، وقرّب الناتج إلى الأسفل دائمًا، لأنه لا يمكن إعطاء جزء من قطعة الحلوى، والعدد الأكبر لا يكفيه ما عندك. بعد ذلك اضرب نصيب الواحد في عدد الأشخاص لتعرف كم وُزّع، ثم اطرح ما وُزّع من الكلي فتحصل على الباقي. انتبه لتوحيد الوحدات قبل القسمة: إذا كان الطول بالمتر والقطع بالسنتيمتر فحوّل المتر إلى سنتيمتر أولًا.

The 4-mark question: share things out, as many as possible each, and find what is left over. Find the total, divide, and keep the remainder.

There are 6 bags of 20 sweets. They are shared equally between 26 children. How many sweets are left?

Worked example

1
$6 \times 20 = 120$ — First find all the sweets: 6 bags with 20 in each.
2
$120 \div 26 = 4.6 \dots$ — Divide by the number of children to see how many each could get.
3
$4 each$ — Round DOWN. A child cannot get 0.6 of a sweet, and 5 each would need 130 sweets.
4
$26 \times 4 = 104$ — Multiply back to find how many sweets are handed out.
5
$120 - 104 = 16$ — Left over is all the sweets minus the ones handed out, so 16 are left.

Rule

Round DOWN for how many each. The left over is the total minus what was given out.

Common mistake

Mixing units. With 5 metres of ribbon cut into 40 cm pieces, change to 500 cm first: 500 ÷ 40 gives 12 pieces, with 20 cm left.

3. Change After Buying

سؤال الثلاث درجات: تشتري أكبر عدد ممكن بمبلغ معين، ثم تحسب الباقي من المال. إنها طريقة الباقي نفسها لكن مع الأسعار. أولًا اقسم المال على سعر القطعة لتعرف كم قطعة يكفي. ثم قرّب إلى الأسفل، لأنك لا تستطيع شراء جزء من كتاب، والعدد الأكبر يكلّف أكثر مما معك. بعدها اضرب عدد الكتب في السعر لتعرف ما دفعته، ثم اطرح ذلك من مالك فتحصل على الباقي، واكتب المال دائمًا بمنزلتين عشريتين. اكتب كل سطر من الحل، لأن الدرجات تُعطى على القسمة وعلى الضرب العكسي حتى لو أخطأت في الجواب الأخير. وانتبه: الجزء العشري الناتج من القسمة جزء من كتاب، وليس هو الباقي من المال.

Another 3-mark question: buy as many as you can with some money, then find the change. It is the leftovers method with prices.

You have $25. A book costs $3.60. How many books can you buy, and how much change do you get?

Worked example

1
$25 \div 3.60 = 6.94 \dots$ — Divide the money by the price to see how many books fit.
2
$6 books$ — Round DOWN to 6. You cannot buy 0.94 of a book, and 7 books cost $25.20, more than you have.
3
$6 \times 3.60 = 21.60$ — Multiply back to find what the 6 books cost.
4
$25 - 21.60 = 3.40$ — The change is your money minus what you spent: $3.40. Money always gets two decimal places.

Key idea

Show every line. Marks are given for the division and for the multiplying back, so you can score even if the last answer slips.

Common mistake

Giving $0.94 as the change. The .94 is part of a book, not money left over. Multiply back, then subtract.

4. Sums and Differences

سؤال الجدول بدرجة واحدة: «كم يزيد» أو «كم أطول» أو «الفرق بين عددين»، وكلها تعني أن تطرح العدد الأصغر من الأكبر. اطرح عموديًا: الآحاد تحت الآحاد، واستلف من المنزلة التالية عندما يكون الرقم العلوي أصغر. للتحقق اجمع الفرق على العدد الأصغر، فإن حصلت على الأكبر فإجابتك صحيحة. أما إذا قال السؤال إن قيمةً «أكثر من» أو «أطول من» قيمة في الجدول بمقدار معين، فهنا تجمع الزيادة عليها، مع الحمل كلما تجاوز مجموع العمود تسعة، ثم تتحقق بأن الفرق بين العددين يساوي الزيادة المعطاة. والخطأ الشائع أن تطرح في العمود الرقم الأصغر من الأكبر أيًّا كان مكانه، والصحيح أن تستلف من العمود التالي.

The 1-mark table question: how many more, how much longer, or the difference between two numbers. Take the smaller from the bigger.

Worked example

1
$4052 - 1376$ — “How much bigger” means take the smaller number from the bigger one.
2
$= 2676$ — Subtract in columns, units under units. Borrow when the top digit is smaller. This is the difference.
3
$2676 + 1376 = 4052$ — Check: add the difference back onto the smaller number. You get the bigger one, so it is right.

Some questions say one value is a given amount more than a value in the table. Then you add.

Worked example

1
$3486 + 1957$ — A river is 3486 km long. Another is 1957 km longer. “Longer” means add the extra on.
2
$= 5443$ — Add in columns, carrying 1 whenever a column passes 9. The longer river is 5443 km.
3
$5443 - 3486 = 1957$ — Check: the gap between the two rivers is the 1957 you were given.

Common mistake

In a column, taking the smaller digit from the bigger one. For 2 take away 6, borrow from the next column.

5. Missing Numbers: Undo It

هنا مربع فارغ يخفي عددًا في عملية حسابية، والفكرة أن تعكس العملية بالعملية المضادة ثم تتحقق. إذا أُضيف عدد إلى المربع فاطرحه من الناتج، لأن الطرح يلغي الجمع. وإذا ضُرب المربع في عدد فاقسم الناتج عليه، لأن القسمة تلغي الضرب. لكن انتبه: إذا كان المربع هو العدد الذي نقسم عليه فلا تضرب، بل اقسم العددين المعروفين أحدهما على الآخر، أي بدّل مكان المربع ومكان الناتج. وفي أسئلة «فكّرت في عدد» ابدأ من النتيجة النهائية واعكس الخطوات من الأخيرة إلى الأولى: الجذر التربيعي يُلغى بالتربيع، والقسمة تُلغى بالضرب. وفي النهاية تحقق دائمًا بإعادة الحساب من البداية.

A box hides a number in a calculation. Undo the calculation with the opposite operation, then check.

Worked example

1
$□ + 468 = 915$ — 468 was added to the box.
2
$□ = 915 - 468 = 447$ — Taking away undoes adding. Check: 447 + 468 = 915.
3
$□ \times 24 = 1680$ — This time the box was multiplied by 24.
4
$□ = 1680 \div 24 = 70$ — Dividing undoes multiplying. Check: 70 × 24 = 1680.

When the box is the number you divide BY, do not multiply. Divide the two numbers you know.

Worked example

1
$3888 \div □ = 24$ — 3888 shared into the box’s number of groups gives 24.
2
$□ = 3888 \div 24$ — So 3888 shared into 24 groups gives the box. Swap the box and the 24.
3
$□ = 162$ — Check: 3888 ÷ 162 = 24, so 162 is right.

“I think of a number, divide it by 3, then take the square root. I get 5.” Start at the end and undo each step, last one first.

Worked example

1
$5$ — The answer at the end. Work backwards from here.
2
$5^{2} = 25$ — The last step was a square root, so undo it by squaring.
3
$25 \times 3 = 75$ — Before that you divided by 3, so undo it by multiplying by 3. The number is 75.
4
$75 \div 3 = 25, 25 = 5$ — Check forwards: you get 5, so 75 is right.

Common mistake

For 3888 ÷ □ = 24, working out 3888 × 24. Multiplying only undoes dividing when the box is the number being divided.

6. Reading a Scale

سؤال درجة واحدة: اكتب العدد عند السهم، أو ارسم سهمًا عند عدد معين. أول خطوة دائمًا أن تعرف قيمة المسافة الصغيرة الواحدة بين علامتين. اطرح عددين متجاورين مكتوبين على المقياس لتعرف الفرق بينهما، ثم اقسم هذا الفرق على عدد المسافات بينهما. بعد ذلك عُدّ المسافات من العدد المكتوب حتى السهم، واجمع قيمتها عليه. وإذا طُلب منك وضع سهم عند عدد، فاحسب كم يبعد عن العدد المكتوب قبله، واقسم على قيمة المسافة لتعرف عند أي علامة ترسم السهم. انتبه: عُدّ المسافات لا العلامات، فأربع علامات بين عددين تصنع خمس مسافات.

The 1-mark question: write down the number at the arrow, or mark a number with an arrow. First work out what one small gap is worth.

Worked example

1
$300 - 200 = 100$ — Find the jump between two labels that sit next to each other.
2
$100 \div 5 = 20$ — There are 5 gaps between the labels, so each gap is worth 20.
3
$200 + 3 \times 20 = 260$ — The arrow is 3 gaps past 200, so add three 20s.

Scales between whole numbers work the same way. Here the labels are 34 and 35, with 5 gaps between them.

Worked example

1
$35 - 34 = 1$ — The jump between the two labels is 1.
2
$1 \div 5 = 0.2$ — 5 gaps share that 1, so each gap is worth 0.2.
3
$34 + 4 \times 0.2 = 34.8$ — The arrow is 4 gaps past 34, so add four lots of 0.2.
4
$34.4 - 34 = 0.4$ — To mark 34.4 instead, first find how far it is past 34.
5
$0.4 \div 0.2 = 2$ — That is 2 gaps, so draw the arrow at the 2nd mark after 34.

Common mistake

Counting the marks, not the gaps. Four marks between the labels make 5 gaps.

7. Halfway Between Two Numbers

تطلب الامتحانات العدد الذي يقع في المنتصف تمامًا بين عددين، وغالبًا يكونان عددين عشريين. القاعدة: اجمع العددين ثم اقسم المجموع على اثنين. اجمع مع محاذاة الفواصل العشرية تحت بعضها، ثم خذ نصف المجموع. للتحقق احسب المسافة من العدد الأصغر إلى الناتج، ومن الناتج إلى العدد الأكبر، فإذا تساوت المسافتان فالناتج في المنتصف فعلًا. قد يكون السؤال بدرجتين، وكتابة الجمع ثم القسمة على اثنين تعطيك درجة على الطريقة حتى لو أخطأت في الحساب. وانتبه: نصف المسافة بين العددين ليس هو الجواب، بل أضفه إلى العدد الأصغر.

Exams ask for the number exactly halfway between two numbers, often decimals. This formula finds it.

Formula

halfway = \frac{a + b}{2}

$a$ and $b$ are the two numbers. Add them, then divide by 2.

Worked example

1
$3.8 + 7.4 = 11.2$ — Add the two numbers, lining up the decimal points.
2
$11.2 \div 2 = 5.6$ — Halve the total. 5.6 is halfway.
3
$5.6 - 3.8 = 1.8$ — Check: the distance from the smaller number up to 5.6.
4
$7.4 - 5.6 = 1.8$ — The distance from 5.6 up to the bigger number is the same, so 5.6 is exactly in the middle.

Key idea

This can be worth 2 marks. Writing (3.8 + 7.4) ÷ 2 earns a mark for working, even if the sum slips.

Common mistake

Answering 1.8. That is half the gap, not the halfway number. Add it to the smaller number: 3.8 + 1.8 = 5.6.

8. Making Numbers from Cards

سؤال درجة واحدة: ترتّب بطاقات أرقام لتكوّن أكبر عدد، أو أصغر عدد، أو عددًا زوجيًا أو فرديًا. لأكبر عدد ضع الأرقام من الأكبر إلى الأصغر، لأن المنزلة الأولى، وهي الآلاف، أعلى قيمة. ولأصغر عدد رتّبها من الأصغر إلى الأكبر. العدد الزوجي يجب أن ينتهي برقم زوجي، والفردي ينتهي برقم فردي، لذلك ثبّت الرقم الأخير أولًا حسب المطلوب، ثم رتّب الأرقام الباقية تنازليًا إذا أردت الأكبر، وتصاعديًا إذا أردت الأصغر. ومضاعف الخمسة ينتهي بصفر أو خمسة. انتبه: أكبر عدد يمكن تكوينه قد ينتهي برقم فردي، فلا تكتبه جوابًا عن أكبر عدد زوجي.

The 1-mark question: arrange digit cards to make the largest, smallest, even or odd number. Here the cards are 3, 8, 1 and 6.

Worked example

1
$largest: 8631$ — Biggest digit first. The first place (thousands) is worth the most, so it gets the 8.
2
$smallest: 1368$ — Smallest digit first, then the next smallest, so each place holds as little as it can.
3
$even: ends in 6 or 8$ — An even number must end in an even digit.
4
$largest even: 8316$ — End in 6, so the 8 is free to go first. Then 3, 1, biggest first. (6318 is smaller.)
5
$odd: ends in 1 or 3$ — An odd number must end in an odd digit.
6
$smallest odd: 1683$ — End in 3, so the 1 is free to go first. Then 6, 8, smallest first. (3681 is bigger.)

Key idea

Fix the last digit first, then put the rest in order. A multiple of 5 ends in 0 or 5. With two cards you can make the prime 13, or 16, a multiple of 8.

Common mistake

Giving 8631 as the largest even number. It ends in 1, so it is odd.

9. Which Method? Read the Question

هذه الشاشة ملخّص للدرس: كلمات السؤال تخبرك بالطريقة. «أكبر عدد ممكن» و«ما يتبقّى»: اقسم، وقرّب إلى الأسفل، ثم أوجد الباقي. «اشترِ أكبر عدد» و«الباقي من المال»: اقسم، وقرّب إلى الأسفل، واضرب عكسيًا، ثم اطرح. «كم يزيد» أو «الفرق»: الأكبر ناقص الأصغر. «أكثر من» أو «أطول من»: أضف الزيادة. مربع فارغ في عملية: اعكسها بالعملية المضادة، وإن كان المربع هو العدد الذي نقسم عليه فاقسم العددين المعروفين. «فكّرت في عدد»: ابدأ من النتيجة واعكس الخطوات. العدد عند السهم: قيمة المسافة الواحدة ثم العدّ. بطاقات الأرقام: ثبّت الرقم الأخير ثم رتّب. «في المنتصف بين»: اجمع ثم خذ النصف. أما الأعداد السالبة، والعوامل والمضاعفات والأعداد الأولية، والمربعات والأعداد الحقيقية، فلها دروس خاصة بها.

The words in the question tell you what to do.

You see	You do
As many as possible, left over	divide, round down, find the remainder
Buy as many as you can, change	divide, round down, multiply back, subtract
How many more, difference	bigger minus smaller
More than, longer than	add the extra on
A box in a sum	undo it with the opposite operation
A box you divide by	divide the two numbers you know
Think of a number	start at the answer, undo each step backwards
Number at the arrow	value of one gap, then count
Arrange the cards	fix the last digit, then order
Halfway between	add the two, then halve
Negative numbers	Directed Numbers
Factors, multiples, primes	Factors and Multiples, Prime Numbers
Squares, rational or irrational	Square Numbers, Real Numbers

Key idea

Halfway between 2.6 and 5.4: add to get 8, then halve to get 4.

تدرّب على الأعداد الصحيحة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الأعداد الصحيحة

1. What Is an Integer?

2. Sharing and Leftovers

3. Change After Buying

4. Sums and Differences

5. Missing Numbers: Undo It

6. Reading a Scale

7. Halfway Between Two Numbers

8. Making Numbers from Cards

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على الأعداد الصحيحة

أسئلة امتحانات سابقة على الأعداد الصحيحة، محلولة ومشروحة بالعربي