شرح المستقيمات المتوازية ومعادلاتها

Parallel Lines and Their Equations

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · IGCSE Additional Maths 0606 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Same Gradient, Different c

الخطوط المتوازية تسير في نفس الاتجاه ولا تلتقي أبدًا، لذلك لها نفس الميل تمامًا. الذي يختلف فقط هو العدد الثابت، أي النقطة التي يقطع فيها كل خط محور الصادات. فإذا تساوى الميلان فالخطان متوازيان، وإذا اختلفا فليسا متوازيين. ولكتابة خط موازٍ: احتفظ بالميل نفسه، ثم أوجد العدد الثابت الجديد.

Parallel lines point the same way and never meet. So they have the same gradient. Only c, where they cross the y-axis, is different.

Parallel

y = 2 x + 3

y = 2 x - 1

both gradients are 2

Not parallel

y = 2 x + 3

y = 3 x + 3

gradients 2 and 3

Rule

To write a parallel line: keep m, then find the new c.

Key idea

Parallel lines have so much in common: the same gradient, the same direction. It is a shame they will never meet!

2. Parallel, Through a Point on the y-Axis

أولًا اقرأ ميل الخط المعطى: هو العدد المضروب في السينات بإشارته، حتى لو جاء العدد الثابت أولًا في المعادلة. الخط الموازي له نفس الميل. ثم انظر إلى النقطة المعطاة: إذا كان إحداثيها السيني صفرًا فهي على محور الصادات، وإحداثيها الصادي هو العدد الثابت مباشرة. اكتب المعادلة كاملة وابدأها بالصادات تساوي، لأن كتابة الطرف الأيمن وحده ليست معادلة وتخسر درجة. الخطأ الشائع أن تأخذ العدد الأول في المعادلة على أنه الميل.

The 2-mark question: a line is parallel to $y = 4 - 3 x$ and passes through $(0, - 2)$ . Find its equation.

Worked example

1
$y = 4 - 3 x$ — The given line. The gradient is the number in front of x, with its sign: −3. The 4 is c, even though it comes first.
2
$m = - 3$ — Parallel lines have the same gradient, so the new line also has gradient −3.
3
$y = - 3 x + c$ — Write the new line with c still unknown. Only c can change.
4
$(0, - 2) \Rightarrow c = - 2$ — The point has x = 0, so it sits on the y-axis. That is where the line crosses, so c = −2.
5
$y = - 3 x - 2$ — Put m and c into $y = m x + c$ . Adding −2 is written as − 2.

Common mistake

Taking 4 as the gradient because it comes first. The gradient is the number in front of $x$ .

Common mistake

Writing only $- 3 x - 2$ . Without “y =” it is not an equation, and it loses a mark.

Key idea

“Write down a line parallel to $y = 4 - 3 x$ ” (1 mark): keep $- 3 x$ and change c. $y = - 3 x + 10$ is fine.

3. Parallel, Through Any Point

إذا لم تكن النقطة على محور الصادات فلن تقرأ العدد الثابت مباشرة. خذ ميل الخط المعطى واحتفظ به لأن الخطين متوازيان، واكتب المعادلة والعدد الثابت مجهول. ثم عوّض بإحداثيي النقطة مكان السينات والصادات، واحسب، ثم انقل لتجد العدد الثابت. أعد كتابة المعادلة وتحقق بالتعويض بالنقطة. الخطأ الشائع أن تبقي العدد الثابت القديم، فتكتب الخط نفسه لا خطًا جديدًا. واكتب سطر التعويض لأنه يأخذ درجة.

If the point is not on the y-axis, put its x and y into $y = m x + c$ to find c.

Worked example

1
$parallel to y = 2 x + 5$ — The given line. Its gradient is 2, the number in front of x.
2
$y = 2 x + c$ — Parallel, so keep gradient 2. c is unknown, because the new line has moved.
3
$1 = 2 (3) + c$ — The line passes through (3, 1), so put x = 3 and y = 1 in. This line is true only for the right c.
4
$1 = 6 + c$ — Work out 2 × 3 = 6.
5
$c = 1 - 6 = - 5$ — Take 6 from both sides to get c on its own.
6
$y = 2 x - 5$ — Put c = −5 back in. Check: 2 × 3 − 5 = 1, so (3, 1) is on the line.

Common mistake

Keeping the old c and writing $y = 2 x + 5$ . That is the same line, not a new one through (3, 1).

Key idea

Show the line $1 = 2 (3) + c$ . It earns a mark for working, even if a slip spoils the final answer. Writing $y = 2 x + c$ with a new c can earn a mark too.

4. Watch the Minus Signs

هذه الشاشة عن الإشارات: ميل سالب مع نقطة فيها إحداثي سالب. الطريقة نفسها: خذ الميل بإشارته، واحتفظ به للخط الموازي، ثم عوّض بالنقطة لتجد العدد الثابت. ضع العدد السالب بين قوسين عند التعويض حتى لا تضيع إشارته، وتذكّر أن سالب في سالب يعطي موجبًا. ثم انقل لتجد العدد الثابت وتحقق بالتعويض. الخطأ الشائع أن تجعل ناتج ضرب السالبين سالبًا، فيخرج العدد الثابت خطأ ولا يمر الخط بالنقطة.

Exams like a negative gradient with a negative point. Here is how to keep every sign right.

Find the line parallel to $y = 7 - 2 x$ through $(- 3, 4)$ .

Worked example

1
$y = 7 - 2 x$ — The given line. The number in front of x is −2, so that is the gradient.
2
$y = - 2 x + c$ — Parallel, so keep gradient −2. c is unknown.
3
$4 = - 2 \times (- 3) + c$ — Put in x = −3 and y = 4. Keep −3 in brackets so its minus is not lost.
4
$- 2 \times (- 3) = + 6$ — Minus times minus is plus.
5
$4 = 6 + c$ — So the line now reads 4 = 6 + c.
6
$c = 4 - 6 = - 2$ — Take 6 from both sides to get c on its own.
7
$y = - 2 x - 2$ — Put c = −2 back in. Check: −2 × (−3) − 2 = 6 − 2 = 4. It fits.

Common mistake

Writing −2 × −3 = −6. Then 4 = −6 + c gives c = 10, and the line misses the point.

5. Parallel to a Line in Another Form

أحيانًا لا يكون الخط المعطى على صورة الصادات وحدها، فلا تقرأ الميل مباشرة. انقل حد السينات إلى الطرف الآخر، ثم اقسم كل الحدود على العدد المضروب في الصادات، فيظهر الميل وهو العدد مع السينات بإشارته. بعدها الطريقة المعتادة: احتفظ بالميل للخط الموازي، وعوّض بالنقطة لتجد العدد الثابت، ثم تحقق. الخطأ الشائع أن تأخذ العدد المضروب في السينات من المعادلة الأصلية قبل القسمة.

Sometimes the given line is not in the form $y = m x + c$ . Get y on its own first, or you will read the wrong gradient.

Find the line parallel to $3 x + 2 y = 10$ through $(4, 1)$ .

Worked example

1
$3 x + 2 y = 10$ — The given line. y is not on its own, so you cannot read the gradient yet.
2
$2 y = 10 - 3 x$ — Take 3x from both sides.
3
$y = 5 - 1.5 x$ — Divide every term by 2: 10 ÷ 2 = 5 and 3 ÷ 2 = 1.5.
4
$m = - 1.5$ — Now y is alone. The number in front of x is −1.5.
5
$y = - 1.5 x + c$ — Parallel, so keep gradient −1.5. c is unknown.
6
$1 = - 1.5 \times 4 + c$ — Put in x = 4 and y = 1.
7
$1 = - 6 + c$ — Work out −1.5 × 4 = −6.
8
$c = 1 + 6 = 7$ — Add 6 to both sides to get c on its own.
9
$y = - 1.5 x + 7$ — Put c = 7 back in. Check: −1.5 × 4 + 7 = 1. It fits.

Common mistake

Reading the gradient as 3 or −3 straight from $3 x + 2 y = 10$ . You must divide by the 2 in front of y first.

6. Where the Parallel Line Crosses

هنا يعطيك السؤال نقطة على محور السينات، وكل نقطة عليه إحداثيها الصادي صفر. أولًا اقرأ ميل الخط المعطى، وإذا كانت السينات مقسومة على عدد فالميل واحد على ذلك العدد. احتفظ بالميل للخط الموازي، ثم عوّض بالنقطة: السيني المعطى والصادي صفر، وحل لتجد العدد الثابت. العدد الثابت هو نقطة القطع مع محور الصادات. وفي أسئلة أثبت أن، الإجابة معطاة، فالدرجات كلها على خطوات الحل، فاكتب كل سطر حتى تصل إلى المطلوب.

Some questions give a point on the x-axis and ask where the parallel line crosses the y-axis. On the x-axis, y = 0.

Line M is parallel to $y = \frac{x}{3} + 4$ and crosses the x-axis at A(6, 0). Show that it crosses the y-axis at B(0, −2).

Worked example

1
$y = \frac{x}{3} + 4 \Rightarrow m = \frac{1}{3}$ — x ÷ 3 is the same as $\frac{1}{3} \times x$ , so the gradient is one third.
2
$y = \frac{1}{3} x + c$ — M is parallel, so keep gradient one third. c is unknown.
3
$0 = \frac{1}{3} \times 6 + c$ — A(6, 0) is on M, so put x = 6 and y = 0 in.
4
$0 = 2 + c$ — A third of 6 is 2.
5
$c = - 2$ — Take 2 from both sides.
6
$B = (0, - 2)$ — B is on the y-axis, where x = 0, so its y value is c. That is what we had to show.

Key idea

In a “show that” question the answer is given, so the marks are for the working. Write every line, ending with the answer you were asked to show.

7. Which Method? Read the Question

ابدأ دائمًا بإيجاد الميل، ثم انظر ماذا أعطاك السؤال أيضًا. إذا كانت النقطة على محور الصادات فإحداثيها الصادي هو العدد الثابت. إذا كانت نقطة أخرى فعوّض بها لتجد العدد الثابت. إذا كانت على محور السينات فضع الصادات صفرًا وعوّض. ولتعرف هل خطان متوازيان، اجعل الصادات وحدها في كل منهما ثم قارن الميلين. لا تقارن الميل إلا بعد أن تكون الصادات وحدها، لأن العدد مع السينات قبل القسمة ليس هو الميل.

Find the gradient first, then read what else you are given.

You see	You do
Parallel, through (0, a number)	same m, that number is c
Parallel, through another point	same m, substitute to find c
Is $2 y = 8 x + 3$ parallel?	get y on its own, compare m
Parallel, through (a number, 0) on the x-axis	same m, put y = 0 in to find c
At right angles to the line	Perpendicular Lines
No equation, just two points	Equation of a Line Through Two Points

Key idea

Compare gradients only when y is on its own. $2 y = 8 x + 3$ has gradient 4, not 8.

تدرّب على المستقيمات المتوازية ومعادلاتها

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المستقيمات المتوازية ومعادلاتها

1. Same Gradient, Different c

2. Parallel, Through a Point on the y-Axis

3. Parallel, Through Any Point

4. Watch the Minus Signs

5. Parallel to a Line in Another Form

6. Where the Parallel Line Crosses

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على المستقيمات المتوازية ومعادلاتها

أسئلة امتحانات سابقة على المستقيمات المتوازية ومعادلاتها، محلولة ومشروحة بالعربي